第八节
正弦定理和余弦定理的应用
[知识能否忆起] 1．实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角： 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．
(2)方位角： 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角： 相对于某一正方向的水平角(如图3) ①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．
　　　
(4)坡度： ①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)． ②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)． 2．解三角形应用题的一般步骤 (1)审题，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； (3)选择正弦定理或余弦定理求解； (4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求． [小题能否全取] 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是(　　) A．α>β　　　　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 答案：B 2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　) A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10° 解析：选B　如图所示， ∠ACB＝90°， 又AC＝BC， ∴∠CBA＝45°， 而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A在点B的北偏西15°. 3.(教材习题改编)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A、B两点的距离为(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 解析：选A　由正弦定理得 AB＝＝＝50(m)． 4．(2011·上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米． 解析：如图所示，由题意知∠C＝45°， 由正弦定理得＝， ∴AC＝·＝. 答案： 5．(2012·泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行________海里． 解析：如图，由题意知在△ABC中，∠ACB＝75°－60°＝15°，B＝15°，∴AC＝AB＝8. 在Rt△AOC中，OC＝AC·sin 30°＝4. ∴这艘船每小时航行＝8海里． 答案：8 　 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

测量距离问题  
典题导入 [例1]　郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D. (1)求AB的长度； (2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)． [自主解答]　(1)在△ABC中，由余弦定理得 cos C＝＝，① 在△ABD中，由余弦定理得 cos D＝＝，② 由∠C＝∠D得cos C＝cos D. 解得AB＝7，所以AB的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用最低． 理由如下： 易知S△ABD＝AD·BDsin D，S△ABC＝AC·BCsin C， 因为AD·BD>AC·BC，且∠C＝∠D， 所以S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低．
若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，试求最低造价为多少？ 解：因为AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD是等边三角形， ∠D＝60°，∠C＝60°. 故S△ABC＝AC·BCsin C＝10， 所以所求的最低造价为5 000×10＝50 000 ≈86 600元．

由题悟法 求距离问题要注意： (1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
以题试法 1.如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝105°，∠CBA＝45°，且AB＝100 m. (1)求sin ∠CAB的值； (2)求该河段的宽度． 解：(1)sin ∠CAB＝sin 105° ＝sin(60°＋45°) ＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45° ＝×＋×＝. (2)因为∠CAB＝105°，∠CBA＝45°， 所以∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝30°. 由正弦定理，得＝， 则BC＝＝50(＋)(m)． 如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中， CD＝BC·sin 45°＝50(＋)×＝50(＋1)(m)． 所以该河段的宽度为50(＋1)m.
测量高度问题  
典题导入 [例2]　(2012·九江模拟)如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ. (1)求BC的长； (2)若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度． [自主解答]　(1)在△ABC中，∠ACB＝β－α， 根据正弦定理得＝， 所以BC＝. (2)由(1)知BC＝＝＝12(－)米． 在△BCD中，∠BDC＝＋＝，sin ∠BDC＝， 根据正弦定理得＝， 所以CD＝24－8米．
由题悟法 求解高度问题应注意： (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角； (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图； (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
以题试法 2．(2012·西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度． 解：如图，设电视塔AB高为x m， 则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°， 则BD＝x. 在△BDC中，由余弦定理得， BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°， 即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°， 解得x＝40，所以电视塔高为40米．
测量角度问题  
典题导入 [例3]　(2012·太原模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
[自主解答]　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°. 根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得x＝2. 故AC＝28，BC＝20. 根据正弦定理得＝， 解得sin α＝＝. 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
由题悟法 1．测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义． 2．在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．
以题试法 3.(2012·无锡模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是________． 解析：∵AD2＝602＋202＝4 000，AC2＝602＋302＝4 500. 在△CAD中，由余弦定理得 cos ∠CAD＝＝，∴∠CAD＝45°. 答案：45°

