直线和平复习（四）?
教学目标
结合第一章的内容，渗透数学思想方法．（数形结合思想；方程的思想；转化的思想；分类讨论的思想）
教学重点和难点
数学思想的渗透与培养．
教学设计过程
师：今天是复习课的最后一节．今天以复习题目中体现的数学思想为主线，研究几种常用数学思想在本章的体现．
分类讨论的思想是同学们比较熟悉的．使用较多的是在代数课上y=ax2+bx+c的图象，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．
几何中，分类讨论思想的应用，主要是依据图形中元素位置关系的不同而展开的．
请看以下一组题目：
例1? 已知：a∥b，直线a 平面α，直线b 平面α，直线c 平面α，c∥a．若直线a与直线b的距离为6cm，直线b与直线c的距离5cm，直线c与平面α的距离为4cm．
求：直线a与直线c的距离．
（教师画图）
生A：在直线c上任取一点A，作AB⊥α于B，过B作BC⊥a于C，反向延长交b于D，因为a∥b，所以BC⊥b．分别连结AC、AD，根据三垂线定理，a⊥AC，b⊥AD．
据题意知：CD=6cm，AD=5cm，AB=4cm，在Rt△ABD中，求出BD=3cm，所以BC=3cm，在Rt△ABC中，求出AC=5cm．
师：哪位同学对“生A”的解答有补充？
师：生A的解答基础是依据我画的图．而原题中并没有给图，也没有“如图”这样的说明，因此我们先要研究图应该怎么画！
生B：老师，我对“生A”的发言有补充．
这个题目的图形还有以下两种可能：
师：好．这道题目体现了分类讨论的思想．它是根据直线c在平面α内射影的不同位置来
进行讨论的．
生C：老师，我认为还有两种情况：
情形1：直线c在平面α内射影与直线a重合．
情形2：直线c在平面α内射影与直线b重合．
师：“生C”同学的补充很好．例1应该分为5种情况来讨论．但是其中会有一些情况无解，请同学们现在实践一下．
图一的位置．其余三种位置关系均无解．
师：还有一点提醒同学们注意：对于不同的位置关系，解题时都要给予论述，对于无解的情形要讲清无解的原因。有些同学认为无解就不用写了，这种认识是错误的．再看例2．
例2? 平面α外两点A，B，它们到平面α的距离分别为a，b，
求：点P到平面α的距离．
生A：我认为有两种情况：一种是点A、点B在平面α同侧；另一种是点A、点B在平面α异侧．
生B：我有不同看法，已知条件中没有给出a，b的大小关系，“生A”解决图5情形时，默认为b＞a是不对的，应该再分两种情形：
师：“生B”的补充很好，例2不仅在图形的位置关系上分类讨论，还要根据数据a，b的大小关系来分类讨论．如果简化题目，已知条件上补一个条件：b＞a，是否上述解答就全面了呢？
生C：当A，B两点在两侧时，在图6中，点P不一定在A1B1上方．当b＞2a时，点P位于A1B1上方；当b=2a时，点P在A1B1上；
师：经过“生C”的补充，题目解答就全面了．
下面谈一下方程的思想．在初中阶段，同学们重点研究了列方程解应用题，这就是最基本的方程的思想．通过设未知数，寻求已知量与未知量之间的关系，从而获得问题的解决．下面请看例3．
例3? 如图7，二面角α-l-β，点B∈l，AB α，BC β．∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=60°．
求：二面角α-l-β的大小．
师：首先我们可以根据二面角的平面角的定义构造二面角的平面角．具体作法是：在l上选点D，经过点D分别在α，β平面内作l的垂线交BA，BC于E，F．
设AD=α，由∠ABD=45°得BD=a．
∠EDF=90°．
本例特点在于题目中没有给出任何线段的长度，而是通过设未知量，进而知道已知与未知的关系．
例4? 二面角α-EF-β为120°，点A∈α，点B∈β，∠ACB为二面角的平面角，且AC=BC=a．在EF上取一点D．
问：D点在何处时，∠ADE=∠ADB=∠BDE=θ？
为了确定点D的位置，可设与D点有关的某一条线段长为x，依据题设建立等量关系．再求出x的值，同学们实践一下．
生A：在EF上取点D，设AD=x．
因为? AC=BC=a，∠ACB=120°，
因为? ∠ADE=∠ADB=∠BDE=0，
所以? ∠ADC=180°-θ．
△ABD中由余弦定理可得：
AB2=x2+x2-2x2cosθ，
生B：我认为解答不全面，刚才“生A”的解答中，运用了图8中各点之间位置关系．
应该给予讨论，当点D位于CF之间时，∠ADC=180°而不是等于180°-θ．
师：“生B”的问题提的好，在“生A”的解答中，距点C的距离
例5? 如图9，∠ASB=90°，∠CSB=75°，∠ASC=105°，由
求：△ABC的周长．
师：这道题目的难度在于如何建立一座沟通已知与未知的桥梁．
生：观察图形，我发现图中有三对全等三角形．△ADS≌△AFS；△FSC≌△ESC；△BES≌△BDS．设∠DSA=α，∠FSC=β，∠ESB=γ．
师：上面列举了3个题目，从不同的侧面，以不同的形式反映出方程的思想在立体几何解题中的作用．
下面再谈一下转化的思想，转化的内涵十分丰富．有条件的转化；结论的转化；图形的转化；解题策略的转化……
事实上，许多题目的解答过程都不同程度在使用转化的思想．
例6? 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．
求：异面直线A1C1与B1C的距离．
生A：可以证明：B1C∥A1D1，进而可证B1C∥面A1DC1，问题转化为求直线B1C与平面A1C1D的距离……
生B：还可以证明AC∥A1C1，不难证明：平面A1C1D∥平面ACD1．问题转化为求平面A1C1D与平面ACB1的距离……
生C：在A1C1上取一点P，作PN⊥B1C1于N，作NQ⊥B1C于Q，连结PQ．可以证明PQ⊥B1C．
师：“生C”的思想是：依据异面直线的概念，特别是公垂线段的长是两条异面直线上各取一点后所连线段的最小值．
布置作业：（略）
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