§2.1.2 一一映射
[教学目的]
使学生了解一一映射的概念；会判断一些简单对应是否是一一映射.
[重点难点]
重点：一一映射的概念；
难点：判断所给对应是否是一一映射.
[教学设想]
1.教法：直观演示、引导发现法；
2.学法：启发学生观察、思考、分析和讨论；
3.课时：1课时.
[教学过程]
一、复习引入
⒈复习从集合A到集合B的映射的概念.然后指出以下两点：
⑴映射是特殊的对应，它的特点是：在集合A中的任一元素在集合B中有唯一的元素与它对应；
⑵对集合B中的元素，在集合A中可以有几个元素和它对应，即对集合B中的元素，在集合A中的原象没有提出个数上的限定.
⒉问题引入：如果f是集合A到B的映射，B中任一元素在A中原象的个数可能有几种情况，举例说明.
答：有三种情况：
⑴集合B中的某一元素在A中没有原象（如图1）；
⑵集合B中的任何一个元素在A中都有一个原象（如图2）；
⑶集合B中的某一元素在A中有两个或两个以上的原象（如图3）.
f：乘以2 f：加3 f：乘方
g：除以2 g：减3 g：开方
图1 图2 图3
进一步提问：在对应法则f下，可以由A中的元素a求出a在B中的对应元素b，就上述三例，如果要由B中的元素b，在A中求出它在f下的原象，应怎样求？
答：就是找出由b求a的对应法则.易知它们的对应法则分别是：“除以2”，“减3”和“开方”.我们记B→A的对应法则为g.
再问：g：B→A是不是从B到A的映射，为什么？
答：图2中的g：B→A是映射；图1、图3中的g：B→A不是映射.
小结：对任一个f：A→B的映射来说，由B到A的对应g都存在，但对应g 有的是映射，有的不是映射.可见要使对应g成为映射，必须对原来的f提出更多的条件.
引导学生分析图1、图3两种情况：图1中，g不是映射的原因是因为B中存在元素“5”，它在A中没有原象.图3中，g不是映射的原因是因为B中的元素“1”和“4”，它们在A中有两个原象.从而得出结论：如果f：A→B是映射，要使g：B→A成为映射，必须排除这两种情况，而对映射提出更多的条件.
为了排除这两种情况，映射f还应满足什么条件呢？
⑴B中任何一个元素在A中都有原象；
⑵B中任何一个元素在A中都有唯一的原象，换句话说，A中的不同元素在B中有不同的象.
我们把满足上述两个条件的映射f：A→B叫做一一映射.
二、学习、讲解新课
⒈ 一一映射的概念
设A，B是两个集合，f：A→B是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射.
所以，一一映射是特殊的映射，而且如果f：A→B是一一映射，那么g：B→A是映射.
⒉ 一一映射的判断
⑴有限集合
例1 集合A的元素是a，集合B的元素是b，判断下面的映射是不是从A到B的一一映射，为什么？
a
2
3
4
b
5
6
7
a
00
300
600
1200
1500
b
0
1/2
/2
/2
1/2
① ②
解：①是从A到B的一一映射，因它符合定义；②不是，因为它不满足定义中的“对于集合A中的不同元素在B中有不同的象”这一条.
问：如何作最小的改动，使上述①中的一一映射变为非一一映射？
答：只要将B的元素改成有两个相同，或再加进一个元素，就可使①中的一一映射变为非一一映射.
⑵无限集合
例2 设M={…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…}，N={0，1，2，3，…}，f是从M到N的对应：x→y=|x|.这个对应是不是映射？是不是一一映射？为什么？
答：这个对应是映射，因它满足映射的定义；但它不是一一映射，因为M中不同的元素在N中有相同的象.