1．在同一平面内中，在A处测得的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为(　　) A.　　　　　　　　　 　 B. C. D. 解析：选D　∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3. ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC＝. 2．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析：选A　设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h， 根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m. 3．(2012·天津高考) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝(　　) A. B．－ C．± D. 解析：选A　由C＝2B得sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，由正弦定理及8b＝5c得cos B＝＝＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2 B－1＝2×2－1＝. 4．(2013·厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)0. 则cos A＝>0， ∵0. 因此得角A的取值范围是. 5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是(　　) A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里 解析：选A　如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°， ∴∠BCA＝45°. 又AB＝40×＝20(海里)， ∴由正弦定理可得＝. ∴BC＝＝10(海里)． 6．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)(　　) A．11.4 B．6.6 C．6.5 D．5.6 解析：选B　∵AB＝1 000×1 000×＝ m， ∴BC＝·sin 30°＝ m. ∴航线离山顶h＝×sin 75°≈11.4 km. ∴山高为18－11.4＝6.6 km. 7.(2012·南通调研)“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内的一块三角形空地上(如图，单位：m)种植草皮，已知这种草皮的价格是120元/m2，则购买这种草皮需要________元． 解析：三角形空地的面积S＝×12×25×sin 120°＝225，故共需225×120＝27 000元． 答案：27 000 8.(2012·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 n mile.此船的航速是________n mile/h. 解析：设航速为v n mile/h， 在△ABS中AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°， 由正弦定理得＝，则v＝32. 答案：32 9．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)， ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)， 在△MON中，由余弦定理得， MN＝  ＝＝10(m)． 答案：10 10.如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长． 解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得cos∠ADC＝ ＝＝－，∴∠ADC＝120°， ∴∠ADB＝60°. 在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°， 由正弦定理得＝， ∴AB＝ ＝＝＝5. 11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒) 解：由题意，设AC＝x，则BC＝x－×340＝x－40， 在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos ∠BAC， 即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420. 在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°， 所以CH＝AC·tan ∠CAH＝140. 答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米． 12.(2012·兰州模拟)某单位在抗雪救灾中，需要在A，B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 km的C，D两地测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∠BCD＝30°(如图，其中A，B，C，D在同一平面上)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A，B之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？ 解：在△ACD中，∠ACD＝45°，CD＝6，∠ADC＝75°， 所以∠CAD＝60°. 因为＝， 所以AD＝＝＝2. 在△BCD中，∠BCD＝30°，CD＝6，∠BDC＝15°， 所以∠CBD＝135°. 因为＝， 所以BD＝＝＝3. 又因为在△ABD中，∠BDA＝∠BDC＋∠ADC＝90°， 所以△ABD是直角三角形． 所以AB＝＝＝. 所以电线长度至少为l＝1.2×AB＝(单位：km) 答：施工单位至少应该准备长度为 km的电线．
1.某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35 m，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为91 m，从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度CD为________米． 解析：AB＝＝84， tan∠CAB＝＝＝.由＝tan(45°＋∠CAB)＝＝，得CD＝169. 答案：169 2.2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________. 解析：∵由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°， ∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°， ∴＝.∴x＝ m. 答案： m 3.(2012·泉州模拟)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船． (1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离； (2)设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA―→成θ角，求f(x)＝sin2θsin x＋cos2θcos x(x∈R)的值域． 解：(1)连接BC，由余弦定理得 BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700. ∴BC＝10，即所求距离为10海里． (2)∵＝， ∴sin θ＝ . ∵θ是锐角，∴cos θ＝ . f(x)＝sin2θsin x＋cos2θcos x＝sin x＋cos x ＝sin， ∴f(x)的值域为.
1.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？ 解：如图，连接A1B2由已知A2B2＝10， A1A2＝30×＝10， ∴A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2是等边三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10. 由已知，A1B1＝20， ∴∠B1A1B2＝105°－60°＝45°， 在△A1B2B1中，由余弦定理得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45° ＝202＋(10)2－2×20×10×＝200， ∴B1B2＝10. 因此，乙船的速度为×60＝30 (海里/时)． 2.如图，扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB为，半径OA为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段DB组成，其中D在线段OB上，且CD∥AO.设∠AOC＝θ. (1)用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围； (2)当θ为何值时，观光道路最长？ 解：(1)在△OCD中，由正弦定理，得 ＝＝＝， 所以CD＝sin＝cos θ＋sin θ，OD＝sin θ， 因为OD

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