第二十六教时
教材:“简易逻辑”习题课
目的:通过习题的讲解与练习,努力达到熟练技巧。
过程:
一、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题:
1.p:李明是高中一年级学生 q:李明是共青团员
解:p或q:李明是高中一年级学生或是共青团员
p且q:李明是高中一年级学生且是共青团员
非p:李明不是高中一年级学生
2.p: q:是无理数
解:p或q:是大于2或是无理数
p且q:是大于2且是无理数
非p: 不大于2
3.p:平行四边形对角线相等 q:平行四边形对角线互相平分
解:p或q:平行四边形对角线相等或互相平分
p且q:平行四边形对角线相等且互相平分
非p: 平行四边形对角线不一定相等
4.p:10是自然数 q:10是偶数
解:p或q:10是自然数或是偶数
p且q:10是自然数且是偶数
非p: 10不是自然数
二、分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题:
1.x=2或x=3是方程x2(5x+6=0的根
解: p:x=2是方程x2(5x+6=0的根 q:x=3是方程x2(5x+6=0的根
是p或q的形式
2.(既大于3又是无理数
解: p:(大于3 q:(是无理数 是p且q的形式
3.直角不等于90(
解: p:直角等于90( 是非p形式
4.x+1≥x(3
解: p:x+1>x(3 q:x+1=x(3 是p或q的形式
5.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
解: p:垂直于弦的直径平分这条弦
q:垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 是p且q的形式
三、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题,并判断它们的真假:
1.p:末位数字是0的自然数能被5整除 q:5({x|x2+3x(10=0}
解:p或q:末位数字是0的自然数能被5整除或5({x|x2+3x(10=0}
p且q:末位数字是0的自然数能被5整除且5({x|x2+3x(10=0}
非p:末位数字是0的自然数不能被5整除
∵p真q假 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为假,“非p”为假。
2.p:四边都相等的四边形是正方形 q:四个角都相等的四边形是正方形
解:p或q:四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形
p且q:四边都相等的四边形是正方形且四个角都相等的四边形是正方形
非p:四边都相等的四边形不是正方形
∵p假q假 ∴“p或q” 为假,“ p且q”为假,“非p”为真。
3.p:0(( q:{x|x2(3x(5<0} R
解:p或q: 0((或{x|x2(3x(5<0} R
p且q: 0((且{x|x2(3x(5<0} R
非p: 0((
∵p假q真 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为假,“非p”为真。
4.p:5≤5 q:27不是质数
解:p或q:5≤5或27不是质数
p且q:5≤5且27不是质数
非p: 5>5
∵p真 q真 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为真,“非p”为假。
5.p:不等式x2+2x(8<0的解集是:{x|(4 2}
解:p或q:不等式x2+2x(8<0的解集是:{x|(4 2}
p且q:不等式x2+2x(8<0的解集是:{x|(4 2}
非p:不等式x2+2x(8<0的解集不是:{x|(4bc则abc。(真命题)
否命题:当c<0时,若ac≤bc则a≥b。(真命题)
逆否命题:当c<0时,若a≥b则ac≤bc。(真命题)
4.若mn<0,则方程mx2(x+n=0有两个不相等的实数根。
解:逆命题:若方程mx2(x+n=0有两个不等实数根,则mn<0。(假命题)
否命题:若mn≥0,则方程mx2(x+n=0没有两个不等实数根。(假命题)
逆否命题:若方程mx2(x+n=0没有两个不等实数根,则mn≥0。(真命题)
六、写出下列各命题的否定及其否命题,并判断它们的真假:
1.若x,y都是奇数,则x+y是偶数。
解:命题的否定:x,y都是奇数且x+y不是偶数。(假命题)
否命题:若x,y不都是奇数,则x+y不是偶数。(假命题)
2.若xy=0则x=0或y=0
解:命题的否定:xy=0且x(0又y(0。(假命题)
否命题:若xy(0则x(0且y(0。(真命题)
七、用反证法证明:
1.已知a与b均为有理数,且和都是无理数,证明+也是无理数。
证明:假设+是有理数,则(+)(()=a(b
由a>0, b>0 则+>0 即+(0
∴ ∵a,b(Q 且+(Q
∴(Q 即(()(Q
这样(+)+(()=2(Q
从而 (Q (矛盾) ∴+是无理数。
2.在同一平面内一直线的垂线与斜线一定相交。
证明: 假设l1与l2不相交,则l1∥l2
如图,设l1与l2相交所得的一对同位角为(1和(2
则(1=(2 ∵l2是l的斜线 ∴(2(90(
从而 (1(90(
说明l1与l的交角不是直角,这与l1(l矛盾
∴l1和l2一定相交。
八、指出下列各组命题中p是q的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件):
1.p:a2>b2 q:a>b 则p是q的 既不充分也不必要条件 。
2.p:{x|x>(2或x<3} q:{x|x2(x(6<0} 则p是q的 必要而不充分条件 。
3.p:a与b都是奇数 q:a+b是偶数 则p是q的 充分不必要条件 。
4.p:0|a+b|≥0 ( (a(b)2>(a+b)2 ( a2(2ab+b2> a2+2ab+b2
( 4ab<0 ( ab<0 ∴(ab<0是 |a+b|<|a(b| 的充要条件)
十、已知关于x的方程 (1(a)x2+(a+2)x(4=0 a(R 求:
1) 方程有两个正根的充要条件;
2) 方程至少有一个正根的充要条件。
解:1) 方程(1(a)x2+(a+2)x(4=0有两个实根的充要条件是:
即: (
即: a≥10或a≤2且a(1
设此时方程两根为x1,x2 ∴有两正根的充要条件是:
( ( 1
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