第七节指数与指数函数
[知识能否忆起]
一、根式
1．根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根
n＞1且n∈N*
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数
零的n次方根是零
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数
±(a>0)
负数没有偶次方根
2．两个重要公式
(1)＝
(2)()n＝a(注意a必须使有意义)．
二、有理数指数幂
1．幂的有关概念
(1)正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
2．有理数指数幂的性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
三、指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
图象
01
图象特征
在x轴上方，过定点(0,1)
性
质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
减函数
增函数
函数值变化规律
当x>0时，y>1
当x<0时，y>1；当x>0时，01进行分类讨论．
指数式的化简与求值
典题导入
[例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)；
(2)0.5＋0.1－2＋－－3π0＋.
[自主解答] (1)原式＝
＝a－－－·b＋－＝.
(2)原式＝＋＋－－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
由题悟法
指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．
以题试法
1．计算：
(1)(0.027)－－－2＋－(－1)0；
(2)－·.
解：(1)原式＝－－(－1)－2－2＋－1
＝－49＋－1＝－45.
(2)原式＝·a·a－·b·b－
＝a0·b0＝.
指数函数的图象及应用
典题导入
[例2] (2012·四川高考)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
[自主解答] 法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.
法二：当a>1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，且过(1,0)，排除选项A、B；
当0b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
(2)(2012·上海高考)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：(1)由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.
(2)结合函数图象求解．因为y＝eu是R上的增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，只需u＝|x－a|在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a≤1.
答案：(1)A (2)(－∞，1]
[典例] 函数y＝x－x＋1在x∈[－3,2]上
的值域是________．
[常规解法] y＝x－x＋1＝2－x＋1＝2＋，
因为x∈[－3,2]，所以≤x≤8.
当x＝时，ymin＝；当x＝8时，ymax＝57.
所以函数y的值域为.
[答案]
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1．解答本题可利用换元法，即令t＝x，把函数化为y＝t2－t＋1，其中t∈，然后求在这个闭区间上的二次函数的最大值和最小值即可确定函数的值域．
2．对于含ax、a2x的表达式，通常可以令t＝ax进行换元，但换元过程中一定要注意新元的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系．
——————————————————————————————————————
[巧思妙解] 因为x∈[－3,2]，若令t＝x，则t∈.则y＝t2－t＋1＝2＋.
当t＝时ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.答案为.
针对训练
若00)．
因为00，所以a＝.
答案：
1．下列函数中值域为正实数集的是( )
A．y＝－5x B．y＝1－x
C．y＝ D．y＝
解析：选B ∵1－x∈R，y＝x的值域是正实数集，
∴y＝1－x的值域是正实数集．
2．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于( )
A．5 B．7
C．9 D．11
解析：选B 由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，
两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，
即22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝7.
3．函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )
解析：选B ∵f(x)＝
∴根据分段函数即可画出函数图象．
4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
解析：选C 由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，可知C正确．
5．(2012·深圳诊断)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则( )
A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)
C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)
解析：选A ∵f(2)＝4，∴a－|2|＝4，∴a＝，
∴f(x)＝－|x|＝2|x|，∴f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x是增函数，∴x<0时，f(x)是减函数，∴f(－2)>f(－1)．
6．若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C．(－1,2) D.
解析：选D 因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于
解2m＋1≥0，得m≥－；
解m2＋m－1≥0，
得m≤或m≥；
解2m＋1>m2＋m－1，即m2－m－2<0，得－1f(n)，则m、n的大小关系为________．
解析：∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．
函数f(x)＝ax在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.
答案：m>n
9．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)且f(1)＝9.则f(x)的单调递减区间是________．
解析：由f(1)＝9得a2＝9，∴a＝3.因此f(x)＝3|2x－4|，
又∵g(x)＝|2x－4|的递减区间为(－∞，2]，∴f(x)的单调递减区间是(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
10．求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝2x－x2；(2)y＝ .
解：(1)显然定义域为R.
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
且y＝x为减函数．
∴2x－x2≥1＝.
