教 学 设 计
备课组长
李梅仙
中心发言人
李枝升
年级
周次
七
备课日期
5.2
备课题目
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
第几课时
1、2
学科长签名
一、内容及其解析
1．内容：实数与向量的积的概念，实数与向量的积的运算律，两个向量共线的充要条件。
2． 解析：实数与向量的积是后续学习实数与空间向量的积及运算律的基础。本节课将围绕实数与向量的积来展开，实数与向量的积的概念、实数与向量的积的运算律、两个向量共线的充要条件是这节课的重点，能够运用实数与向量的积的概念、实数与向量的积的运算律进行具体的运算，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行是解决教学重点的关键。
二、目标及其解析
1．目标：
2．解析
（1）会用实数与向量积的定义，实数与向量积的几何意义解决问题；
思考题1：已知//，问//吗？
（2）能够熟练运用实数与向量的积的运算律解决问题；
思考题2：若3＋2＝，－3＝，其中，是已知向量，求，.
（3）知道两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。
思考题3：、是两个不共线的向量,已知=2+3，=6+23, =4-8,求证： A、B、D三点共线。
三、教学问题诊断分析
1．学生在理解实数与向量积的定义时可能会出现障碍，主要是学生在此之前研究的都是数与数的积，并习惯了两个数的积只有大小没有方向，从而把它们混为一谈。要克服这一困难，关键是让学生知道实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的推广，但要注意它们的区别。启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般。
2．学生在掌握实数与向量的积的运算律时，又可能会出现障碍，原因是他们可能会认为实数与向量的积的运算律与数与数的积的运算律是一样的，每个等式的证明只证明等式两边的模相等。针对这一问题，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别是数与向量的积运算结果是一个向量，而数与数的积的运算结果是一个数。从而掌握实数与向量的积及其应用。
3．学生在理解两个向量共线的充要条件时，还可能会出现障碍，主要原因是学生在前面学了0与任意向量共线，而这里是非零向量a ，a是否可以为零向量产生困惑。针对这一问题，应特别提出如果b＝a=0，数仍然存在，此时并不唯一，是任意实数。
四、教学过程设计
1、创设情境，导入新课
问题1.向量的加法是如何定义的？求两个向量和的方法有那些？
问题2.向量的加法满足那些运算律？它们可表示为？
问题3.向量的减法是如何定义的？差向量的意义是什么？
问题4.什么是相等向量?
2、讲解新课
问题5.在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，相同向量的求和运算也有类似的简便计算吗？
问题6. 若为实数，a是向量，则a是向量还是数量？
已知非零向量a，我们作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).
由图可知，＝＋＋＝a＋a＋a，我们把a＋a＋a记作3a，即＝3a，显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即｜3a｜＝3｜a｜.
同样，由图可知，＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)，我们把(－a)＋(－a)＋(－a)记作－3a，即＝－3a，显然－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍，即｜－3a｜＝3｜a｜.
上述过程推广后即为实数与向量的积.
实数与向量的积的概念：
一般地,实数与向量a的积是一个向量，记作a，其长度和方向规定如下：
(1)｜a｜＝｜｜｜a｜；(2)当＞0时，a与a同向；
当＜0时，a与a反向；当＝0时，a＝0.
问题7. 实数与向量可以求积，那能不能进行加减运算呢？如：+a，-a有意义吗？
问题8. 数与数的积满足那些运算律呢？实数与向量的积也满足这些运算律吗？
实数与向量的积的运算律：
(1)(μa)＝(μ)a；(2)(＋μ)a＝a＋μa；(3)(a＋b)＝a＋b
说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行.
例5.计算：
（1）（-3）×4a ;（2）3(a+b)-2(a-b)-a;（3）(2a+3b-c)-(3a-2b+c)
向量共线的充要条件：
问题9.什么是共线向量?
若有向量a(a(0)、b，实数λ，使b =λa，则a与b为共线向量。
若与共线(a(0)且|b|：|a|=μ，则当a与b同向时b =μa； 当a与b反向时b =(μa。
因此，我们得到下面定理。
定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使b=λa。
问题10.在上面定理中，能不能把“非零向量”的“非零”去掉后？原充要条件是否正确？
P89例6 ：
问题10：如何用向量方法证明三点共线？
P89例7：
目标检测
1、点C在线段AB上，且,则 , .
2、把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积：
（1）， ； （2），（3），；（4），
3、判断下列各小题中的向量与是否共线：
（1）， ； （2），（3），
5、下列说法正确的是( )
(A)a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
(B)a与b共线，b与c不共线，则a与c不共线；
(C)a与b不共线，b与c不共线，则a与c不共线.
配餐作业
一、基础题（A组题）（估计完成时间20分钟）
1．化简：
(1) ； (2) 。
2．已知3（-）+2（+2）-4（+-）=,则 = ．
3．已知，方向相同，且｜｜=3, =7,｜2-｜= ．
4. 判断向量a＝－5e与b＝5e是否共线?
二、巩固题（B组题）（估计完成时间10分钟）
5.向量e1、e2不共线,(ke1+e2)与(e1+ke2)共线，则k＝ .
6. 已知＝，＝λ，求λ的值。
7. 如图，已知试判断是否共线并证明.
三、提高题（C组题）（估计完成时间8分钟）
8.已知ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求证：AE∥CF.（用向量证明）
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