普通高中课程标准实验教科书数学必修
第一章 集合与函数概念
1．2函数及其表示
§1．2．1函数概念的教案说明
新疆乌鲁木齐八一中学 王丽娟
教学目标
知识要求目标：
1 正确理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用
2 通过大量实例理解构成函数的三个要素
3 掌握判定两个函数是否相等的方法
能力发展目标：
通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，培养学生的抽象概括能力。
德育渗透目标：
让学生体会现实世界充满变化，要用发展的眼光看待问题。
教学重点：
函数的概念，函数的三要素。
教学导图：
分析教材中的三个实例
↓
引出函数的概念
↙ ↘
与初中函数概念进行比较，明确现在函数的优越性 大量例举生活实例深刻理解函数的概念
↘ ↙
了解函数的三要素
↓
判定两个函数是否相等
↓
例题处理
↓
课堂练习
↓
课堂小结
↓
课下作业
教学难点：
函数概念的本质及符号ｙ﹦ｆ（ｘ）的理解
教学方法：
建构主义观点的教学方式，即通过大量实例，遵循“特殊到一般”的认识规律，提出问题，大胆猜想，确定方向，分组研究，尝试验证，归纳总结；通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生心理上得到认同，建立新的认识结构。
教学手段：
发挥计算机快捷，生动，形象，人脑延续的特点，提供直观的感性材料，帮助学生实施研究方法，激发并维持学习兴趣。
教学过程：
创设情景：
今天我们学习函数，函数一词是德国数学家莱布尼兹首先采用的，后经维布伦，林纳用集合与对应的观点，揭示了函数概念的本质，我国请代数学家李善兰在翻译《代数学》时，首先把“function”译成函数且给出定义“凡式中含天，为天之函数”。所以我们今天学习的函数，要感谢这些为数学奉献的数学家们。
复习回顾：
初中时我们已学过函数的概念：在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地也就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫定义域，y的取值范围叫值域。
下面我们来看这样一个实例
新课讲授：
实例（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是h=130t-5t
2 A={t|0≤t≤26},B={h|0≤h≤845}
我们发现，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系h=130t-5t2,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应，满足函数定义，应为函数。发现解析式可以用来刻画函数。
实例（2）近几年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧空洞问题，图中曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979∽2001年的变化情况。
引导学生看图启发，从图中明显得知，对于数集A中的每一个时刻t都对应t时刻时曲线在该点的纵坐标。即在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s与之对应，满足函数定义，也应为函数。发现图像也可以来刻画函数。
实例（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。
时间（年）
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
城镇居民家庭恩格尔系数（%）
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
48.6
46.4
44.5
41.9
39.2
37.9
若记A={t|1991≤t≤2001且t∈Z}，B={53.8、52.9··· }
学生探讨交流发现，对于表格中的任意一个时间t都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，即在数集A中的任意一个时间t在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，满足函数定义，应为函数。发现表格也可以用来刻画函数。
教师及时提问：这三个实例的不同点和共同点是什么？
学生认真思考，在教师启发点拨下，归纳总结
不同点：实例（1）用解析式刻画变量之间的对应关系
实例（2）同图像刻画变量之间的对应关系
实例（2）同表格刻画变量之间的对应关系
共同点：①都有两个非空数集
②两个数集间都有一种确定的对应关系，即按照这种对应关系对于集合A中任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数与之对应。
因此，究其函数的本质，我们用集合和对应的观点给出函数全新的定义。
⒈一般地，设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数ｆ（ｘ）和它对应,那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：ｙ﹦ｆ（ｘ），x∈A
引导学生深刻体会定义的要点和所满足的条件
强调：①函数首先是两个数集之间建立的对应
②对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应，这种对应应为数与数之间的一一对应或多一对应
③认真理解ｙ﹦ｆ（ｘ）的含义：ｙ﹦ｆ（ｘ）是一个整体，ｆ（ｘ）并不表示f与x的乘积，它是一种符号，它可以是解析式，如实例（1）；也可以是图像，如实例（2）；也可以是表格，如实例（3）；ｙ﹦ｆ（ｘ）如同一个加工厂，把把输入的数x，按照某种加工过程如解析式，图像，表格，加工称另外一个数值y。
④x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
y叫函数值，y的取值范围C={ｆ（ｘ）|x∈A}叫做函数的值域且C≤B
强调定义域，值域都是一个集合且值域是集合B的子集
引导学生举例说明为什么值域是集合B的子集
那么这个函数的定义与以往的函数定义有何区别和联系那？
引导学生思考，提高分析问题解决问题的能力
这两种定义实质上是一致的，即它们的定义域和值域的意义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，初中给出的定义是从运动变化的观点出发，其中对应关系是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数y对应起来；高中给出的定义是从集合对应的观点出发，其中的对应关系是将A集合中的任一元素与B集合中的唯一确定的元素对应起来，这样定义逃脱了物理运动的束缚，更加完美。
教师再及时引导，既然函数是一个整体，那构成函数定义有几个要素分别是什么？
问题清晰，学生马上给出解答。
⒉函数的三要素：定义域，值域和对应法则
强调三者却一不可，但值域可由定义域和对应法则唯一确定。
如同加工厂中，原料确定，加工过程确定，最后加工后的产品也得以确定。
为加深对函数概念及函数定义三要素的理解,教师马上引导学生举出生活中的一些函数的实例,并指出函数的三要素.
教师应给出适时评价,归纳并恰当鼓励,并展示例1.
判断下列那些是函数
（1）
气压（）
0.5
1.0
2.0
5.0
10
沸点（℃）
81
100
121
152
179
（2）
（3）
（4）
x∈﹛x|x≥0﹜
学生总结发现（1）（2）是函数（3）（4）不是函数
说明：并非所有的函数都是解析式，并非解析式都是函数，函数与解析式之间是既不充分也不必要的关系！
适时引导学生，既然（1）（2）均为函数，那么构成函数的三要素是什么？
让学生温故而知新，明确函数三要素的与作用。
引导学生发现，函数的三要素就确定了函数；教师及时提问：若两函数的三要素相同，这两个函数是什么关系那？
学生马上回答为相同函数，进而引出相同函数的判断方法、
3.若两个函数的定义域和对应关系一致，则这两个函数为相等函数。
强调：值域由函数的定义域和对应关系唯一确定。
马上看题体会，展示了幻灯片
下例函数中哪个与函数y=x相等
（1） （2）
（3） (4)
教师分析（1），引导学生分析（2）（3）（4），强调问题解决的思路，切入点及叙述语言的精确性，教师给出即使评价。
课堂练习P19.3
请同学单独回答，教师给出评价
课堂小结：教师带领学生再一次体会函数无处不在，理解函数的概念和函数的三要素，并会判断两个函数是否相等。
板书设计
函数
函数的定义 2.函数的三要素
强调① 3.判断两个函数是否相等
②
③
④
作业设计：
请找出至少3个生活中存在的函数关系的实例，并与同伴交流；指出函数三要素；请再找出一个生活实例，说明两个变量之间存在依赖关系，但不是函数关系
P24.2
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