§3.3.2函数的极值与导数（2课时） 教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．创设情景 观察图3.3-8，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大附近函数的图像，如图3.3-9．可以看出；在，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增（，）后减（，）．这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有．  对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： 运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，． 从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数． 3．求解函数单调区间的步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析 例1．（课本例4）求的极值 解： 因为，所以 。  下面分两种情况讨论： （1）当>0,即，或时； （2）当<0,即时. 当x变化时， ，的变化情况如下表：   -2 (-2,2) 2    + 0 － 0 +   ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗   因此，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为。 函数的图像如图所示。 例2求y=(x2－1)3+1的极值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 当x变化时，y′，y的变化情况如下表   -1 (-1,0) 0 (0,1) 1    － 0 － 0 + 0 +   ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗  ∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0  1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点 2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而> （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值 5. 求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)  (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值  如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点  四、巩固练习： 1．求下列函数的极值. (1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x (1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7 令y′=0，解得x=. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表.       － 0 +   ↘ 极小值 ↗  ∴当x=时，y有极小值，且y极小值=－. (2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3) 令y′=0，解得x1=－3，x2=3. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表.   -3 (-3,3) 3    + 0 － 0 +   ↗ 极大值54 ↘ 极小值-54 ↗   ∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54. 当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54 五、教学反思 ：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点 六、课后作业：书本P 34 3 . 4 . 5
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