五、数列 一、数列定义： 数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，……，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为； 通常用代替，于是数列的一般形式常记为或简记为，其中表示数列的通项。 注意：（1）与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项； （2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。 （3）和之间的关系： 如：已知的满足，求。 二、等差数列、等比数列的性质： 等差数列 等比数列  定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫等差数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列  公差（比） ，或 ； ，或 （）；  通项公式    =    求和公式 由倒序相加法推得  = 由错项相减法推得 ①， = ②，  用函数的思想理解通项公式 若为等差数列，则 ， ； 等差数列的图象是直线上的均匀排开的一群孤立的点 若为等比数列，则 ， ；  用函数的思想理解求和公式 等差数列，， 则 ； ； ； 若，说明： ； 在二次函数 的图象上，是一群孤立的点。 若为等比数列，，则 ； ； ； （其中 的系数 与 为互为相反数，这是公式一很重要特点，注意前提条件。） 若，说明： ； 等比数列，，则 ；  增减性 为递增数列 ； 为递减数列 ； 为常数列 。 为递增数列 ； 为递减数列 ； 为常数列 ； 为摆动数列 ；  等差（比）中项 任意两个数有且只有一个等差中项，即为 ；两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。 两个数的等比中项为 ；（）  等差（比）数列的性质       若，则_______ _____； 特别当，则 ； 若，则__________ __； 特别当，则 ；   在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。 如：；问公差为 在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列，剩下的项按原顺序构成的数列也不一定是等比数列。 如：；问公比为    是 数列；公差为 ； 成等差数列。  是 数列；公差为 ；  是 数列；公比为 ；  是 数列；公比为 ；  是 数列；公比为 ；   若数列与均为等差数列，则仍为等差数列，公差为 ； 若数列与均为等差数列，则仍为等比数列，公比为 ； 仍为等比数列，公比为 ；  如：（1）在等差数列中，，则 ； （2）在等比数列中，，则 ； 另外，等差数列中还有以下性质须注意： （1）等差数列中，若，则 ； （2）等差数列中，若，则 ； （3）等差数列中，若，则 ； ； （4）若，则 时，最大。 （5）若与均为等差数列，且前n项和分别为与， 则； （6）项数为偶数的等差数列，有（与为中间的两项）  ； ； 项数为奇数的等差数列，有（为中间项）  ； ； ； 等比数列中还有以下性质须注意： （1）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别 ； ； （2）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别 ； ； 三、判定方法： （1）等差数列的判定方法： ①定义法：或（为常数）是等差数列 ②中项公式法：是等差数列 ③通项公式法：（为常数）是等差数列 ④前项和公式法：（为常数）是等差数列 注意：①②是用来证明是等差数列的理论依据。 （2）等比数列的判定方法： ①定义法：或（是不为零的常数）是等比数列 ②中项公式法：是等差数列 ③通项公式法：（是不为零常数）是等差数列 ④前项和公式法：（是常数）是等差数列 注意：①②是用来证明是等比数列的理论依据。 四、数列的通项求法： （1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，…… （2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。 ①递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。 ②递推式为：迭加法 如：已知中，，求 ③递推式为：迭乘法 如：已知中，，求 ④递推式为（为常数）： 构造法：Ⅰ、由相减得，则 为等比数列。 Ⅱ、设，得到，，则 为等比数列。 如：已知，求 ⑤递推式为（为常数）： 两边同时除去得，令，转化为，再用④法解决。 如：已知中，，，求 ⑥递推式为（为常数）： 将变形为，可得出解出，于是是公比为的等比数列。 如：已知中，，，求 （3）公式法：运用 ①已知，求；②已知中， ，求； ③已知中，，求 五、数列的求和法： （1）公式法： ①等差（比）数列前项和公式：② ； ③；④ （2）倒序相加（乘）法： 如：①求和：； ②已知为不相等的两个正数，若在之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积； （3）错位相减法：如：求和： （4）裂项相消法： ； ； 如：① ； ② ； ③若，则 ； （5）并项法：如：求 （6）拆项组合法：如：在数列中，，求， 六、数列问题的解题的策略： （1）分类讨论问题：①在等比数列中，用前项和公式时，要对公比进行讨论；只有 时才能用前项和公式，时 ②已知求时，要对进行讨论；最后看满足不满足，若满足中的扩展到，不满足分段写成。 （2）设项的技巧： ①对于连续偶数项的等差数列，可设为，公差为； 对于连续奇数项的等差数列，可设为，公差为； ②对于连续偶数项的等比数列，可设为，公比为； 对于连续奇数项的等比数列，可设为公比为；
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