一、课标要求:
教材把指数函数,对数函数,幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体函数模型解决一些实际问题.
1. 了解指数函数模型的实际背景.
2. 理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
3. 理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=ax的符号、意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点).
4. 通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型.
5. 理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.
6. 通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=logax符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型,能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点).
7. 知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0, a≠1),初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.
8. 通过实例,了解幂函数的概念,结合五种具体函数的图象,了解它们的变化情况 .
二、编写意图与教学建议:
1. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望. 教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.
2. 在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容做了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展 .
4. 教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生学习的负担.
5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ..
6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.
三、教学内容与课时安排的建议
本章教学时间约为14课时.
2.1 指数函数: 6课时
2.2 对数函数: 6课时
2.3 幂函数: 1课时
小结: 1课时
2.过程与方法:
通过与初中所学的知识进行类比,分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.
3.情态与价值
(1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想;
(2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯;
(3)让学生体验数学的简洁美和统一美.
二.重点、难点
1.教学重点:(1)分数指数幂和根式概念的理解;
(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质;
2.教学难点:分数指数幂及根式概念的理解
三.学法与教具
1.学法:讲授法、讨论法、类比分析法及发现法
2.教具:多媒体
四、教学设想:
第一课时
复习提问:
什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?
归纳:在初中的时候我们已经知道:若,则叫做a的平方根.同理,若,则叫做a的立方根.
根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如4的平方根为,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如―8的立方根为―2;零的平方根、立方根均为零.
二、新课讲解
类比平方根、立方根的概念,归纳出n次方根的概念.
n次方根:一般地,若,则x叫做a的n次方根(throot),其中n >1,且n∈N*,当n为偶数时,a的n次方根中,正数用表示,如果是负数,用表示,叫做根式.n为奇数时,a的n次方根用符号表示,其中n称为根指数,a为被开方数.
类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?
零的n次方根为零,记为
举例:16的次方根为,等等,而的4次方根不存在.
小结:一个数到底有没有n次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还要分清n为奇数和偶数两种情况.
根据n次方根的意义,可得:
肯定成立,表示an的n次方根,等式一定成立吗?如果不一定成立,那么等于什么?
让学生注意讨论,n为奇偶数和a的符号,充分让学生分组讨论.
通过探究得到:n为奇数,
n为偶数,
如
小结:当n为偶数时,化简得到结果先取绝对值,再在绝对值算具体的值,这样就避免出现错误:
例题:求下列各式的值
(1)
分析:当n为偶数时,应先写,然后再去绝对值.
思考:是否成立,举例说明.
课堂练习:1. 求出下列各式的值
2.若.
3.计算
三.归纳小结:
1.根式的概念:若n>1且,则
为偶数时,;
2.掌握两个公式:
3.作业:P69习题2.1 A组 第1题
第二课时
提问:
1.习初中时的整数指数幂,运算性质?
什么叫实数?
有理数,无理数统称实数.
2.观察以下式子,并总结出规律:>0
① ②
③ ④
小结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式,(分数指数幂形式).
根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如:
即:
为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为:
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即:
规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.
说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法,而不是
由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:
(1)
(2)
(3)
若>0,P是一个无理数,则P该如何理解?为了解决这个问题,引导学生先阅读课本P62——P62.
即:的不足近似值,从由小于的方向逼近,的过剩近似值从大于的方向逼近.
所以,当不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近.
当的过剩似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近,(如课本图所示)
所以,是一个确定的实数.
一般来说,无理数指数幂是一个确定的实数,有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考:的含义是什么?
由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质相同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即:
3.例题
(1).(P60,例2)求值
解:①
②
③
④
(2).(P60,例3)用分数指数幂的形式表或下列各式(>0)
解:
分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算.
课堂练习:P63练习 第 1,2,3,4题
补充练习:
1. 计算:的结果
2. 若
小结:
1.分数指数是根式的另一种写法.
2.无理数指数幂表示一个确定的实数.
