十、导数：
一、导数的概念：
（1）函数在点处可导：函数在到之间的平均变化率，即；
如果当时，有极限，则称函数在点处可导。
（2）函数在开区间内可导：如果函数在开区间内每一点处都可导，则称函数在开区间内可导；
（3）函数在点的导数：
如果函数在点处可导，那么极限叫做函数在点的导数（或变化率），记作：或；即
（4）函数在开区间内的导函数(导数)：
如果函数在开区间内可导，那么对于开区间的每一个确定的值都对应着一个确定的导数，这样在开区间内构成一个新的函数，我们把这—新函数叫做函数在开区间内的导函数（简称导数），记或；即：
（5）导数的几何意义：函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率，即；
（6）导数在物理中的运用：函数在点处的导数，就是当物体的运动方程为时，物体运动在时刻的瞬时速度，即；物体运动在时刻的加速度；
二、几种常见函数的导数：（为常数）；
三、函数的和、差、积、商的导数：
（1）和(差)的导数：两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)，即
容易推广到有限个函数的情形：
（2）积的导数：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：
容易推出：（为常数）：常数与函数的积的导数等于这个常数乘以函数的导数；
四、导数的运用：
（1）函数的单调性：
①设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数。
②设函数在某个区间内可导，如果在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内(或)。
求可导函数单调区间的步骤：
①求； ②解不等式(或)；③确认并指出递增区间(或递减区间)；
证明可导函数在内的单调性的步骤：
①求； ②确认在内的符号； ③作出结论；
（2）函数的极大值与极小值：
函数极值的定义：设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有(或)，就说是函数的一个极大(小)值；
求可导函数的极值的步骤：
①求； ②求方程的全部实根；
③检查在方程的根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值。
（3）函数的最大值与最小值：
求在上的最大值和最小值的步骤：
①求在内的极值；
②将的各极值与，比较，确定的最大值与最小值；
【点此下载】