§1.2.3 直线与平面的位置关系(2)
教学目标：
1．掌握直线和平面垂直的定义、点面距离、线面距离的概念
2．掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理
3．会用“线线垂直”与“线面垂直”之间的相互转化解决线线、线面垂直问题
教学重点：
直线和平面垂直的判定定理和性质定理及其运用
教学难点：
直线和平面垂直的判定定理和性质定理及其运用
教学过程：
1．问题情境
(1)情境：圆锥的形成过程：直角三角形绕着它的一条直角边所在直线旋转一周形成的几何体．
(2) 问题：轴与底面内的哪些直线垂直呢？能不能说轴垂直于底面中的所有直线呢？为什么？(轴与底面中任一半径垂直；对于底面中任意一条直线，总可以找到一条半径与之平行，而轴与任意一条半径都垂直，因此，轴垂直于底面中的所有直线．)
2．直线与平面垂直的定义
如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线垂直于平面，记作．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．
问题1：平面中，过一点有多少条直线与已知直线垂直？(有且只有一条)
问题2：在空间中，过一点有几条直线与已知平面垂直？过任意一点有几个平面与已知直线垂直？你能证明你的结论吗？
结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
点到平面的距离：过平面外一点向平面引垂线，则点和垂足之间的距离叫做点到平面的距离．
问题3：如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条和这条直线的位置关系又怎样呢？(垂直)
问题4：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条和这个平面的位置关系又怎样呢？(垂直)为什么？
例1．已知：，，求证：．
证明：设直线是平面内任意一条直线，
∵，，∴，又∵，∴，所以，．
3．直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
即：，则．
直线与平面垂直的判定方法：(1)定义；(2)判定定理；(3) 。
4．直线与平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
已知：如图，，求证：．
证明：(反证法)假定不平行于，则与相交或异面；
(1)若与相交，设，是经过点与直线
平行的直线．∵，所以，
即经过同一点有两条直线都垂直于平面，不可能．
(2) 若与异面，设，是经过点与直线
平行的直线．∵，所以，
即经过同一点有两条直线都垂直于平面，不可能．
因此，．
5．线面距离的概念
例2．已知：直线平面，求证：直线上的各点到平面的距离相等．
证明：过直线上任意两点分别引平面的垂线，垂足分别为，
∵，∴，
设经过直线的平面为，，
∵∴∴四边形为平行四边形
∴，即直线上的各点到平面的距离相等．
线面距离：如果一条直线和一个平面平行，这条直线上
任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离．
6．例题讲解
例3．如图，已知是菱形所在平面外一点，且，
求证：平面
证明：连结并设交点为，连结，
四边形为菱形，，且为中点，
，，
平面，
平面。
例4．已知在三棱锥中，顶点在底面内的射影为的垂心，
求证：
证明：连结，
为顶点在底面内的射影，
平面，，
又为的垂心，，
平面，
平面，
平面，，
同理。
7．课堂小结
(1)基本概念：直线和平面垂直、点面距离、线面距离．
(2)直线和平面垂直的判定定理和性质定理及其在实现“线线垂直”与“线面垂直”之间相互转化时的应用．
【点此下载】