3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的.
作业:P69 习题 2.1 第2题
第3课时
一.教学目标
1.知识与技能:
(1)掌握根式与分数指数幂互化;
(2)能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简,求值.
2.过程与方法:
通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.
3.情感、态度、价值观
(1)培养学生观察、分析问题的能力;
(2)培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
二.重点、难点:
1.重点:运用有理指数幂性质进行化简,求值.
2.难点:有理指数幂性质的灵活应用.
三.学法与教具:
1.学法:讲授法、讨论法.
2.教具:投影仪
四.教学设想:
1.复习分数指数幂的概念与其性质
2.例题讲解
例1.(P60,例4)计算下列各式(式中字母都是正数)
(1)
(2)
(先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析、提问、解答)
分析:四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.
我们看到(1)小题是单项式的乘除运算;(2)小题是乘方形式的运算,它们应让如何计算呢?
其实,第(1)小题是单项式的乘除法,可以用单项式的运算顺序进行.
第(2)小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算.
解:(1)原式=
=
=4
(2)原式=
=
例2.(P61 例5)计算下列各式
(1)
(2)>0)
分析:在第(1)小题中,只含有根式,且不是同类根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,同样,第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.
解:(1)原式=
=
=
=
=
(2)原式=
小结:运算的结果不强求统一用哪一种形式表示,但不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母,又含有负指数.
课堂练习:
化简:
(1)
(2)
(3)
归纳小结:
熟练掌握有理指数幂的运算法则,化简的基础.
2.含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.
作业:P65 习题2.1
A组 第4题
B组 第2题
一. 教学目标:
1.知识与技能
①通过实际问题了解指数函数的实际背景;
②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质.
③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想;
2.情感、态度、价值观
①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.
②培养学生观察问题,分析问题的能力.
3.过程与方法
展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质.
二.重、难点
重点:指数函数的概念和性质及其应用.
难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用.
三、学法与教具:
①学法:观察法、讲授法及讨论法.
②教具:多媒体.
第一课时
一.教学设想:
1. 情境设置
①在本章的开头,问题(1)中时间与GDP值中的
,请问这两个函数有什么共同特征.
②这两个函数有什么共同特征
,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量为指数,即都可以用(>0且≠1来表示).
二.讲授新课
指数函数的定义
一般地,函数(>0且≠1)叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为R.
提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8) (>1,且)
小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为>0,是任意一个实数时,是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R.
若<0,如在实数范围内的函数值不存在.
若=1, 是一个常量,没有研究的意义,只有满足的形式才能称为指数函数,不符合.
我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过
先来研究>1的情况
用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数的图象
1
2
4
再研究,0<<1的情况,用计算机完成以下表格并绘出函数的图象.
1
2
4
从图中我们看出
通过图象看出实质是上的
讨论:的图象关于轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗?
②利用电脑软件画出的函数图象.
问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.
从图上看(>1)与(0<<1)两函数图象的特征.
问题2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.
问题3:指数函数(>0且≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.
图象特征
函数性质
>1
0<<1
>1
0<<1
向轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点(0,1)
=1
自左向右,
图象逐渐上升
自左向右,
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图
象纵坐标都大于1
在第一象限内的图
象纵坐标都小于1
>0,>1
>0,<1
在第二象限内的图
象纵坐标都小于1
在第二象限内的图
象纵坐标都大于1
<0,<1
<0,>1
5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在(>0且≠1)值域是
(2)若
(3)对于指数函数(>0且≠1),总有
(4)当>1时,若<,则<;
例题:
例1:(P66 例6)已知指数函数(>0且≠1)的图象过点(3,π),求
分析:要求再把0,1,3分别代入,即可求得
提问:要求出指数函数,需要几个条件?
课堂练习:P68 练习:第1,2,3题
补充练习:1、函数
2、当
解(1)
(2)(-,1)
例2:求下列函数的定义域:
(1) (2)
分析:类为的定义域是R,所以,要使(1),(2)题的定义域,保要使其指数部分有意义就得 .
