第3章 数系的扩充与复数的引入 §3.1数系的扩充和复数的概念 §3.1.1数系的扩充和复数的概念 教学目标： 1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i 2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念 教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用 教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 教具准备：多媒体、实物投影仪 教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾. 教学过程： 学生探究过程： 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N
Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z
Q、N
Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集 因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数
，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 讲解新课： 1.虚数单位
: (1)它的平方等于-1，即　
; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. 2.
与－1的关系:
就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－
!　 3.
的周期性：
4n+1=i,
4n+2=-1,
4n+3=-i,
4n=1 4.复数的定义：形如
的数叫复数，
叫复数的实部，
叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*　 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即
，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数
，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：N
Z
Q
R
C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di
a=c，b=d　 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据　一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小. 现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对　如果两个复数都是实数，就可以比较大小　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小　 例1请说出复数
的实部和虚部，有没有纯虚数？ 答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－
;虚部分别是3，
，－
，－
;－
i是纯虚数. 例2 复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？ 答：实部是3.14，虚部是－2. 易错为：实部是－2，虚部是3.14！ 例3（课本例1）实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是: (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ ［分析］因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值. 解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数； (2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数； (3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z 是纯虚数. 例4　已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y. 解：根据复数相等的定义，得方程组
，所以x=
，y=4 巩固练习： 1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是( ) A.A∪B=C B.
A=B C.A∩
B=
D.B∪
B=C 2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数x满足( ) A.x=－
B.x=－2或－
C.x≠－2 D.x≠1且x≠－2 3.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝，则实数m的值为( ) A.－1 B.－1或4 C.6 D.6或－1 4.满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是______. 5.复数z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，则z1=z2的充要条件是______. 6.设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值. 7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值. 8.已知m∈R，复数z=
+(m2+2m－3)i，当m为何值时， (1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=
+4i. 答案：1.D　2.D 3. 解析：由题设知3∈M，∴m2－3m－1+(m2－5m－6)i=3 ∴
，∴
∴m=－1，故选A. 4. 解析：由题意知
∴
∴点对有(3，
)，(－1，
)共有2个.答案：2 5. 解析：z1=z2
a=c且b2=d2.答案：a=c且b2=d2 6.解：由题意知
∴
∴
∴
，∴m=－1. 7. 解：方程化为(x2+mx+2)+(2x+m)i=0.∴
， ∴x=－
，∴
∴m2=8，∴m=±2
. 8. 解：(1)m须满足
解之得：m=－3. (2)m须满足m2+2m－3≠0且m－1≠0，解之得：m≠1且m≠－3. (3)m须满足
解之得：m=0或m=－2. (4)m须满足
解之得：m∈
　 课后作业：课本第106页 习题3.1 1 , 2 , 3 教学反思： 这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题 复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类

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