故函数y＝2x－x2的值域为.
(2)由32x－1－≥0，得32x－1≥＝3－2，
∵y＝3x为增函数，∴2x－1≥－2，
即x≥－，
此函数的定义域为，
由上可知32x－1－≥0，∴y≥0.
即函数的值域为[0，＋∞)．
11．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解：当a>1时，f(x)＝ax为增函数，在x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a.
∴a2－a＝.即a(2a－3)＝0.
∴a＝0(舍)或a＝>1.∴a＝.
当00，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)1，又f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由单调性知a3>a2，∴f(－4)>f(1)．
2．(2012·衡水模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．
①a<0，b<0，c<0；②a<0，b≥0，c>0；
③2－a<2c；④2a＋2c<2.
解析：画出函数f(x)＝|2x－1|的图象(如图)，
由图象可知，a<0，b的符号不确定，c>0.
故①②错；
∵f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|，
∴|2a－1|>|2c－1|，即1－2a>2c－1，
故2a＋2c<2，④成立；
又2a＋2c>2，∴2a＋c<1，
∴a＋c<0，∴－a>c，∴2－a>2c，③不成立．
答案：④
3．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令t＝－x2－4x＋3，
由于t(x)在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有
解得a＝1.
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
1．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：
①00，a≠1)的单调区间和值域．
解：y＝(ax－1)2－2(a>0，a≠1)，设u＝ax.
∵y＝(u－1)2－2在u∈[1，＋∞)时是关于u的增函数，在u∈(－∞，1)时是关于u的减函数，
∴当ax≥1时，原函数的单调性与u＝ax的单调性相同；当ax<1时，原函数的单调性与u＝ax的单调性相反．
若a>1，ax≥1?x≥0；ax<1?x<0，
∴在[0，＋∞)上，函数y＝a2x－2ax－1是增函数；
在(－∞，0)上，函数y＝a2x－2ax－1是减函数．
若00，
∴在(0，＋∞)上，函数y＝a2x－2ax－1是增函数；
在(－∞，0]上，函数y＝a2x－2ax－1是减函数．
∵ax>0，∴函数值域是[－2，＋∞)．
第八节对数与对数函数
[知识能否忆起]
1．对数的概念
(1)对数的定义：
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．当a＝10时叫常用对数．记作x＝lg_N，当a＝e时叫自然对数，记作x＝ln_N.
(2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：
①loga1＝0.
②logaa＝1.
③对数恒等式：alogaN＝N.
④换底公式：logab＝.
推广logab＝，logab·logbc·logcd＝logad.
(3)对数的运算法则：
如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④log amMn＝logaM.
2．对数函数的概念
(1)把y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)函数y＝logax(a>0，a≠1)是指数函数y＝ax的反函数，函数y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)的图象关于y＝x对称．
3．对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
01时，y>0当01时，y<0当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)设A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝，则A∩B为( )
A. B.
C. D．(0,2)
解析：选C ∵A＝{y|y>0}，B＝，
∴A∩B＝.
2．函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象经过定点A，则A点坐标是( )
A. B.
C．(1,0) D．(0,1)
解析：选C 当x＝1时y＝0.
3．函数y＝lg |x|( )
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
解析：选B y＝lg |x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
4．(2012·江苏高考)函数f(x)＝ 的定义域为________．
解析：由1－2log6x≥0，解得log6x≤?0＜x≤，故所求定义域为(0， ]．
答案：(0， ]
5．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.
解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2.
答案：2
1.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
2．对数值取正、负值的规律：
当a>1且b>1，或00；
当a>1且01时，logab<0.
3．对数函数的定义域及单调性：
在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
对数式的化简与求值
典题导入
[例1] 求解下列各题．
(1)lg －lg＋lg＝________；
(2)若2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
[自主解答] (1)lg －lg＋lg
＝×(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(lg 5＋2lg 7)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 5＋lg 7
＝lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝.
(2)由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝logm2＋logm5＝logm10.
∵＋＝2，
∴logm10＝2，即m2＝10.