3.归纳小结
作业:P69 习题2.1 A组第5、6题
1、理解指数函数
2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨论的数学思想 .
第2课时
教学过程:
1、复习指数函数的图象和性质
2、例题
例1:(P66例7)比较下列各题中的个值的大小
(1)1.72.5 与 1.73
( 2 )与
( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1
解法1:用数形结合的方法,如第(1)小题,用图形计算器或计算机画出的图象,在图象上找出横坐标分别为2.5, 3的点,显然,图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以 .
解法2:用计算器直接计算:
所以,
解法3:由函数的单调性考虑
因为指数函数在R上是增函数,且2.5<3,所以,
仿照以上方法可以解决第(2)小题 .
注:在第(3)小题中,可以用解法1,解法2解决,但解法3不适合 .
由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小 .
思考:
1、已知按大小顺序排列.
2. 比较(>0且≠0).
指数函数不仅能比较与它有关的值的大小,在现实生活中,也有很多实际的应用.
例2(P67例8)截止到1999年底,我们人口哟13亿,如果今后,能将人口年平均均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?
分析:可以先考试一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题:
1999年底 人口约为13亿
经过1年 人口约为13(1+1%)亿
经过2年 人口约为13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2亿
经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿
经过年 人口约为13(1+1%)亿
经过20年 人口约为13(1+1%)20亿
解:设今后人口年平均增长率为1%,经过年后,我国人口数为亿,则
当=20时,
答:经过20年后,我国人口数最多为16亿.
小结:类似上面此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间后总量,>0且≠1)的函数称为指数型函数 .
思考:P68探究:
(1)如果人口年均增长率提高1个平分点,利用计算器分别计算20年后,33年后的我国人口数 .
(2)如果年平均增长率保持在2%,利用计算器2020~2100年,每隔5年相应的人口数 .
(3)你看到我国人口数的增长呈现什么趋势?
(4)如何看待计划生育政策?
3.课堂练习
(1)右图是指数函数① ② ③ ④的图象,判断与1的大小关系;
(2)设其中>0,≠1,确定为何值时,有:
① ②>
(3)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式,若要使存留的污垢,不超过原有的1%,则少要漂洗几次(此题为人教社B版101页第6题).
归纳小结:本节课研究了指数函数性质的应用,关键是要记住>1或0<<时的图象,在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用,形如(a>0且≠1).
作业:P69 A组第 7 ,8 题 P70 B组 第 1,4题
一.教学目标:
1.知识技能:
①理解对数的概念,了解对数与指数的关系;
②理解和掌握对数的性质;
③掌握对数式与指数式的关系 .
2. 过程与方法:
通过与指数式的比较,引出对数定义与性质 .
3.情感、态度、价值观
(1)学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力.
(2)通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质 .
(3)在学习过程中培养学生探究的意识.
(4)让学生理解平均之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力.
二.重点与难点:
(1)重点:对数式与指数式的互化及对数的性质
(2)难点:推导对数性质的
三.学法与教具:
(1)学法:讲授法、讨论法、类比分析与发现
(2)教具:投影仪
四.教学过程:
1.提出问题
思考:(P72思考题)中,哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……,该如何解决?
即:在个式子中,分别等于多少?
象上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数(引出对数的概念).
1、对数的概念
一般地,若,那么数叫做以a为底N的对数,记作
叫做对数的底数,N叫做真数.
举例:如:,读作2是以4为底,16的对数.
,则,读作是以4为底2的对数.
提问:你们还能找到那些对数的例子
2、对数式与指数式的互化
在对数的概念中,要注意:
(1)底数的限制>0,且≠1
(2)
指数式对数式
幂底数←→对数底数
指 数←→对数
幂 ←N→真数
说明:对数式可看作一记号,表示底为(>0,且≠1),幂为N的指数工表示方程(>0,且≠1)的解. 也可以看作一种运算,即已知底为(>0,且≠1)幂为N,求幂指数的运算. 因此,对数式又可看幂运算的逆运算.
