映 射
人教版 数学第一册(上)
重庆市长寿区川维中学 蔡 茂
教学目的：
了解映射的概念及符号表示方法；
了解象与原象的概念；
在映射概念的形成过程中，培养学生的观察、比较和归纳的能力。
教学重点：映射的概念。
教学难点：映射概念的形成与认识。
教学过程：引入：初中所学的对应
1）、对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的一点P和它对应；
2）、对于坐标平面内的任何一个点A，都有唯一的一个有序实数对（x,y）和它对应；
这节课就是在集合的基础之上重点研究两个集合元素与元素之间的一种特殊的对应——映射。
新课：1、观察讨论中接近概念
1）、引例：观察以下几个集合间的对应，讨论特征 A B
A B A B
取倒数
开平方
取绝对值 乘以2
多对一 一对一
④
A B A B
每人领自己
平方 的学生证
多对一 一对一
⑤ ⑥
讲解：１）、以上对应的特征：对于集合A中的任何一个元素,按照某种对应法则f ,在集合B中都有确定的一个或几个元素和它对应。具体为：一对多，一对一，多对一。
２）、在这些对应中有那些是让Ａ中元素就对应Ｂ中唯一的一个元素：（让学生仔细观察，回答②③④⑤⑥）
②③④⑤⑥的共性：Ａ中的每个元素在Ｂ中都有唯一的元素与之对应，直观语言表述：A中的每个元素在B中的结果均唯一。（由学生总结，教师补充整理引出映射定义）
定义1：一般地，设Ａ、Ｂ是两个集合，若按照某种对应法则f，对于集合Ａ中的任何一个元素，在集合Ｂ中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合Ａ到集合Ｂ的映射，记作f：A→B。
（这种具有对应关系的元素也有自己的名称，引出象与原象的概念。）
定义2：给定一个映射f：A→B，且aA,bB，若元素a与元素b对应，则b叫做a的象，而a叫做b的原象。（以②③④⑥具体说明谁是谁的象，谁是谁的原象）。
2、映射定义剖析：
1）、映射是由三部分构成的一个整体：集合A、集合B、对应法则f，这一点从映射的符号表示f：A→B可看出，其中集合A、B可以是数集、点集或其他集合，可以是有限集也可以是无限集，但不能是空集。（用引例说明）
2）、映射f：A→B是一种特殊的对应，它要求A中的任何一个元素在B中都有象，并且象唯一，即元素与元素之间的对应必须是“任一对唯一”，不能是“一对多”。如：引例中①不是映射。又如：设A=｛0、1、2｝，B=｛0、1、｝，对应法则f：取倒数，可记为f:x→,因A中0无象，所以不是映射。
3）、映射f：A→B中，A中不同的元素允许有相同的象，即可以“多对一”，如③。
4）、映射f：A→B中，不要求B中每一个元素都有原象，如④。即若映射f：A→B的象集为C，则CB。
5）、映射是有顺序的，即映射f：A→B与f：B→A的含义不同。
3、概念的初步应用
1）、例1、设集合A=｛a,b,c｝, B=｛x,y,z｝,从集合A到集合B的对应方式如下图所示，其中，哪几个对应关系是从集合A到集合B的映射？
A B A B A B
① ② ③
A B A B
④ ⑤
分析：判断两个集合之间的对应关系是否为映射的方法：根据映射的定义，对于集合A中的任意一个元素a,在对应法则f的作用下，在集合B中有且只有一个元素b与之对应。符合这个条件的就是从集合A到集合B的映射，否则就不是。
解：①②③所示的对应关系中，对于集合A中的任意一个元素，在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，因此，它们都是从集合A到集合B的映射；
在④所示的对应关系中，对于集合A中的元素b，没有指定集合B中的对应元素，因此，它不是映射；
在⑤所示的对应关系中，对于集合A中的元素a，在集合B中有两个元素x、y与之对应，因此，它也不是因映射。
注：判断两个集合的对应关系是否为映射，关键在于抓住“任意”“唯一”这两个关键词，一般性结论是：一对一，多对一是映射。
例2：判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射
①、A=R，B=｛x|x＞0 且x∈R｝,f：x→y=|x|
解：∵0∈A，在法则f下0→|0|=0B ∴不是从集合A到集合B的映射
②、A=N，B=N﹡，f：x→y=|x-1|
解：∵1∈A，在法则f下：1→|1-1|=0B∴不是从集合A到集合B的映射
③A=｛x|x＞0 且x∈R｝，B=R，f：x→y=x2
解：对于任意x∈A,依法则f：x→x2 ∈R，∴该对应是从集合A到集合B的映射
注：映射是两个集合之间的一种特殊的对应关系，它要求集合A中任意一个元素x，都可以运用对应法则f实施运算，运算产生的结果y一定在集合B中，且唯一确定。
