2014年高三一轮复习专题 九 三角函数概念、图像性质（1）
【考纲要求】
1．考查三角函数的定义及应用．1．任意角 (1)角的概念的推广（2)终边相同的角 (3)弧度制，扇形面积公式：____________任意角的三角函数定义三角函数线
2．考查三角函数值符号的确定．三角函数值在各象限的符号规律概括为：_____________
两个技巧
(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．
(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．
三个注意
(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
考向一 角的集合表示及象限角的判定
【例1】?(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；
(2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角；
(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、所在的象限．
【训练1】 角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．
A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)
考向二 三角函数的定义
【例2】?已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝ m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．
【训练2】 (2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )．
A．－ B．－ C. D.
考向三 弧度制的应用
【例3】?已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【训练3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？
考向四 三角函数线及其应用
【例4】?在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥； (2)cos α≤－.
【训练4】 求下列函数的定义域：
(1)y＝； (2)y＝lg(3－4sin2x)．
规范解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值
【问题研究】 三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P(不与原点重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r(r＝＞0)，则sin α＝、cos α＝、tan α＝分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．
【示例】?(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cos α＝x，求sin α、tan α的值．
【试一试】 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α＋cos α＋tan α.
3．考查同角三角函数的基本关系式．
4．考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用．
一个口诀______________________________________________________
三种方法在求值与化简时，常用方法有：
(1)弦切互化法：____________________________________________
(2)和积转换法：____________________________________________
(3)巧用“1”的变换：_____________________________________________
三个防范
(1)利用诱导公式进行化简求值时，其步骤：去__－脱____－化_____．
特别注意函数名称和符号的确定．
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断____________．
(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
考向一 利用诱导公式化简、求值
【例1】?已知f(α)＝，求f.
【训练1】 已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．
考向二 同角三角函数关系的应用
【例2】?(2011·长沙调研)已知tan α＝2.
求：(1)；
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
【训练2】 已知＝5.则sin2α－sin αcos α＝________.
考向三 三角形中的诱导公式
【例3】?在△ABC中，sin A＋cos A＝，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
【训练3】 若将例3的已知条件“sin A＋cos A＝”改为“sin(2π－A)＝－sin(π－B)”其余条件不变，求△ABC的三个内角．
5．考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用．
6．考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．
1．“五点法”描图
2．三角函数的图象和性质
两条性质(1)周期性(2)奇偶性
三种方法求三角函数值域(最值)的方法：
(1)利用sin x、cos x的有界性；
(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)函数y＝cos，x∈R( )．
A．是奇函数B．是偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数
2．函数y＝tan的定义域为( )．
A. B.
C. D.
3．(2011·全国新课标)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )．
A．f(x)在单调递减B．f(x)在单调递减
C．f(x)在单调递增D．f(x)在单调递增
4．y＝sin的图象的一个对称中心是( )．
A．(－π，0) B.C. D.
5．(2011·合肥三模)函数f(x)＝cos的最小正周期为________．
考向一 三角函数的定义域与值域
【例1】?(1)求函数y＝lg sin 2x＋的定义域．
(2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．
【训练1】 (1)求函数y＝的定义域．
(2)已知函数f(x)＝cos＋2sin·sin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值．
考向二 三角函数的奇偶性与周期性
【例2】?(2011·大同模拟)函数y＝2cos2－1是( )．
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【训练2】 已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期是________
考向三 三角函数的单调性
【例3】?已知f(x)＝sin x＋sin，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．
【训练3】 函数f(x)＝sin的单调减区间为______．
考向四 三角函数的对称性
【例4】?(1)函数y＝cos图象的对称轴方程可能是( )．
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
(2)若0＜α＜，g(x)＝sin是偶函数，则α的值为________．
【训练4】 (1)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.
(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.
难点突破9——利用三角函数的性质求解参数问题
含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析．
一、根据三角函数的单调性求解参数
【示例】? (2011·镇江三校模拟)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)，则ω的值为________．
二、根据三角函数的奇偶性求解参数
【示例】? (2011·泉州模拟)已知f(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )．
A. B. C．－ D．－
▲根据三角函数的周期性求解参数(教师备选)
【示例】? (2011·合肥模拟)若函数y＝sin ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为，则ω＝________.
▲根据三角函数的最值求参数(教师备选)
【示例】? (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝处有最小值－2，则常数a、b的值是( )．
A．a＝－1，b＝ B．a＝1，b＝－
C．a＝，b＝－1 D．a＝－，b＝1
7．考查正弦型函数的图象变换．
8．结合三角恒等变换考查的性质及简单应用．
9．考查到的图象的两种变换途径．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为( )．
A．2，，－ B．2，，－
C．2，，－ D．2，，－
2.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )．
A．T＝6π，φ＝ B．T＝6π，φ＝
C．T＝6，φ＝ D．T＝6，φ＝
3．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为( )．
A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x
4．设ω＞0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )．
A. B. C. D．3
5．(2011·重庆六校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.
考向一 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例1】?设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
【训练1】 已知函数f(x)＝3sin，x∈R.
(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
考向二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】?(2011·江苏)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．
【训练2】 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜，ω＞0)的图象的一部分如图所示．
(1)求f(x)的表达式；
(2)试写出f(x)的对称轴方程．
考向三 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用
【例3】?(2012·西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的递增区间．
规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题
【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．
(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．
【试一试】 是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acos x＋a－在闭区间上的最
【示例】?(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝4cos xsin －1.
(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
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