例题:
例1(P73例1)
将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.
(1)54=645 (2) (3)
(4) (5) (6)
注:(5)、(6)写法不规范,等到讲到常用对数和自然对数后,再向学生说明.
(让学生自己完成,教师巡视指导)
巩固练习:P74 练习 1、2
3.对数的性质:
提问:因为>0,≠1时,
则 由1、0=1 2、1= 如何转化为对数式
②负数和零有没有对数?
③根据对数的定义,=?
(以上三题由学生先独立思考,再个别提问解答)
由以上的问题得到
① (>0,且≠1)
② ∵>0,且≠1对任意的力,常记为.
恒等式:=N
4、两类对数
① 以10为底的对数称为常用对数,常记为.
② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数,常记为.
以后解题时,在没有指出对数的底的情况下,都是指常用对数,如100的对数等于2,即.
说明:在例1中,.
例2:求下列各式中x的值
(1) (2) (3) (4)
分析:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.
解:(1)
(2)
(3)
(4)
所以
课堂练习:P74 练习3、4
补充练习:1. 将下列指数式与对数式互化,有的求出的值 .
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2.求且不等于1,N>0).
3.计算的值.
4.归纳小结:对数的定义
>0且≠1)
1的对数是零,负数和零没有对数
对数的性质 >0且≠1
作业:P86 习题 2.2 A组 1、2
P88 B组 1
一.教学目标:
1.知识与技能
①通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,求值、化简,并掌握化简求值的技能.
②运用对数运算性质解决有关问题.
③培养学生分析、综合解决问题的能力.
培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.
2. 过程与方法
①让学生经历并推理出对数的运算性质.
②让学生归纳整理本节所学的知识.
3. 情感、态度、和价值观
让学生感觉对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性.
二.教学重点、难点
重点:对数运算的性质与对数知识的应用
难点:正确使用对数的运算性质
三.学法和教学用具
学法:学生自主推理、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标.
教学用具:投影仪
四.教学过程
1.设置情境
复习:对数的定义及对数恒等式
(>0,且≠1,N>0),
指数的运算性质.
2.讲授新课
探究:在上课中,我们知道,对数式可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数运算性质,得出相应的对数运算性质吗?如我们知道,那如何表示,能用对数式运算吗?
如:于是 由对数的定义得到
即:同底对数相加,底数不变,真数相乘
提问:你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗?
(让学生探究,讨论)
如果>0且≠1,M>0,N>0,那么:
(1)
(2)
(3)
证明:
(1)令
则:
又由
即:
(3)
即
当=0时,显然成立.
提问:1. 在上面的式子中,为什么要规定>0,且≠1,M>0,N>0?
你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗?
例题:1. 判断下列式子是否正确,>0且≠1,>0且≠1,>0,>,则有
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7)
例2:用,,表示出(1)(2)小题,并求出(3)、(4)小题的值.
(1) (2) (3) (4)
分析:利用对数运算性质直接计算:
(1)
(2)
=
(3)
(4)
点评:此题关键是要记住对数运算性质的形式,要求学生不要记住公式.
让学生完成P79练习的第1,2,3题
提出问题:
你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗?
>0,且≠1,>0,且≠1,>0
先让学生自己探究讨论,教师巡视,最后投影出证明过程.
设
且
即:
所以:
小结:以上这个式子换底公式,换的底C只要满足C>0且C≠1就行了,除此之外,对C再也没有什么特定的要求.
提问:你能用自己的话概括出换底公式吗?
说明:我们使用的计算器中,“”通常是常用对数. 因此,要使用计算器对数,一定要先用换底公式转化为常用对数. 如:
即计算的值的按键顺序为:“”→“3”→“÷”→“”→“2” →“=”
再如:在前面要求我国人口达到18亿的年份,就是要计算
所以
=
练习:P79 练习4
让学生自己阅读思考P77~P78的例5,例的题目,教师点拨.
