子集、全集、补集
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学习要求
1．了解集合之间包含关系的意义；
2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示；
3．子集、真子集的性质；
4．了解全集的意义，理解补集的概
念．
【课堂互动】
自学评价
1．子集的概念及记法：
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（ ），则称集合 A为集合B的子集（subset）,记为___________或___________读作“________________”或“__________________”用符号语言可表示为：____________________________________________________
注意：（1）A是B的子集的含义：任意x∈A，能推出x∈B；
（2）不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.
2．子集的性质：
① A A
②
③ ,则
思考:与能否同时成立？
【答】 _________
3．真子集的概念及记法：
如果，并且A≠B，这时集合 A称为集合B的真子集（proper set）,记为_________或_________读作“____________________”或“__________________”
4．真子集的性质：
①是任何非空集合的真子集 符号表示为___________________
②真子集具备传递性 符号表示为___________________
5．全集的概念：
如果集合U包含我们所要研究的各个集合， 这时U可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____
6．补集的概念：
设____________，由U中不属于A的所有元 素组成的集合称为U的子集A的补集（complementary set）, 记为___________读作“______ ____________________”即：=_______________________ 可用
7．补集的性质：
① =__________________
② =__________________
③ =______________
【精典范例】
一、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式
例1．
写出集合{a，b}的所有子集及其真子集；
写出集合{a，b，c}的所有子集及其真子集；
分析：按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏，
但应注意两个特殊的子集：和本身．
【解】
①集合{a，b}的所有子集为：
，{a }，{ b}，{a，b}；
②集合{a，b，c}的所有子集为：
，{a }，{ b}，{c}，{a，b}
{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．
点评:写子集，真子集要按一定顺序来写．
①一个集合里有n个元素，那么它有2n个子集；
②一个集合里有n个元素，那么它有2n-1个真子集；
③一个集合里有n个元素，那么它有2n-2个非空真子集．
二、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系
例2：
以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．
（1）a与{a} 0 与
（2）与{20，，，}
（3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，
B={-2，2}；
（4）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x>0 ，x∈R }；
（5）S={x|x为地球人 }，A={x|x 为中国人}，B={x|x为外国人 }
【解】
点评:
① 判断两个集合的包含关系，主要是根据集合的子集，真子集的概念，看两个集合里的元素的关系，是包含，真包含，相等．
②元素与集合之间用_______________
集合与集合之间用_______________
追踪训练一
1．判断下列表示是否正确：
(1) a{a } (2) {a }∈{a，b }
(3) {a，b } {b，a }
(4) {-1，1} {-1，0，1}
(5) {-1，1}
2．指出下列各组中集合A与B之间的关系．
(1) A={-1，1}，B=Z；
(2)A={1，3，5，15}，B={x|x是15的正
约数}；
(3) A = N*，B=N
(4) A ={x|x=1+a2,a∈N*}
B={x|x=a2-4a+5,a∈N*}
3．（1）已知{1，2 }M{1，2，3，4，
5}，则这样的集合M有多少个？
（2）已知M={1，2，3，4，5，6， 7
,8，9}，集合P满足：PM，且
若，则10- ∈P，则这样
的集合P有多少个？
4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来．
(1) 与{0} (2) {-1，1}与{1，-1}
(3) {(a,b)} 与{(b,a)}
(4) 与{0，1，}
三、运用子集的性质
例3：设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B=
{x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，x∈R}，若BA，
求实数a的取值范围．
分析：首先要弄清集合A中含有哪些元素，
在由BA，可知，集合B按元素的
多少分类讨论即可．
【解】
A={x|x2+4x =0，x∈R}={0，-4}
∵ BA
∴ B=或{0}，{-4}，{0，-4}
①当B=时，⊿=[2(a+1)]2-4?(a2-1)<0
∴ a< -1
②当B={0}时，
∴ a=-1
③当B={-4}时，
∴ a=
④当B={0，-4}时，
∴ a=1
∴ a的取值范围为：a<-1，或a=-1，或a=1．
点评:
B=易被忽视，要提防这一点．
四、补集的求法
例4：①方程组的解集为A，
U=R，试求A及．
②设全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，
是的真子集，求实数a的取值范围．
【解】
① A={x|}，
={x|x≤或x>2}
② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ，
={x|x≤1}
∵ 是的真子集
如图所示：
∴ -a ≤ 1即a≥-1
点评:
求集合的补集时通常借助于数轴，比较形象，直观．
追踪训练二
1．若U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1， k∈Z}，则 ___________
___________：
2．设全集是数集U={2，3，a2+2a-3}，已知
A={b，2}，={5}，求实数a，b的值．
3．已知集合A={x|x=a+，a∈Z}，B={x|x=，b∈Z}，C={x|x=，c∈Z}，试判断A、B、C满足的关系
4．已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}
B A，求a，b的取值范围．
思维点拔：
集合中的开放问题
例5: 已知全集S={1，3x3+3x2+2x}，集合A={1，|2x-1|}，如果={0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，请说明理由．
点拔：
由={0}，可知，0∈S，但0，由0∈S，可求出x，然后结合0，来验证是否符合题目的隐含条件，从而确定x是否存在．
学生质疑
教师释疑
【师生互动】
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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