第七节正弦定理和余弦定理
[知识能否忆起]
1．正弦定理
分类
内容
定理
＝＝＝2R(R是△ABC外接圆的半径)
变形
公式
①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C，
②sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，
③sin A＝，sin B＝，sin C＝
解决的
问题
①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角
2．余弦定理
分类
内容
定理
在△ABC中，有a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形
公式
cos A＝；cos B＝；
cos C＝
解决的
问题
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
[小题能否全取]
1．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2
C. D.
解析：选B 由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝×＝2.
2．在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选C ∵cos A＝＝＝，
又∵0°B?a>b?sin A>sin B.
(2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角
或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Ab
解的个数
一解
两解
一解
一解
利用正弦、余弦定理解三角形
典题导入
[例1] (2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
[自主解答] (1)由bsin A＝acos B及正弦定理
＝，得sin B＝cos B，
所以tan B＝，所以B＝.
(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得9＝a2＋c2－ac.
所以a＝，c＝2.
在本例(2)的条件下，试求角A的大小．
解：∵＝，
∴sin A＝＝＝.
∴A＝.
由题悟法
1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．
2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
以题试法
1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
解：(1)由正弦定理得，
sin2Asin B＋sin Bcos2A＝ sin A，即
sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.
故sin B＝ sin A，所以＝ .
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝.
由(1)知b2＝2a2，
故c2＝(2＋)a2.可得cos2B＝，
又cos B>0，故cos B＝，所以B＝45°.
利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
典题导入
[例2] 在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
[自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－，∵0cos B”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C acos B.
2．(2012·泉州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选D 由已知得bcsin A＝×1×c×sin＝，解得c＝2，则由余弦定理可得a2＝4＋1－2×2×1×cos＝3?a＝.
3．(2013·“江南十校”联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝2，1＋＝，则C＝( )
A．30° B．45°
C．45°或135° D．60°
解析：选B 由1＋＝和正弦定理得
cos Asin B＋sin Acos B＝2sin Ccos A，
即sin C＝2sin Ccos A，
所以cos A＝，则A＝60°.
由正弦定理得＝，
则sin C＝，
又cc，b＝，求·的值．
解：(1)因为a－2bsin A＝0，
所以 sin A－2sin Bsin A＝0，
因为sin A≠0，所以sin B＝.
又B为锐角，所以B＝.
(2)由(1)可知，B＝.因为b＝ .
根据余弦定理，得7＝a2＋c2－2accos，
整理，得(a＋c)2－3ac＝7.
由已知a＋c＝5，得ac＝6.
又a>c，故a＝3，c＝2.
于是cos A＝＝＝，
所以·＝||·||cos A＝cbcos A
＝2××＝1.
12．(2012·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.
解：(1)证明：在△ABC中，由于sin B(tan A＋tan C)＝
tan Atan C，
所以sin B＝·，
因此sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Asin C，
所以sin Bsin(A＋C)＝sin Asin C.
又A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋C)＝sin B，
因此sin2B＝sin Asin C.
由正弦定理得b2＝ac，
即a，b，c成等比数列．
(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝，
由余弦定理得cos B＝＝＝，
因为0B>C，3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为( )
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7
C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
解析：选D 由题意可得a>b>c，且为连续正整数，设c＝n，b＝n＋1，a＝n＋2(n>1，且n∈N*)，则由余弦定理可得3(n＋1)＝20(n＋2)·，化简得7n2－13n－60＝0，n∈N*，解得n＝4，由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4.
2．(2012·长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos 2C＝，且a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为________．
解析：因为4sin2－cos 2C＝，
所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，
2＋2cos C－2cos2C＋1＝，cos2C－cos C＋＝0，
解得cos C＝.根据余弦定理有cos C＝＝，
ab＝a2＋b2－7,3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，ab＝6，所以△ABC的面积S△ABC＝absin C＝×6×＝.
答案：
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－acos C＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，S△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：(1)法一：由(2b－c)cos A－acos C＝0及正弦定理，得
(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0，
∴2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，
sin B(2cos A－1)＝0.
∵0
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