例3 f：R→CR(R-)，x→y=x2是不是一一映射，为什么？在对应法则不变的情况下，怎样改动一下，就可以使它成为一一映射？
解：f：R→CR(R-)，x→y=x2是映射，但不是一一映射，因为R中的不同元素（如2，-2）在集合CR(R-)中有不同的象（如4）.如果将原象集合R改为CR(R-)，则f：CR(R-)→CR(R-)，x→y=x2是从CR(R-)到 CR(R-)的一一映射.
⑶生活中的例子
例4 A={苍梧一中的学生}，B={苍梧一中学生的年龄}，f：A→B，a→a的年龄，是不是从A到B的一一映射，为什么？
解：不是一一映射，因为不同的学生年龄会相同.
⒊ 目标检测
⑴课本P49练习：3.
⑵已知A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},写出一个A到B上的一一映射.
⑶已知A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则对应f：A→B，x→y=2x+1,x∈A,y∈B是否是A到B上的一一映射，为什么？若不是，在不改变对应法则的前提下，把它改写成一个A到B上的一一映射.
解：⑴图2-1⑵、⑶、⑷都是集合A到集合B的映射，其中⑵是A到B上的一一映射.
⑵ f：A→B，x→y=2x,x∈A,y∈B就是A到B上的一个一一映射.
⑶ f：A→B，x→y=2x+1,x∈A,y∈B是A到B上的映射，但不是一一映射；只要将集合B中的元素1去掉，其他条件不变，则它就是一个A到B上的一一映射.
三、小 结
1.一一映射是一种特殊的映射.若一个映射同时满足：⑴A中的不同元素在B中有不同的象；⑵B中任何一个元素在A中都有原象，则这个映射就是一一映射.
2. 在映射f：A→B中，若象集合CB，则此映射不是一一映射，也就是说，C=B是一一映射的必要条件.
3. 如果f：A→B是一一映射，那么g：B→A是映射.
四、布置作业
(一)复习：课本内容，熟悉巩固有关概念.
(二)书面：课本P50习题2.1：3；练习册P24 B组：2.
答案：课本P50习题2.1：3：
⑴是映射.因为对于左边集合的每一个元素，右边集合都有唯一的元素和它对应；但不是一一映射,因为集合A中不同元素a1，a4有相同的象b1，B中的元素b2在A中没有原象.
⑵是映射，理由同第⑴题；是一一映射，因为对于左边集合的不同元素，在右边集合中有不同的象，而且右边集合中每一元素都有原象.
⑶不是映射.因为对于左边集合的元素a2，右边集合有两个元素b1，b3和它对应（不唯一）.
⑷是映射，理由同第⑴题；但不是一一映射，因为对于集合B的元素b5，在集合A中没有原象.
练习册P24 B组2：已知A=R，B={y|y∈R，且y1},x∈A，对应法则f：x→y=x2-2x+2.问：f：A→B是A到B的映射吗？是一一映射吗？若不是，如何改动集合A（集合B和对应法则不变），使之成为一一映射.
解：是映射，但不是一一映射，因为y=(x-1)2+1的对称轴是x=1，所以，若将集合A改为{x|x1，x∈R}(或{x|x1,x∈R})时，A到B的对应f：x→y=x2-2x+2就是一一映射了.
(三)思考题：练习册P24 B组3：设A={1,2,3,m},B={4,7,n4,n2+3n},m,
n∈N,a∈A,b∈B,“f：a→b=pa+q”是从A到B的一一映射，又1的象是4，7的原象是2，试求p,q,m,n的值.
解：由1→4，2→7得，4=p+q，7=2p+q，解得p=3，q=1；又由f是一一映射，得3→n4且m→n2+3n，或3→n2+3n且m→n4,即n4=3p+q=10且n2+3n=mp+q=3m+1，或n2+3n=3p+q=10且n4= mp+q=3m+1，亦即n4=10且n2+3n=3m+1---①，或n2+3n=10且n4=3m+1---②，∵m,n∈N, ∴①无解；解②得m=5，n=2.∴p=3，q=1, m=5，n=2.
(四)预习：课本P50-53 2.2函数.
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