1.4.2正弦、余弦函数的性质(一) 教学目的： 知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义； 能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。 德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 教学重点：正、余弦函数的周期性 教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、 复习引入： 1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2．观察正（余）弦函数的图象总结规律： 自变量









 
函数值









  正弦函数
性质如下： （观察图象） 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； 2?规律是：每隔2?重复出现一次（或者说每隔2k?,k?Z重复出现） 3?这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言：当
增加
（
）时，总有
． 也即：（1）当自变量
增加
时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意
，
恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课： 1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 问题：（1）对于函数
，
有
，能否说
是它的周期？ （2）正弦函数
，
是不是周期函数，如果是，周期是多少？（
，
且
） （3）若函数
的周期为
，则
，
也是
的周期吗？为什么？ （是，其原因为：
） 2、说明：1?周期函数x?定义域M，则必有x+T?M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； 2?"每一个值"只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)?f (x0)） 3?T往往是多值的（如y=sinx 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx的最小正周期为2? （一般称为周期） 从图象上可以看出
，
；
，
的最小正周期为
； 判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （
没有最小正周期） 3、例题讲解 例1 求下列三角函数的周期： ①
②
（3）
，
． 解：（1）∵
， ∴自变量
只要并且至少要增加到
，函数
，
的值才能重复出现， 所以，函数
，
的周期是
． （2）∵
， ∴自变量
只要并且至少要增加到
，函数
，
的值才能重复出现， 所以，函数
，
的周期是
． （3）∵
， ∴自变量
只要并且至少要增加到
，函数
，
的值才能重复出现， 所以，函数
，
的周期是
． 说明：（1）一般结论：函数
及函数
，
（其中
为常数，且
，
）的周期
； （2）若
，例如：①
，
；②
，
； ③
，
． 则这三个函数的周期又是什么？ 一般结论：函数
及函数
，
的周期
例2先化简，再求函数的周期 ①
②
③证明函数
的一个周期为
，并求函数的值域； 例3 求下列三角函数的周期： 1? y=sin(x+
) 2? y=cos2x 3? y=3sin(
+
) 解：1? 令z= x+
而 sin(2?+z)=sinz 即：f (2?+z)=f (z) f [(x+2)?+
]=f (x+
) ∴周期T=2? 2?令z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)] 即：f (x+?)=f (x) ∴T=? 3?令z=
+
则：f (x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin(
+
+2?) =3sin(
)=f (x+4?) ∴T=4? 小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A?0, x?R) 周期T=
y=Acos(ωx+φ)也可同法求之 例4 求下列函数的周期： 1?y=sin(2x+
)+2cos(3x-
) 2? y=|sinx| 3? y=2
sinxcosx+2cos2x-1 解：1? y1=sin(2x+
) 最小正周期T1=? y2=2cos(3x-
) 最小正周期 T2=
∴T为T1 ,T2的最小公倍数2? ∴T=2?
2? T=? 作图 注意小结这两种类型的解题规律 3? y=
sin2x+cos2x ∴T=? 三、巩固与练习 1． y=2cos(
)-3sin(
) 2． y=-cos(3x+
)+sin(4x-
) 3． y=|sin(2x+
)| 4． y=cos
sin
+1-2sin2
四、小 结：本节课学习了以下内容： 周期函数的定义，周期，最小正周期 五、课后作业：P56 练习5、6 P58习题4．8 3 补充： 1．求下列函数的周期： 1?y=sin(2x+
)+2cos(3x-
) 2? y=|sinx| 3? y=2
sinxcosx+2cos2x-1 2． 求下列函数的最值： 1? y=sin(3x+
)-1 2? y=sin2x-4sinx+5 3? y=
3．函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。 六、板书设计： 课题 一、知识点 （一） （二） 例题： 1． 2．   七、课后反思： 题选 求下列函数的周期： （1）
； （2）
； （3）
； （4）
； （5）
． 解：（1）
，∴周期为
； （2）
，∴周期为
； （3）
∴周期为
； （4）
，∴周期为
； （5）
，∴周期为
． 说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为
的形式，再利用公式
进行求解。 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u

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