直线与圆、圆与圆的位置关系
[知识能否忆起]
一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r
二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量化
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d ＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
解析：选B 由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝，0＜d＜，故该直线与圆相交但不过圆心．
2．(2012·银川质检)由直线y＝x＋1上的一点向圆x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A. B．2
C．3 D.
解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x2＋y2－6x＋8＝0可化为(x－3)2＋y2＝1，则圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离为＝2，切线长的最小值为＝.
3．直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝r2相交于A，B两点，且AB的长为2，则圆的半径为( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选B 圆心(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝.则r2＝2＋d2＝，r＝.
4．(教材习题改编)若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．
解析：由题意知 ＞1，解得－＜k＜.
答案：(－， )
5．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．
解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0.
答案：x－2y＋4＝0
1.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．
直线与圆的位置关系的判断
典题导入
[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
[自主解答] 将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得
32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
所以点P(3,0)在圆内．
故过点P的直线l定与圆C相交．
[答案] A
本例中若直线l为“x－y＋4＝0”问题不变．
解：∵圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，
∴圆心(2,0)，r＝2.
又圆心到直线的距离为d＝＝3＞2.
∴l与C相离．
由题悟法
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．
以题试法
1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )
A．(－2，2) B．(－，)
C. D.
解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l的方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，根据点到直线的距离公式得＜1，即k2＜，解得－＜k＜.
直线与圆的位置关系的综合
典题导入
[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于( )
A．3 B．2
C. D．1
(2)(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( )
A．[1－，1＋ ]
B．(－∞，1－ ]∪[1＋，＋∞)
C．[2－2，2＋2 ]
D．(－∞，2－2 ]∪[2＋2，＋∞)
[自主解答] (1)圆x2＋y2＝4的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1.
故|AB|＝2＝2＝2.
(2)圆心(1,1)到直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0的距离为＝1，所以m＋n＋1＝mn≤(m＋n)2，整理得[(m＋n)－2]2－8≥0，解得m＋n≥2＋2或m＋n≤2－2.
[答案] (1)B (2)D
由题悟法
1．圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2.
(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：
|AB|＝|x1－x2|＝.
[注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．
2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．
以题试法
2．(2012·杭州模拟)直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )
A. B.
C．[－， ] D.
解析：选B如图，设圆心C(2,3)到直线y＝kx＋3的距离为d，若|MN|≥2，则d2＝r2－2≤4－3＝1，即≤1，解得－≤k≤ .
圆与圆的位置关系
典题导入
[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝________.
[自主解答] (1)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2＜d＜3＋2，∴两圆相交．
(2)由题意可设两圆的方程为(x－ri)2＋(y－ri)2＝r，ri＞0，i＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4－ri)2＋(1－ri)2＝r，整理得r－10ri＋17＝0，此方程的两根即为两圆的半径r1，r2，所以r1r2＝17，r1＋r2＝10，则|C1C2|＝＝×＝ ×＝8.
[答案] (1)B (2)8
由题悟法
两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
以题试法
3．(2012·青岛二中月考)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．
解析：依题意得|OO1|＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△O O1A＝··|OO1|＝·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝＝＝4.
答案：4
一、选择题
1．(2012·人大附中月考)设m＞0，则直线(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
解析：选C 圆心到直线l的距离为d＝，圆半径为.因为d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．
2．(2012·福建高考)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )
A．2 B．2
C. D．1
解析：选B 因为圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离为1，所以AB＝2＝2.
3．(2012·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选C 欲使直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径即可，即≤，化简得|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
4．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选C 设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，则切线方程为x0x＋y0y＝1.分别令x＝0，y＝0得A，B，则|AB|＝ ＝≥＝2.当且仅当x0＝y0时，等号成立．
5．(2013·兰州模拟)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为( )
A．(＋1，＋∞) B．(－1, ＋1)
C．(0, －1) D．(0, ＋1)
解析：选A 计算得圆心到直线l的距离为＝ ＞1，如图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离 ＋1.
6．(2013·临沂模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A. B.
C．2 D．2
解析：选D 圆心C(0,1)到l的距离d＝，
所以四边形面积的最小值为2×＝2，
解得k2＝4，即k＝±2.
又k＞0，即k＝2.
7．(2012·朝阳高三期末)设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是________．
解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x－my－1＝0的距离d＝＝1，即＝1，解得m＝±.
答案：±
8．(2012·东北三校联考)若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．
解析：由题意可知圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为2 ，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2.
答案：2
9．(2012·江西高考)过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
解析：∵点P在直线x＋y－2＝0上，∴可设点P(x0，－x0＋2)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.由两点间的距离公式得OP＝ ＝2，解得x0＝.故点P的坐标是( ， )．
答案：( ， )
10．(2012·福州调研)已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．
(1)若|AB|＝，求|MQ|及直线MQ的方程；
(2)求证：直线AB恒过定点．
解：(1)设直线MQ交AB于点P，则|AP|＝，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|＝ ＝，
又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3.
设Q(x,0)，而点M(0,2)，由＝3，得x＝±，
则Q点的坐标为(，0)或(－，0)．
从而直线MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.
(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点.
11．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
解：(1)证明：由题设知，圆C的方程为
(x－t)2＋2＝t2＋，
化简得x2－2tx＋y2－y＝0，
当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；
当x＝0时，y＝0或，则B，
所以S△AOB＝|OA|·|OB|
＝|2t|·＝4为定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率
k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.
∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，
由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，
整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①
直线与圆交于两个不同的点A、B等价于Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，解得－
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