第十五教时 教材：平面向量的数量积平移的综合练习课 目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理有关长度、角度、垂直的问题。 过程： 复习： 1．平面向量数量积的定义、运算、运算律 2．平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法 3．平移的有关概念、公式 例题 例一、a、b均为非零向量，则 |a+b| =
|a(b| 是 的………………（C） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：若|a+b| = |a(b| ( |a+b|2 = |a(b|2 ( |a|2 + 2a(b + |b|2 = |a|2 ( 2a(b + |b|2 ( a(b = 0 ( a(b 例二、向量a与b夹角为
，|a| = 2，|b| = 1，求|a+b|(|a(b|的值。 解：|a+b|2 = |a|2 + 2a(b + |b|2 = 4
+ 2×2×1×cos
+ 1 = 7 ∴|a+b| =
, 同
理：|a(b|2 = 3, |a(b| =
∴|a+b|(|a(b| =
ABCD中，
= a，
= b，
= c，
= d， 且a(b = b(c = c(d = d(a，问ABCD是怎样的四边形？ 解：由题设：|a|(|b|cosB = |b|(|c|cosC = |c|(|d|cosD = |d|(|a|cosA ∵|a| = |c| , |b| =
|d| ∴cosA = cosB = cosC = cosD = 0 ∴ ABCD是矩形 如图△ABC中，
= c，
= a，
= b， 则下列推导不正确的是……………（D） A．若a (b < 0，则△ABC为钝角三角形。 B．若a (b = 0，则△ABC为直角三角形。 C．若a (b = b(c，则△ABC为等腰三角形。 D．若c((a + b + c) = 0，则△ABC为正三角形。 解：A．a(b = |a||b|cos( < 0，则cos( < 0，(为钝角
B．显然成立 C．由题设：|a|cosC = |c|c
osA，即a、c在b上的投影相等 D．∵a + b
+ c
= 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形 已知：|a| =
，|b| = 3，a与b夹角为45(，求使a+
b与
a+b夹角为锐角的
的取值范围。 解：由题设：a(b = |a||b|cos( = 3×
×
= 3 (a+
b)((
a+b) =
|a|2 +
|b|2 + (
2 + 1)a(b = 3
2 + 1
1
+ 3 ∵夹角为锐角 ∴必得3
2 + 11
+ 3 > 0 ∴
或
例六、i、j
是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个
单位向量， 且
= 4i + 2j，
=3i + 4j， 证明：△ABC是直角三角形，并求它的面积。 解：
= (4, 2),
= (3, 4), 则
= (3(4, 4(2) = ((1, 2),
= ((4, (2), ∴
(
= ((1)×((4) + ((2)×2 = 0 ∴
(
即△ABC是直角三角形 |
| =
, |
| =
, 且(B = 90(, ∴S△ABC =
例七、用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。 证：设
=
= a ,
=
= b ∵ABCD为菱形 ∴|a| = |b| ∴
(
= (b + a)(b ( a) = b2 ( a2
= |b|2 ( |a|2 = 0 ∴

(
例八、已知a、b都是非零向量，且a +
3b与7a ( 5b垂直
， a ( 4b与7a ( 2b垂直，求a与b的夹角。 解：由(a + 3b)(7a ( 5b) = 0 ( 7a2 + 16a(b (15b2 = 0 ① (a ( 4b)(7a ( 2b) = 0 ( 7a2 ( 30a(b + 8b2 = 0 ② 两式相减：2a(b = b2 代入①或②得：a2 = b2 设a、b的夹角为(，则cos( =
∴( = 60( 作业： P150 复习参考五 A组 19—26 B组 1—6

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