3、归纳小结
(1)学习归纳本节
(2)你认为学习对数有什么意义?大家议论.
4、作业
(1)书面作业:P86 习题2.2 第3、4题 P87 第11、12题
2、思考:(1)证明和应用对数运算性质时,应注意哪些问题?
(2)
一.教学目标
1.知识技能
①对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律.
②掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题.
2.过程与方法
让学生通过观察对数函数的图象,发现并归纳对数函数的性质.
3.情感、态度与价值观
①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力;
②培养学生严谨的科学态度.
二.学法与教学用具
1.学法:通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质;
2.教学手段:多媒体计算机辅助教学.
三.教学重点、难点
1、重点:理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质.
2、难点:底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.
四.教学过程
1.设置情境
在2.2.1的例6中,考古学家利用估算出土文物或古遗址的年代,对于每一个C14含量P,通过关系式,都有唯一确定的年代与之对应.同理,对于每一个对数式中的,任取一个正的实数值,均有唯一的值与之对应,所以的函数.
2.探索新知
一般地,我们把函数(>0且≠1)叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
提问:(1).在函数的定义中,为什么要限定>0且≠1.
(2).为什么对数函数(>0且≠1)的定义域是(0,+∞).组织学生充分讨论、交流,使学生更加理解对数函数的含义,从而加深对对数函数的理解.
答:①根据对数与指数式的关系,知可化为,由指数的概念,要使有意义,必须规定>0且≠1.
②因为可化为,不管取什么值,由指数函数的性质,>0,所以.
例题1:求下列函数的定义域
(1) (2) (>0且≠1)
分析:由对数函数的定义知:>0;>0,解出不等式就可求出定义域.
解:(1)因为>0,即≠0,所以函数的定义域为.
(2)因为>0,即<4,所以函数的定义域为<.
下面我们来研究函数的图象,并通过图象来研究函数的性质:
先完成P81表2-3,并根据此表用描点法或用电脑画出函数 再利用电脑软件画出
1
2
4
6
8
12
16
-1
0
1
2
2.58
3
3.58
4
注意到:,若点的图象上,则点的图象上. 由于()与()关于轴对称,因此,的图象与的图象关于轴对称 . 所以,由此我们可以画出的图象 .
先由学生自己画出的图象,再由电脑软件画出与的图象.
探究:选取底数>0,且≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象.观察图象,你能发现它们有哪些特征吗?
.作法:用多媒体再画出,,和
提问:通过函数的图象,你能说出底数与函数图象的关系吗?函数的图象有何特征,性质又如何?
先由学生讨论、交流,教师引导总结出函数的性质. (投影)
图象的特征
函数的性质
(1)图象都在轴的右边
(1)定义域是(0,+∞)
(2)函数图象都经过(1,0)点
(2)1的对数是0
(3)从左往右看,当>1时,图象逐渐上升,当0<<1时,图象逐渐下降 .
(3)当>1时,是增函数,当
0<<1时,是减函数.
(4)当>1时,函数图象在(1,0)点右边的纵坐标都大于0,在(1,0)点左边的纵坐标都小于0. 当0<<1时,图象正好相反,在(1,0)点右边的纵坐标都小于0,在(1,0)点左边的纵坐标都大于0 .
(4)当>1时
>1,则>0
0<<1,<0
当0<<1时
>1,则<0
0<<1,<0
由上述表格可知,对数函数的性质如下(先由学生仿造指数函数性质完成,教师适当启发、引导):
>1
0<<1
图
象
性
质
(1)定义域(0,+∞);
(2)值域R;
(3)过点(1,0),即当=1,=0;
(4)在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)是上减函数
例题训练:
1. 比较下列各组数中的两个值大小
(1)
(2)
(3) (>0,且≠1)
分析:由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成:
(1)解法1:用图形计算器或多媒体画出对数函数的图象.在图象上,横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方:
所以,
解法2:由函数+上是单调增函数,且3.4<8.5,所以.
