第六节直接证明和间接证明
[知识能否忆起]
直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．
实质
由因导果(顺推证法)
执果索因
框图表示
…
…
文字语言
因为…所以…或由…得…
要证…只需证…即证…
二、间接证明
反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
解析：选B 假设为“三个内角都大于60°”．
2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a≤b
解析：选A a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，b＝ex＜1，则a＞b.
3．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了( )
A．分析法 B．综合法
C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法
解析：选B 因为证明过程是“从左往右”，即由条件?结论．
4．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是________．
解析：“如果a>b，那么>”若用反证法证明，其假设为≤ .
答案：≤
5．如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是________．
解析：∵a＋b＞a＋b?(－)2(＋)＞0?a≥0，b≥0且a≠b.
答案：a≥0，b≥0且a≠b
1.证明方法的合理选择
(1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法．
(2)当题目条件较少 ，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述．
2．使用反证法的注意点
(1)用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的部分毫无意义；
(2)应用反证法证明问题时必须导出矛盾．
综 合 法
典题导入
[例1] (2011·大纲全国卷)设数列{an}满足a1＝0且－＝1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，记Sn＝k，证明：Sn<1.
[自主解答] (1)由题设－＝1，
得是公差为1的等差数列．
又＝1，故＝n.所以an＝1－.
(2)证明：由(1)得
bn＝＝＝－，
Sn＝k＝＝1－<1.
由题悟法
综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．
以题试法
1．(理)(2012·东北三校模拟)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx －x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)≤g(x)．
解：(1)f′(x)＝，
g′(x)＝b－x＋x2，
由题意得解得a＝0，b＝1.
(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)
＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x＞－1)．
h′(x)＝－x2＋x－1＝.
h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．
h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．
(文)设f(x)＝ex－1，当x＞－1时，证明：
f(x)＞.
证明：当x＞－1时，要使f(x)＞，即ex－1＞＝2x－1，当且仅当ex＞2x，即ex－2x＞0，
令g(x)＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2，
令g′(x)＝0，得x＝ln 2.
当x∈(－1，ln 2)时，g′(x)＝ex－2＜0，故函数g(x)在(－1，ln 2)上单调递减；当x∈(ln 2，＋∞)时，
g′(x)＝ex－2＞0，故函数g(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．
所以g(x)在(－1，＋∞)上的最小值为g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)＞0.
所以在(－1，＋∞)上有g(x)≥g(ln 2)＞0.即ex＞2x.
故当x∈(－1，＋∞)时，有f(x)＞.
分 析 法
典题导入
[例2] △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：＋＝.
[自主解答] 要证＋＝，
即证＋＝3也就是＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得
b2＝c2＋a2－2accos 60°，即b2＝c2＋a2－ac，
故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立．
由题悟法
分析法的特点与思路
分析法的特点是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”(或定理、性质或已经证明成立的结论等)．通常采用“欲证——只需证——已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．
以题试法
2．已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.
证明：∵m＞0，∴1＋m＞0.
所以要证原不等式成立，
只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
即证m(a2－2ab＋b2)≥0，
即证(a－b)2≥0，
而(a－b)2≥0显然成立，
故原不等式得证.
反 证 法
典题导入
[例3] 设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
[自主解答] (1)证明：若{Sn}是等比数列，则S＝S1·S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，解得q＝0，这与q≠0相矛盾，故数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．
当q≠1时，{Sn}不是等差数列．假设q≠1时，S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3，
2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．
由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2，
∵q≠1，∴q＝0，这与q≠0相矛盾．
综上可知，当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列．
由题悟法
反证法证明问题的一般步骤
(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)
(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)
(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)
以题试法
3．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个为负数．
证明：假设a，b，c，d都是非负数，则由a＋b＝c＋d＝1，得
1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
即ac＋bd≤1，这与ac＋bd＞1矛盾，故假设不成立．即a，b，c，d中至少有一个为负数．
1．(2012·平顶山模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( )
A．不成立 B．成立
C．不能断定 D．能断定
解析：选B ∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(当n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．
∴an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列．
2．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )
A．2ab－1－a2 b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：选D 因为a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.
3．(2012·山师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
解析：选B “恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．
4．(2013·银川模拟)设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＞b，a＜b及a＝b中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，
其中正确判断的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C ①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正确的判断有2个．
5．(2012·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证<a”索的因应是( )
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：选C <a?b2－ac<3a2
?(a＋c)2－ac<3a2
?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0
?－2a2＋ac＋c2<0
?2a2－ac－c2>0
?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.
6．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( )
A．成等比数列而非等差数列
B．成等差数列而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列
D．既非等差数列又非等比数列
解析：选B 由已知条件，可得
由②③得代入①，得＋＝2b，
即x2＋y2＝2b2.
故x2，b2，y2成等差数列．
7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．
解析：a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然，＜.∴a＜b.
答案：a＜b
8．(2012·黄冈质检)在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足________．
解析：由余弦定理cos A＝＜0，
所以b2＋c2－a2＜0，即a2＞b2＋c2.
答案：a2＞b2＋c2
9．(2012·肇庆模拟)已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，
∴cn随n的增大而减小．
∴cn＋10.显然成立．故原不等式得证．
2．(2012·邯郸模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)
解析：若a＝，b＝，则a＋b>1，
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案：③
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点．若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.
(1)证明：是函数f(x)的一个零点；
(2)试比较与c的大小．
解：(1)证明：∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2.
∵f(c)＝0，
∴x1＝c是f(x)＝0的根．
又x1x2＝，
∴x2＝，
∴是f(x)＝0的一个根．
即是函数f(x)的一个零点．
(2)假设＜c，∵＞0，
∴由0＜x＜c时，f(x)＞0，知f＞0，
这与f＝0矛盾，∴≥c.
又∵≠c，∴＞c.
1．已知非零向量a，b且a⊥b，求证：≤.
证明：a⊥b?a·b＝0，
要证≤，
只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，
上式显然成立，故原不等式得证．
2．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，
求证：bn·bn＋2＜b.
解：(1)由已知得an＋1＝an＋1，则an＋1－an＝1，又a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．
故an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)证明：由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.
bn＝(bn －bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
因为bn·bn＋2－b＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2
＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2×2n＋1＋1)
＝－2n＜0，
所以bn·bn＋2＜b.
【点此下载】