§2.1.4 两条直线的交点
教学目标：
1．知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解
2．当两条直线相交时，会求交点坐标
3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力
教学重点：
根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线相交求交点
教学难点：
对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解
教学过程：
1．引入新课
问题：任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，那么两条直线是否有交点与它们的方程所组成的方程组是否有解有何联系？
2．两条直线的交点
设两条直线的方程分别是:,:．
方程组的解
一组
无数组
无解
两条直线的公共点
一个
无数个
零个
直线的位置关系
相交
重合
平行
研究两条直线的位置关系(相交、重合、平行)可以转化为两条直线方程所得的方程组的解的个数问题．
3．例题讲解
例1．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：
(1):，:；
(2):，:；
(3):，:．
解：(1)的解为，直线与相交，交点坐标为．
(2)有无数组解，这表明直线和重合．
(3)无解，这表明直线和没有公共点，故．
例2．直线经过原点，且经过另外两条直线，的交点，求直线的方程．
分析：法一：由两直线方程组成方程组，求出交点，再过原点，由两点求直线方程．
法二：设经过两条直线，交点的直线方程为，又过原点，由代入可求的值．
(直线系)结论：已知直线:，:相交，那么过两直线的交点的直线(不含)方程可设为．
练习：
(1)求证：无论为何实数，：恒过一定点，求出此定点坐标．
(2)求经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程．
例3．(教科书例3)某商品的市场需求(万件)、市场供求量(万件)、市场价格(元/件)分别近似地满足下列关系：．当时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
(1)求市场平衡价格和平衡需求量；
(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？
解：(1)解方程组得， 故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40元/件．
(2)设政府给予元/件补贴，此时的市场平衡价格(即消费者支付价格)元/件，则供货者实际每件得到元．依题意得方程组，解得．
因此，政府对每件商品应给予6元补贴．
例4．已知直线:，:，:，
(1)若这三条直线交于一点，求的值；
(2)若三条直线能构成三角形，求的值．
解：(1)，代入得，；
(2)分析：当三直线交于一点或其中两条互相平行时，它们不能构成三角形．
由(1)得，当时，三线共点，不能构成三角形，
当时，，当时，，此时它们不能构成三角形，
综上所述：当且时，三条直线能构成三角形．
4．课堂小结
通过对两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程组的解的个数与直线位置关系的联系．培养同学们的数形结合、分类讨论和转化的数学思想方法．
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