2）、由学生自己举几个映射的例子，学生先评判，教师再点评
备用例子
①A=｛，1，-2｝，B=｛3，2，1，，0｝ f：x→y=+1,x∈A,y∈B
②A=R，B=R，f：x→y=2x+1, x∈A,y∈B
③A=N*,B=｛0,1｝, f：除以2的余数
④A=｛某商场的所有商品｝B=｛商品的价格｝f：每种商品对自己的价格
小结：①、映射是特殊的对应， 是“一对一”或“多对一”的对应
②、映射与对应的关系如图所示
5、作业：习题2、1 1、2、7、8
研究课题：（1）、对应与映射的区别是什么？
（2）、设映射f：A→B中象集为C，若集合A中有m个元素，象集C中有n个元素，则m与n的关系是什么？
（3）、设A=｛a、b｝,B=｛c、d｝
①、用图示法表示集合A到集合B的所有不同映射；
②、若B=｛c、d、e｝,则A到B可建立多少个不同映射；
教案说明
对教材地位与作用的认识
函数是中学数学中最重要的基本概念之一。初中课本已初步讨论了函数的概念 ，学生在头脑中已具备函数定义的雏形，知道函数是变量之间的一种对应关系，为了深入理解函数概念，高中数学将从映射的角度来解释函数。所以映射概念是学习函数概念的基础。理解了映射的结构，可帮助学生顺利掌握函数的三要素。学生若透彻理解了映射的意义，也就寻得了函数学习的入门之径，从而让学生很自然的做好初高中数学知识学习上的衔接，顺利的为进一步挖掘函数的性质铺好道路。
2、对学习目标的确定
映射概念是一个比较抽象的概念，特别是用抽象的符号表示，使得学生在理解和认识上都有一定的困难，针对这种情况，本节课的教学目标只能定在“了解”的水平上，但“了解”不等同于“轻视”，反映在学生的学习行为上，即要求学生能清楚映射的三大组成部分缺一不可，能明白映射是一种特殊的对应，能从不同的对应中识别出映射。
3、如何突破难点
映射是比较抽象的概念，需要用抽象的符号表示，这在学习中是比较困难的，因此在教学中一定要遵循学生的认知特点，利用他们已具备的知识结构，循序渐进，有条理的逐步加深。映射是在初中所学对应的基础上研究两个集合间元素的对应关系，集合的相关知识在前一章里已学习过，对集合的表示方式学生已具备感性认识的基础，据此决定用图形表示映射，在集合的选择上选择能用列举法表示的有限集，对应法则用语言描述，这样首先直观的把映射的特点展现出来，从而突破难点。通过图示狠抓“任一对唯一”的特征，从对应中筛出“一对一”和“多对一”的对应，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识，自然得出映射定义，再抽象成符号表示，强调映射的组成部分。这种层层递进的思维模式，将有助于学生的理解。
4、对数学能力的培养
能力的培养与知识的学习同等重要，每节课都应根据教学内容来确定能力训练的方向。本节课是一堂数学概念教学课，大量的通过图形来表现映射的本质，在要求学生探求指定对应共性时对学生的观察归纳能力也进行了一定的训练。同时从特殊的对应归纳出映射的一般概念的逻辑思维过程，体现了数学上常采用的从特殊到一般的思想方法。
5、教学过程的设计
①、复习集合的相关知识，举出初中对应的实例，引出课题；
②、观察所列对应的特点，带着“任一对唯一”的条件寻找符合要求的对
应，在得到映射概念的同时强化其重要特征；
③、用正反实例对定义进行剖析；
④、初步运用，举例辨析。
6、作业的设计
本堂课的作业练习分为两个部分，习题的安排都是直接利用图示观察写出
结果，比较直观，之后再安排了3个研究课题 ，主要侧重训练学生思维，需要他们深刻领会映射定义。
7、对学生学习活动的引导与组织
教学应该师生互动，只有学生积极的参与才有可能取得良好的教学效果。本节课是一堂概念课，例题与练习题不多，需要学生在实例中观察、比较。刚开始学生可能会对讨论方向把握不住，所以先给出需要寻找的对应的共性，便于让学生找到符合条件的对应，再启发学生共同讨论出映射的特点，体现从“特殊到一般”的方法。在进行定义剖析时，每说明一点都要给出具体的实例加以印证，以加深学生的理解与认识。在要求学生自己举出映射的例子时，学生可能会遇到以下一些问题，举的例子单一或举的例子不是映射或一下又无从下手，这就需要作好应变措施，及时调整方案，学生才从初中转入高中比较习惯模仿，那就多准备一些备用例子让学生模仿。总之，在教学活动中，教师离不开学生的参与，学生需要教师的启发，而教师的启发方法要把握住学生的思维规律，使学生的认识活动顺利进展的同时其探索能力也得到一定的训练。
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