§3.3.2函数的极值与导数 教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 创设情景 观察图3.3-8，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大附近函数的图像，如图3.3-9．可以看出；在，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增（，）后减（，）．这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有．  对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 新课讲授 导入新课 观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点 函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大 二、学生活动 学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义. 三、数学建构 极值点的定义: 观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有 各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f (2)是函数的一个极小值。 一般地，设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，我们说f ()是函数的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，我们说f ()是函数的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。 请注意以下几点：(让同学讨论) （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>。 （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 极值点与导数的关系: 复习可导函数在定义域上的单调性与导函数值的相互关系,引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系. 由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。若寻找函数极值点,可否只由=0求得即可? 探索:x=0是否是函数=x的极值点?（展示此函数的图形） 在处，曲线的切线是水平的,即=0，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小,故不是极值点。如果使，那么在什么情况下是的极值点呢？ 观察下左图所示，若是的极大值点，则两侧附近点的函数值必须小于。因此，的左侧附近只能是增函数，即，的右侧附近只能是减函数，即，同理，如下右图所示，若是极小值点，则在的左侧附近只能是减函数，即，在的右侧附近只能是增函数，即， 从而我们得出结论(给出寻找和判断可导函数的极值点的方法,同时巩固导数与函数单调性之间的关系）： 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。 结论：左右侧导数异号  是函数f(x)的极值点 =0 反过来是否成立?各是什么条件? 点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0. 学生活动 函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为(D ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值 四、数学应用 例1．（课本例4）求的极值 解： 因为，所以 。  下面分两种情况讨论： （1）当>0,即，或时； （2）当<0,即时. 当x变化时， ，的变化情况如下表：   -2 (-2,2) 2    + 0 － 0 +   ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗   因此，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为。 函数的图像如图所示。 课堂训练:求下列函数的极值 让学生讨论总结求可导函数的极值的基本步骤与方法： 一般地，如果函数在某个区间有导数，可以用下面方法求它的极值： ① 确定函数的定义域； ② 求导数； ③ 求方程=0的根，这些根也称为可能极值点； ④ 检查在方程＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法) 强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f((x0)=0左右侧导数的符号 例题2（案例分析） 函数 在 x=1 时有极值10，则a，b的值为（C ） A、 或 B、  或 C、 D、 以上都不对  略解:由题设条件得： 解之得 通过验证，都合要求，故应选择A 上述解法错误，正确答案选C，注意代入检验 注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 练习: 庖丁解牛篇(感受高考） 1、（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　A ） A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别 2、已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）的值. 答案 （Ⅰ）=1; （Ⅱ） 例3求y=(x2－1)3+1的极值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 当x变化时，y′，y的变化情况如下表   -1 (-1,0) 0 (0,1) 1    － 0 － 0 + 0 +   ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗  ∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0  五：回顾与小结： 1、极值的判定方法； 2、极值的求法 注意点： 1、f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 2、数形结合以及函数与方程思想的应用 3、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f((x0)=0左右侧导数的符号. 六：课外作业
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