解法3:直接用计算器计算得:,
(2)第(2)小题类似
(3)注:底数是常数,但要分类讨论的范围,再由函数单调性判断大小.
解法1:当>1时,在(0,+∞)上是增函数,且5.1<5.9.
所以,
当1时,在(0,+∞)上是减函数,且5.1<5.9.
所以,
解法2:转化为指数函数,再由指数函数的单调判断大小不一,
令 令 则
当>1时,在R上是增函数,且5.1<5.9
所以,<,即<
当0<<1时,在R上是减函数,且5.1>5.9
所以,<,即>
说明:先画图象,由数形结合方法解答
课堂练习:P85 练习 第2,3题
补充练习
1.已知函数的定义域为[-1,1],则函数的定义域为
2.求函数的值域.
3.已知<<0,按大小顺序排列m, n, 0, 1
4.已知0<<1, b>1, ab>1. 比较
归纳小结:
对数函数的概念必要性与重要性;
②对数函数的性质,列表展现.
对数函数(第三课时)
一.教学目标:
1.知识与技能
(1)知识与技能
(2)了解反函数的概念,加深对函数思想的理解.
2.过程与方法
学生通过观察和类比函数图象,体会两种函数的单调性差异.
3. 情感、态度、价值观
(1)体会指数函数与指数;
(2)进一步领悟数形结合的思想.
二.重点、难点:
重点:指数函数与对数函数内在联系
难点:反函数概念的理解
三.学法与教具:
学法:通过图象,理解对数函数与指数函数的关系.
教具:多媒体
四.教学过程:
1.复习
(1)函数的概念
(2)用列表描点法在同一个直角坐标点中画出的函数图象.`
2.讲授新知
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
图象如下:
探究:在指数函数中,为自变量,为因变量,如果把当成自变量,当成因变量,那么是的函数吗?如果是,那么对应关系是什么?如果不是,请说明理由.
引导学生通过观察、类比、思考与交流,得出结论.
在指数函数中,是自变量, 是的函数(),而且其在R上是单调递增函数. 过轴正半轴上任意一点作轴的平行线,与的图象有且只有一个交点.由指数式与对数式关系,,即对于每一个,在关系式的作用之下,都有唯一的确定的值和它对应,所以,可以把作为自变量,作为的函数,我们说.
从我们的列表中知道,是同一个函数图象.
3.引出反函数的概念(只让学生理解,加宽学生视野)
当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数为反函数.
由反函数的概念可知,同底的指数函数和对数函数互为反函数.
如的反函数,但习惯上,通常以表示自变量,表示函数,对调中的,这样是指数函数的反函数.
以后,我们所说的反函数是对调后的函数,如的反函数是.
同理,>1)的反函数是>0且.
课堂练习:求下列函数的反函数
(1) (2)
归纳小结: 1. 今天我们主要学习了什么?
2.你怎样理解反函数?
课后思考:(供学有余力的学生练习)
我们知道>0与对数函数>0且互为反函数,探索下列问题.
1.在同一平面直角坐标系中,画出的图象,你能发现这两个函数有什么样的对称性吗?
2.取图象上的几个点,写出它们关于直线的对称点坐标,并判断它们
是否在的图象上吗?为什么?
3.由上述探究你能得出什么结论,此结论对于>0成立吗?
一.教学目标:
1.知识技能
(1)理解幂函数的概念;
(2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行初步的应用.
2.过程与方法
类比研究一般函数,指数函数、对数函数的过程与方法,后研幂函数的图象和性质.
3.情感、态度、价值观
(1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法;
(2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
二.重点、难点
重点:从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
难点:从幂函数的图象中概括其性质
5.学法与教具
(1)学法:通过类比、思考、交流、讨论,理解幂函数的定义和性质 ;
(2)教学用具:多媒体
三.教学过程:
引入新知
阅读教材P90的具体实例(1)~(5),思考下列问题.
