六、向量
一、基本概念：
（1）向量的定义： 叫做向量，可用字母表示，如： ；也可用向量的有向线段的起点和终点字母表示，如： ；
（2）向量的两个要素： 、 ；其中向量的大小又称为 ；记为： ；
（3）向量与数量的区别：向量不同于数量，它是一种新的量，数量是只有大小的量，其大小可以用正数、负数或0来表示；它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以进行大小比较，“大于”、“小于”的概念对数量是适用的。向量是既有大小又有方向的量；向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的；由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的。
（4）特殊形式的向量：
①零向量： ；记为： ；方向为 ；规定：零向量与任一向量 ；
②单位向量： ；
③自由向量：一个向量只要不改变它的大小和方向，它的起点和终点可以任意平行移动的向量，叫做自由向量(本书研究的都是自由向量)．
④平行向量： 叫做平行向量(也称为共线向量)；向量与向量平行，记作： ；
⑤相等向量： 叫做相等向量；向量与向量相等，记作： ；
注：①零向量与零向量相等；
②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。
③两个向量相等是一个很重要的概念，从几何意义上看，就是这两个向量的长度相等且方向相同；从代数表达式考虑，就是它们对应的系数相等；对于用坐标表示的向量来说，就是这两个向量的坐标相等，这一点在解题中有很重要的作用。
⑥相反向量： 叫做相反向量，向量与向量相反，记作： ；
二、向量的表示法
（1）几何表示法：用有向线段表示，如：；
（2）字母表示法：用一个小写字母表示，如：；
注意：解题时，向量中的箭头不可省。
（3）坐标表示法：在直角坐标系内，分别取 的两个单位自量作基底，则对任一向量有且只有一对实数，使，就把叫做向量的(直角)坐标，记作 ；
注意：①叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。
②；；；
三、向量的运算：
（1）向量的加法：
①向量法：三角形法则，平行四边形法则
②坐标法：若，则；
③重要结论：
Ⅰ围成一周顺次始终相结的向量的和为；
Ⅱ当两向量平行时，平行四边形法不适用，可用三角形法则。
（2）向量的减法
①向量法：三角形法则、平行四边形法
②坐标法：若，则；
③重要结论：；；；
④从几何图形的角度理解：
取左边不等号中等号的条件
取右边不等号中等号的条件
取左边不等号中小于号的条件
取右边不等号中小于号的条件
异向或其中至少有一个零向量
同向或其中至少有一个零向量
不能
异向
不能
同向
同向或其中至少有一个零向量
异向或其中至少有一个零向量
不能
同向
不能
异向
注意：若将变为要比较绝对值的大小，且；若将变为要比较的模的大小，且；
（3）实数与向量的积(数乘)
①定义：一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：
Ⅰ、
Ⅱ、当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反。
②坐标法：若，则；
③运算律：设为实数，为向量：
结合律：；第一分配律：；第二分配律：；
（4）平面向量的数量积
①数量积：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做和 的数量积(或内积)，记作：；
注意：Ⅰ、夹角的范围：；其中当时；当 时；当时；
当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；
当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；
零向量与任何向量的数量积等于0。
Ⅱ、投影：叫做向量在方向上的投影。
②坐标法运算：若，则；
③运算律：交换律：；结合律：；
分配律：； 注意：
④重要性质：
Ⅰ、设都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，
则：；
Ⅱ、；
Ⅲ、当与同向时，；当与反向时，；
特别是：，或
Ⅳ、向量的夹角公式：；
Ⅴ、
四、定理与公式：
（1）平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理)：
如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么该平面内任一向量，只有一对实数，使；我们把不共线的向量和叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
（2）两个向量平行的充要条件：
设，为实数
①向量式：；②坐标式：；
（3）两个向量垂直的充要条件：
设
①向量式：；②坐标式：；
（4）两点间距离公式：
设，则；
如：求函数的最小值。
（5）线段的定比分点公式：
设，，，
①向量式：；
当时，中点对应向量公式；
②坐标式：中点对应向量公式；当时，中点坐标公式；
如：已知直线及两点当与线段相交时求的取值范围。（还可以从斜率的角度，通过数形结合解题）
注意：①要分清内分点和外分点
当分点在线段上时，点叫的内分点，这时值为；
当分点在线段或的延长线时，点叫外分点，值为；
点在延长线上时，这时值为；
点在延长线上时，这时值为；
②不能写成（没有定义两向量的除法），有时可写成；
③三角形重心公式：其中、、为三角形三顶点的坐标。
（6）平移公式：
平移：设是坐标平面上的一个图形，将上所有点按照同一方向，移动同长度，得到图形，这个过程就是图形的平移。
平移公式：是图形的任意一点，按照平移后图形上的对应点为，则；（注：）
注意：用平移公式，求平移后的解析式的一般步骤：①设平移后图形的任意一点，②把平移公式变形为，③代入原解析式中，得到了平移后的解析式。（此法在函数平移变换和解几的求轨迹方程中得以充分的体现）
五、运用向量证明平面几何问题：
（1）由平面向量的基本定理可知：平面的任意向量都可用两个基向量（不共向）来表示；这样在解题的一开始，设出两个不公线的向量，其他所有涉及的向量用这两个基向量来表示；
（2）从要证明的结论出发，充分挖掘向量将的几何关系：
①垂直关系；②平行关系（常隐含于条件中，如：有三个以上的点共线）；③角的关系：用向量夹角公式。
六、向量中常见问题的处理：
（1）；；
（2）；；
（3）在线段上或三点共线；
（4）；
（5）
与垂直；（思考：其几何含义）
（6）；（思考：其几何含义）
（7）理解；；；
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