高二数学选修4-1学案 弦切角的性质 班级 姓名 学号 学习目标: 1.理解弦切角的概念； 2.掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题； 3.理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法. 教学重点和难点 弦切角定理及其应用是重点； 弦切角定理的证明是难点. 教学过程： 一、创设情境，以旧探新 ?1.提问：什么样的角是圆周角? ?2.圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.(图7-132) ? ??? 思考：这时∠BAE还是圆周角吗?为什么? ???归纳总结出弦切角的特点： ??? (1)顶点在圆周上；?? (2)一边与圆相交；?? (3)一边与圆相切. ??3.?弦切角定义： ??? 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. ? 4.判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由： (图7-133) [来源：高考%资源网 KS%5U] 由此发现，弦切角可分为三类： (1)圆心在角的外部；?? (2)圆心在角的一边上；?? (3)圆心在角的内部. ??? 二、观察联想、发现规律 1.当弦切角一边通过圆心时，(如图7-135) ??? (1)弦切角∠CAB是多少度?为什么? ??? (2)∠CAB所夹弧所对的圆周角∠D是多少度?为什么? ??? (3)此时，弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系? 观察图形，不难发现，此时弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角. ? 2.以A为端点.旋转AC边，使弦切角增大或减小，观察它与所夹弧所对圆周角之间的关系，猜想：弦切角是否等于它所夹的弧对的圆周角.(图7-134) ??? 三、类比联想，尝试论证 ??? 1.回忆联想： ??? (1)圆周角定理的证明采用了什么方法? ??? (2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢? ??? 2.前面证明了特殊情况，下面考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况.??? 讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况。如图7-136(1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠1＝∠APQ-∠2＝∠APC.
如图7-136(2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ，连结PQ， 则∠BAC＝∠QAB+∠1＝∠QPA+∠2＝∠APC.??? 你能写出完整的证明过程吗？ ???? 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角. 3.看书并思考：课本上关于定理的证明与我们现在的证明方法有何异同? ??? 四、巩固知识、初步应用 ??? 例1（课本
）? 如图7-139，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D. ??? 求证：AC平分∠BAD. 思路一：要证∠BAC＝∠CAD，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结BC，得Rt△ACB，只需证∠ACD＝∠B.(图7-139) ??? 证明：(学生自己完成证明) 思路二:连结OC，由切线性质，可得OC∥AD，于是有∠1＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证得结论.(图7-140) [来源：高考%资源网 KS%5U] ???????
思路三:过C作CF⊥AB，交⊙O于F，连结AF.由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2＝∠3，进而可证明结论成立.(图7-141) ??[课堂练习]: ??? 1.如图7-142，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°， 则∠ECA＝? ? 度.??? (口答) ??? 2.AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣弧的弦切角∠BAC＝???? ??? . ??? 3.已知：经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C. 求证：∠ATC＝∠TBC.②
＝
五、归纳小结 ??①?在证明弦切角定理时，我们是从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从 而证明了弦切角定理.通过弦切角概念的引入和定理的证明过程，逐步学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律. ②学习了分类讨论的思想和完全归纳的证明方法.在这里一定要注意为什么要对弦 切角进行分类和如何进行分类. ③弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角. 六．反馈练习 ???练习1? 直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧.(图7-137) ??????? ????? ?? ??? 练习2? 如图7-138，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若AB＝AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等?为什么? 分析，由于
和
分别是两个弦切角∠DAB和∠EAC所夹的弧，而
和
.连结B，C，易证∠B＝∠C.于是得到∠DAB＝∠EAC. ??? 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等. [来源：高考%资源网 KS%5U] w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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