直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[知识能否忆起] 一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式： 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝. 二、直线方程的形式及适用条件 名称 几何条件 方　程 局限性  点斜式 过点(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线  斜截式 斜率为k，纵截距为b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线  两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2) ＝ 不包括垂直于坐标轴的直线  截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0) ＋＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线  一般式  Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)    [小题能否全取] 1．(教材习题改编)直线x＋y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为(　　) A．30°　　　　　　　　　　 B．60° C．150° D．120° 解析：选C　由k＝tan α＝－，α∈[0，π)得α＝150°. 2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　) A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0 解析：选A　由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0. 3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 解析：选A　由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1. 4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________． 解析：kAC＝＝1，kAB＝＝a－3. 由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4. 答案：4 5．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________． 解析：由已知得直线l的斜率为k＝－. 所以l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即3x＋2y－1＝0. 答案：3x＋2y－1＝0 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．

直线的倾斜角与斜率  
典题导入 [例1]　(1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝(　　) A．－1　　　　　　　　　　　 B．－3 C．0 D．2 (2)(2012·苏州模拟)直线xcos θ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________． [自主解答]　(1)tan＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－1.y＝－3. (2)由题知k＝－cos θ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪. [答案]　(1)B　(2)∪
由题悟法 1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
以题试法 1．(2012·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析：选D　由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝知，f(0)＝f，即－b＝a，则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°. 2．(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A. B．(－∞，－2] C．(－∞，－2]∪ D. 解析：选D　由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB. ∵kPA＝－2，kPB＝， ∴－2≤k≤.
直 线 方 程  
典题导入 [例2]　(1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________． (2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为______________． [自主解答]　(1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1. 则所求直线方程为x－2y－1＝0. (2)由题意得，×kMN＝－1，所以kMN＝2，故弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. [答案]　(1)x－2y－1＝0　(2)2x－y－1＝0
由题悟法 求直线方程的方法主要有以下两种： (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； (2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．
以题试法 3．(2012·龙岩调研)已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求： (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线． 因为线段AB，AC中点坐标分别为，， 所以这条直线的方程为＝， 整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1. (2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.
直线方程的综合应用  
典题导入 [例3]　(2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程． [自主解答]　法一：设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上． 由题意知则点B(6－x，－y)， 解方程组 得则k＝＝8. 故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)， 点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)， 由解得 由解得 ∵P(3,0)是线段AB的中点， ∴yA＋yB＝0，即＋＝0， ∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8. 若k＝0，则xA＝1，xB＝－3， 此时＝≠3，∴k＝0舍去， 故所求的直线方程为y＝8(x－3)， 即8x－y－24＝0.
由题悟法 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．
以题试法 4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点． (1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程； (2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程． 解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)， A，B(0，1－2k)， △AOB的面积S＝(1－2k) ＝≥(4＋4)＝4. 当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立． 故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. (2)∵|MA|＝ ，|MB|＝， ∴|MA|·|MB|＝ ·＝2 ≥2×2＝4， 当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号， 故直线方程为x＋y－3＝0.

1．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点(　　) A．(1，－2)　　　　　　　 B．(1,2) C．(－1,2) D．(－1，－2) 解析：选A　因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)． 2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是(　　) A．2x＋11y＋38＝0 B．2x＋11y－38＝0 C．2x－11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝0 解析：选B　因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0，由点到直线的距离公式可得＝，解得C＝16(舍去)或C＝－38. 3．(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(　　) A．(3,0) B．(－3,0) C．(0，－3) D．(0,3) 解析：选D　∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2. 又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)， 整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0,3)． 4．(2013·佛山模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　) A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0 解析：选A　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0. 5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为(　　) A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1 C．y＝3x－3 D．y＝x＋1 解析：选A　将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋. 6．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(　　) A．－2 B．－7 C．3 D．1 解析：选C　线段AB的中点代入直线x＋2y－2＝0中，得m＝3. 7．(2013·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________． 解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－，令－3＜1－＜3，解得k＜－1或k＞. 答案：(－∞，－1)∪ 8．(2012·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________． 解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；l不过原点时，设方程为＋＝1，将点(－2,3)代入，得a＝1，直线方程为x＋y＝1. 综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0. 答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝0 9．(2012·天津四校联考)不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________． 解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0整理得 (x＋2)m－(x＋y－1)＝0， 则得 答案：(－2,3) 10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程． 解：设所求直线方程为＋＝1， 由已知可得解得或 故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 11．(2012·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1； 当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)． (2)①当m＝－1时，α＝； ②当m≠－1时，m＋1∈∪(0， ]， ∴k＝∈(－∞，－ ]∪， ∴α∈∪. 综合①②知，直线AB的倾斜角α∈. 12.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程． 解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1， kOB＝tan(180°－30°)＝－， 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x. 设A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中点C， 由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得 解得m＝，所以A(， )． 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝， 所以lAB：y＝(x－1)， 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
1．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：选B　由解得 ∵两直线交点在第一象限，∴解得k＞. ∴直线l的倾斜角的范围是. 2．(2012·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，直线l的方程为________________． 解析：易知圆心C的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC的斜率为＝－1，设直线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)． 法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立， ∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0， 解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)． (2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1， 要使直线l不经过第四象限，则 解得k的取值范围是[0，＋∞)． (3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B(0,1＋2k)． 又－<0且1＋2k>0，∴k>0. 故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k) ＝≥(4＋4)＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为(　　) A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0 C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0 解析：选B　∵kl1＝3，kl2＝－k，l1⊥l2， ∴k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0. 2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________． 解析：k＝tan α＝＝. ∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0， 故－2＜a＜1. 答案：(－2,1) 3.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点如图，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程． 解：设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为＋＝1， ∵l过点P(3,2)，∴＋＝1. ∴1＝＋≥2 ，即ab≥24. ∴S△ABO＝ab≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4时， △ABO的面积最小，最小值为12. 此时直线l的方程为＋＝1. 即2x＋3y－12＝0.

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