(1)它们的对应法则分别是什么?
(2)以上问题中的函数有什么共同特征?
让学生独立思考后交流,引导学生概括出结论
答:1、(1)乘以1 (2)求平方 (3)求立方
(4)求算术平方根 (5)求-1次方
2、上述的问题涉及到的函数,都是形如:,其中是自变量,是常数.
探究新知
1.幂函数的定义
一般地,形如(R)的函数称为幂孙函数,其中是自变量,是常数.
如等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数.
2.研究函数的图像
(1) (2) (3)
(4) (5)
一.提问:如何画出以上五个函数图像
引导学生用列表描点法,应用函数的性质,如奇偶性,定义域等,画出函数图像,最后,教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.
让学生通过观察图像,分组讨论,探究幂函数的性质和图像的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数,对函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图像,填P91探究中的表格
定义域
R
R
R
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限单调增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
定点
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
3.幂函数性质
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因:);
(2)>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升).
特别地,当>1,>1时,∈(0,1),的图象都在图象的下方,形状向下凸越大,下凸的程度越大(你能找出原因吗?)
当∠α<1时,∈(0,1),的图象都在的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大(你能说出原因吗?)
(3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.
在第一家限内,当向原点靠近时,图象在轴的右方无限逼近轴正半轴,当慢慢地变大时,图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.
例题:
1.证明幂函数上是增函数
证:任取<则
=
=
因<0,>0
所以,即上是增函数.
思考:
我们知道,若得,你能否用这种作比的方法来证明上是增函数,利用这种方法需要注意些什么?
2.利用函数的性质 ,判断下列两个值的大小
(1) (2) (3)
分析:利用幂函数的单调性来比较大小.
5.课堂练习
画出的大致图象,并求出其定义域、奇偶性,并判断和证明其单调性.
6.归纳小结:提问方式
(1)我们今天学习了哪一类基本函数,它们定义是怎样描述的?
(2)你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗?
作业:P92 习题 2.3 第2、3 题
小结与复习
一.教学目标
1.知识与技能
(1)理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系.
(2)能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题.
2.过程与方法
通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质.
3.情感、态度、价值观
(1)提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构.
(2)培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.
二.重点、难点
重点:指数函数与对数函数的性质。
难点:灵活运用函数性质解决有关问题。
三、学法与教具
1、学法:讲授法、讨论法。
2、教具:投影仪。
四、教学设想
1、回顾本章的知识结构
2、指数与对数
指数式与对数式的互化
幂值 真数
= N= b
底数
指数←→对数值
提问:在对数式中,a,N,b的取值范围是什么?
例1:已知=,54b=3,用的值
解法2:由
设
所以
即:
所以
因此得:
(1)法1是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果.
法2是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但法2运算的技巧性较大。
2.指数函数与对数函数
问题1:函数分别必须满足什么条件.
问题2:在同一直角坐标系中画出函数的图象,并说明两者之间的关系.
问题3:根据图象说出指数函数与对数函数的性质.
例2:已知函数的图象沿轴方向向左平移1个单位后与的图象关于直线对称,且,则函数的值域为 .
分析:函数关于直线对称的函数为
∴
∴
∵
小结:底数相同的指数函数与对数函数关于对称,它们之间还有一个关系式子:
例3:已知
(1)求的定义域
(2)求使的的取值范围
分析:(1)要求的定义域,
则应有
建议:通过提问由学生作答
课堂小结:
1.指数与对数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式,它们之间可以互化,这种等价互化也是指数运算和对数运算的常用方法.
2.底数相同的指数函数和对数函数互为反函数,它们的图象关于对称,它们在各自的定义域内增减性是一致的,通过函数图象,利用数形结合,记作指数函数与对数函数的性质.
作业:P90 A组 3 7
P91 B组 3 4
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