解得m＝(∵m>0)．
[答案] (1) (2)
由题悟法
对数式的化简与求值的常用思路
(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
以题试法
1．化简：(1)lg＋lg 70－lg 3－；
(2)3－45×2－11.
解：(1)原式＝lg－
＝lg 10－
＝1－|lg 3－1|＝lg 3.
(2)原式＝3－210×2－11
＝3－2－1
＝－.
对数函数的图象及应用
典题导入
[例2] (1)(2012·烟台调研)函数y＝ln(1－x)的图象大致为( )
(2)(2012·新课标全国卷)当00，知x<1，排除选项A、B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.
(2)法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0，所以a的取值范围为.
法二：∵04x>1，∴01时，如图，
要使x∈(1,2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，
又即loga2≥1.
所以10；当x<0时，y＝f(1－x)为增函数，且y<0.
对数函数的性质及应用
典题导入
[例3] 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围；
(2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[自主解答] (1)因为f(x)的定义域为R，
所以ax2＋2x＋3>0对任意x∈R恒成立．
显然a＝0时不合题意，
从而必有即解得a>.
即a的取值范围是.
(2)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－10，且a≠1)．
以题试法
3．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的单调性．
解：(1)由ax－1>0得ax>1，当a>1时，x>0；
当01时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当01时，设01时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
类似地，当00时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.
6．已知函数f(x)＝log|x－1|，则下列结论正确的是( )
A．f1)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于________．
解析：∵a＞1，
∴f(x)＝logax在[a,2a]上为增函数．
∴loga2a－logaa＝，解得a＝4.
答案：4
10．计算下列各式．
(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；
(2).
解：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
(2)原式＝
＝＝－.
11．说明函数y＝log2|x＋1|的图象，可由函数y＝log2x的图象经过怎样的变换而得到．并由图象指出函数的单调区间．
解：作出函数y＝log2x的图象，再作其关于y轴对称的图形得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数
y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．
由图知，函数y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．
12．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．
(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；
(2)x取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)＜f(1)．
解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b，
∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b.
由已知得(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a(log2a－1)＝0.
∵a≠1，∴log2a＝1，即a＝2.
又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.
∴a2－a＋b＝4.∴b＝4－a2＋a＝2.故f(x)＝x2－x＋2.
从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2
＝2＋.
∴当log2x＝，即x＝时，f(log2x)有最小值.
(2)由题意
??0＜x＜1.
1．(2012·山西四校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(3)的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－3
解析：选D 依题意得f(3)＝f(2)－f(1)＝[f(1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3.
2．已知f(x)是周期为2的奇函数，当00，
b＝f＝f＝－f＝－lg>0，
c＝f＝f＝lg<0.
又因为lg>lg，
所以0<－lg<－lg.
所以c0且a≠1)，满足对任意的x1，x2，当x10，求实数a的取值范围．
解：因为对任意的x1，x2，当x10，
所以函数f(x)在上单调递减．
令t＝x2－ax＋3，则二次函数t＝x2－ax＋3的对称轴为x＝，其在上单调递减．
由复合函数的单调性，可知y＝logax为单调增函数，故a>1.
由对数函数的定义域，可知在区间上，t>0恒成立，即x2－ax＋3>0在区间上恒成立．
而函数t＝x2－ax＋3在区间上的最小值为2－a×＋3＝3－.故3－>0，解得|a|<2.
综上可得a的取值范围是(1,2)．
1．设函数f(x)＝若f(m)0时，f(m)1；
当m<0时，f(m)1，故f(a)＝|lg a|＝－lg a，f(b)＝|lg b|＝lg b．由f(a)＝f(b)，得－lg a＝log b，即lg(ab)＝0，故ab＝1.则2a＋b≥2＝2，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时取等号．
3．化简：log3·log5[4log210－(3)－7log72]．
解：原式＝log3·log5[2log210－(3)－7log72]
＝·log5(10－3－2)
＝·log55＝－.
4．(2012·上海徐汇二模)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]．
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)得
(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15恒成立，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)．
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