第二十三教时 教材：复习二——实数与向量的数量积（续） 目的：继续复习有关知识，提高学生数形结合、解决实际问题的能力。 过程： 继续复习实数与向量的积、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理——平几问题 如图：已知MN是△ABC的中位线， 求证：MN=
BC, 且MN∥BC 证：∵MN是△ABC的中位线， ∴
,
∴
∴MN=
BC,
且MN∥BC 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。 证：设
= b，
= a，则
=
+
=
b+
a,
= ∵A, G, D共线，B, G, E共线 ∴可设
=λ
，
= μ
, 则

=λ
=λ(b+
a)=λb+
λa,
= μ
= μ(
b+a)=
μb+μa, ∵
即：
b + (
μb+μa) =λb+
λa ∴(μ(
λ)a + (
μ(λ+
)b = 0 ∵a, b不平行， ∴
即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF 设
=
(
a+5b)，
=(2a + 8b，
=3(a (b)，求证：A,B,D三点共线。 证：
=
+
+
=
(a+5b) + ( (2a + 8b) + 3(a (b) = (1+
)a + (5 + 5
)b = (1+
)(a + 5b) 而
=
(a+5b) ∴
= (
+ 1)
又∵
,
有公共点 ∴A,B,D三点共线 求证：
起点相同的三个非零向量a、b、3a (2b的终点在同一直线上。
证：依题意，可设
= a,
= b,
= 3a (2b

=
(
= b ( a ,
=
(
= 3a
(2b ( a = 2(a ( b) ∴
= (2
由于
,
起点均为A，∴三点A,B,C共线， 即起点相同的三个非零向量a、b、3a (2b的终点在同一直线上 已知：平面上三点O、A、B不共线，求证：平面上任一点C与A、B共线的充要条件是存在实数λ和μ，使
=λ
+ μ
，且λ+ μ = 1。 证：必要性：设A,B,C三点共线，则可设
= t
(t(R) 则
=
+
=
+ t
=
+ t(
(
) = (1(t)
+ t
令1(t =λ，t = μ，则有：
=λ
+ μ
，且λ+ μ = 1
充分性：
=
(
=λ
+ μ
(
= (λ(1)
+ μ

= (μ

+
μ
= μ(
(
) = μ
∴三点A、B、C共线 某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，
感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。 解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量， 无风时此人感到风速为(a， 设实际风速为v， 那么此时人感到的风速为v ( a， 设
= (a，
= (2a ∵
+
=
∴
= v ( a，这就是感到由正
北方向吹来的风速， ∵
+
=
∴
= v (2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是
， 由题意：(PBO = 45(, PA(BO, BA = AO 从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO = PB =
a 即：|v | =
a ∴实际风速是
a的西北风 作
业： 《导学?创新》 §5.3

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