§1 离散型随机变量及其分布列 第一课时 2.1.1 离散型随机变量 一、教学目标: 1、知识目标:⑴理解随机变量的意义;⑵学会区分离散型与非离散型随机变量,并能举出离散性随机变量的例子;⑶理解随机变量所表示试验结果的含义,并恰当地定义随机变量。 2、能力目标:发展抽象、概括能力,提高实际解决问题的能力。 3、情感目标:学会合作探讨,体验成功,提高学习数学的兴趣. 二、教学重点:随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 教学难点:随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 三、教学方法:讨论交流,探析归纳 四、内容分析: 本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上,学习随机变量和统计的一些知识.学习这些知识后,我们将能解决类似引言中的一些实际问题 五、教学过程 (一)、复习引入: 1.随机事件及其概率:在每次试验的结果中,如果某事件一定发生,则称为必然事件,记为U;相反,如果某事件一定不发生,则称为不可能事件,记为φ. 随机试验:为了研究随机现象的统计规律性,我们把各种科学实验和对事物的观测统称为试验.如果试验具有下述特点:(1)试验可以在相同条件下重复进行;(2)每次试验的所有可能结果都是明确可知的,并且不止一个;(3)每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果,则称这种试验为随机试验简称试验。 2.样本空间: 样本点:在相同的条件下重复地进行试验,虽然每次试验的结果中所有可能发生的事件是可以明确知道的,并且其中必有且仅有一个事件发生,但是在试验之前却无法预知究意哪一个事件将在试验的结果中发生.试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试验的样本点,通常用字母ω表示.[来源: ] 样本空间: 试验的所有样本点ω1,ω2,ω3,…构成的集合叫做样本空间,通常用字母Ω表示,于是,我们有 Ω={ω1,ω2,ω3,… } 3.古典概型的特征: 古典概型的随机试验具有下面两个特征:(1) 有限性.只有有限多个不同的基本事件;(2) 等可能性.每个基本事件出现的可能性相等. 概率的古典定义 在古典概型中,如果基本事件的总数为n,事件A所包含的基本事件个数为r( ),则定义事件A的概率 为 .即 [来源: ] (二)、探析新课: 1、随机变量的概念:随机变量是概率论的重要概念,把随机试验的结果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解,还可借助更多的数学知识对其进行深入研究.   有的试验结果本身已具数值意义,如产品抽样检查时的废品数,而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联系,如抛硬币时规定出现徽花时用1表示,出现字时用0表示.这些数值因试验结果的不确定而带有随机性,因此也就称为随机变量. 2、随机变量的定义:如果对于试验的样本空间 中的每一个样本点 ,变量 都有一个确定的实数值与之对应,则变量 是样本点 的实函数,记作 .我们称这样的变量 为随机变量. 3、若随机变量 只能取有限个数值 或可列无穷多个数值 则称 为离散随机变量,在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形 (三)、例题探析 例1、已知在10件产品中有2件不合格品。现从这10件产品中任取3件,这是一个随机现象。(1)写出该随机现象所有可能出现的结果;(2)试用随机变量来描述上述结果。 解析:(1)从10件产品中任取3件,所有可能出现的结果是:“不含不合格品”、“恰有1件不合格品”、 “恰有2件不合格品”. (2)令X表示取出的3件产品中的不合格品数。则X所有可能的取值为0,1,2,对应着任取3件产品所有可能出现的结果。即“X=0”表示“不含不合格品”; “X=1”表示“恰有1件不合格品”; “X=2”表示“恰有2件不合格品”. 例2.随机变量 为抛掷两枚硬币时徽花向上的硬币数,求的可能取值 解:的可能取值为0,1,2. 例3、写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 (1)一袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5 现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数ξ;(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η 解:(1) ξ可取3,4,5 ξ=3,表示取出的3个球的编号为1,2,3; ξ=4,表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4; ξ=5,表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或3,4,5 (2)η可取0,1,…,n,…η=i,表示被呼叫i次,其中i=0, 1,2,… 例4、抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ,试问:“ξ> 4”表示的试验结果是什么? 答:因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一,由已知得-5≤ξ≤5,也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以,“ξ>4”表示第一枚为6点,第二枚为1点 例5、某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超出4km,则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km,则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按lkm路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量,他收旅客的租车费可也是一个随机变量 (Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式;(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟? 解:(Ⅰ)依题意得η=2(ξ-4)+10,即η=2ξ+2 (Ⅱ)由38=2ξ+2,得ξ=18,5×(18-15)=15. 所以,出租车在途中因故停车累计最多15分钟. (四)、课堂小结:本课学习了离散型随机变量。⑴理解随机变量的意义;⑵学会区分离散型与非离散型随机变量,并能举出离散性随机变量的例子;⑶理解随机变量所表示试验结果的含义,并恰当地定义随机变量。 (五)、课堂练习: 1.下列变量中,不是随机变量的是(  ) A.一射击手射击一次命中的环数 B.标准状态下,水沸腾时的温度 C.抛掷两枚骰子,所得点数之和 D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数[来源: ][来源:] 解析:选B.B中水沸腾时的温度是一个确定值. 2.下列所述:①某座大桥一天经过的车辆数X;②某无线电寻呼台一天内收到寻呼次数X;③一天之内的温度X;④一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分.其中X是离散型随机变量的是(  ) A.①②③  B.①②④ C.①③④ D.②③④ 解析:选B.根据离散型随机变量的定义,判断一个随机变量是否是离散型随机变量,就是看这一变量的所有取值是否可以一一列出.①②④中的X可能取的值,可以一一列举出来,而③中的X可以取某一区间内的一切值,属于连续型的,故选B. 3.在一次考试中,某位同学需回答三个问题,考试规则如下:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________. 解析:可能有回答全对,两对一错,两错一对,全错四种结果,相应得分为300分,100分,-100分,-300分. 答案:300,100,-100,-300

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