第2讲 电场能的性质
一、电场力做功与电势能
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功与路径无关，只与初、末位置有关．
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离．
②WAB＝qUAB，适用于任何电场．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时静电力所做的功．
(2)静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.
二、电势和等势面
1．电势
(1)定义：试探电荷在电场中某点具有的电势能与它的电荷量的比值．
(2)定义式：φ＝.
(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．
2．等势面
(1)定义：电场中电势相等的各点组成的面．
(2)四个特点
①等势面一定与电场线垂直．
②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功．
③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面．
④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
3．几种常见的典型电场的等势面比较
电场
等势面
(实线)图样
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
连线的中垂面上的电势为零
等量同种正点电荷的电场
连线上，中点电势最低，而在中垂线上，中点电势最高
三、电势差 匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．电势差
(1)定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做的功与移动的电荷的电荷量的比值．
(2)定义式：UAB＝.
(3)电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA.
(4)影响因素
电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关，与零电势点的选取无关．
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式：U＝Ed，其中d为电场中A、B两点间沿电场线方向的距离．
(2)电场强度的方向和大小
电场中，场强方向是指电势降落最快的方向．在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．
1．如图的四个电场中，均有相互对称分布的a、b两点，其中电势和场强都相同的是( )
解析：选项A中，a、b两点场强的方向不同，A项错误；选项B中a、b两点电势和场强均相同，B项正确；选项C中a点电势高于b点电势，C项错误；选项D中a、b两点场强的方向不同，D项错误．
答案：B
2．如图所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间距离等于b、c间距离．用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定( )
A．φa>φb>φc B．φa－φb＝φb－φc
C．Ea>Eb>Ec D．Ea＝Eb＝Ec
解析：判断电场强度的大小，需看电场线的疏密，此题不具备作出判断的条件．根据沿着电场线的方向电势降低，可以判断A选项正确．虽然a、b间距离等于b、c间距离，但只有在匀强电场中，沿场强方向相同距离的电势差才相等，因此电势差的大小也就无法判断．
答案：A
3．(2013·九江检测)一电荷量为＋2×10－8C的点电荷在外力作用下，从静电场中的a点运动到b点，在这个过程中静电力对点电荷做功为8×10－6J，若a点电势为φa，b点电势为φb，则下列结论中正确的是( )
A．可以判定φa－φb＝400 V
B．可以判定φa－φb＝－400 V
C．φa－φb可能等于零
D．不可能判断φa－φb的值
解析： 应用φa－φb＝可求得．
答案：A
4．(2013·大同期中)如图所示，是一个点电荷电场的电场线(箭头线)和等势面(虚线)，两等势面之间的电势差大小为2 V，有一个带电荷量为q＝－1.0×10－8C的电荷，从A点沿不规则曲线路径移到B点，静电力做功为( )
A．2.0×10－8 J B．－2.0×10－8 J
C．1.60×10－7 J D．－4.0×10－8 J
解析： 由WAB＝qUAB得WAB＝－1.0×10－8 J×2 J＝－2.0×10－8 J，故选项B正确．
答案：B
5.如图所示，正点电荷Q产生的电场中，已知A、B间的电势差为 U，现将电荷量为q的正点电荷从B移到A，则( )
A．外力克服电场力做功QU，电势能增加qU
B．外力克服电场力做功qU，电势能增加QU
C．外力克服电场力做功qU，电势能增加qU
D．外力克服电场力做功QU，电势能减少QU
解析：本题考查电场力做功的计算，电场力做功和电势能的变化关系等知识点．根据顺着电场线的方向，电势依次降低，可知UBA<0，那么正点电荷从B移动到A过程中，电场力做功为W＝qUBA<0，表示外力克服电场力做功qU，电场力做负功，则电势能增加qU.
答案：C
(2012·福建理综)如图，在点电荷Q产生的电场中，将两个带正电的试探电荷q1、q2分别置于A、B两点，虚线为等势线．取无穷远处为零电势点，若将q1、q2移动到无穷远的过程中外力克服电场力做的功相等，则下列说法正确的是( )
A．A点电势大于B点电势
B．A、B两点的电场强度相等
C．q1的电荷量小于q2的电荷量
D．q1在A点的电势能小于q2在B点的电势能
解析：由于电场力做负功，所以Q应带负电荷，由负点电荷产生电场的电场线的分布规律可判断出φB>φA，故A项错误；由E＝k，r不相等，所以EA≠EB，B项错误；由φA＝、φB＝，因为WA→∞＝WB→∞，φA<φB<0，所以>，即q10，则φA>φB，若UAB<0，则φA<φB.
(3)依据电势能高低判断：正电荷的电势能大处的电势高，而负电荷电势能大处的电势低．
2．电势能大小的判断方法
判断角度
判断方法
做功判断法
电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加
电荷电势法
正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
公式法
由Ep＝qφp，将q、φp的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大；Ep的负值越小，电势能越大
能量守恒法
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，电势能增加
1－1：真空中一点电荷形成的电场中的部分电场线如图所示，分别标记为1、2、3、4、5，且1、2和5、4分别关于3对称．以电场线3上的某点为圆心画一个圆，圆与各电场线的交点分别为a、b、c、d、e，则下列说法中正确的是( )
A．电场强度Ea>Ec
B．电势φb>φd
C．将一正电荷由a点移到d点，电场力做正功
D．将一负电荷由b点移到e点，电势能增大
解析：电场强度的大小看电场线的疏密，所以Ea>Ec，A项正确；b、d两点等势，B项错误；将一正电荷由a点移到d点，电场力做负功，C项错误；将一负电荷由b点移到e点，电场力做负功，电势能增大．
答案：AD
(2012·安徽理综)如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
解析：在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此B、C为等势面．O点到BC的距离d＝OCsin α，而sin α＝＝，所以d＝OC＝1.5×10－2 m．根据E＝得，匀强电场的电场强度E＝＝ V/m＝200 V/m，故选项A正确，选项B、D、D错误．
答案：A
解决匀强电场中电势差与电场强度关系时应抓住“一式二结论”：
(1)一式：E＝＝，其中d是沿电场强度方向上的距离．
(2)二结论：
结论1：匀强电场中同一条不垂直电场线的直线上，两点间的电势差与这两点间距离成正比．
结论2：匀强电场中分别位于两平行直线(非等势面)上的任意两点间的电势差与其距离成正比．
2－1：如图所示，在
匀强电场中，有边长为2 m的等边三角形ABC，其中O点为该三角形的中心，各点的电势分别为φA＝2 V，φB＝4 V，φC＝6 V．求：
(1)O点的电势为多少？
(2)该匀强电场的电场强度是多少？
解析： (1)如图，过O点作AC的垂线，交AC于D点，由几何知识可知DO延长线将过B点，则D为AC的中点，φD＝4 V
又φB＝4 V，则BD为等势线O在BD上，故φO＝4 V.
(2)由于电场线与等势线垂直，则AC为一条电场线
在匀强电场中，UCA＝E·dCA
则E＝＝2 V/m.
答案： (1)4 V (2)2 V/m
一电子在电场中由a点运动到b点的轨迹如图中实线所示．图中一组平行虚线是等势面，则下列说法正确的是( )
A．a点的电势比b点低
B．电子在a点的加速度方向向右
C．电子从a点到b点动能减小
D．电子从a点到b点电势能减小
解析： 由于等势面是均匀平行直线，故电场为匀强电场，又由于电子的运动轨迹向右弯曲，电场线一定与等势面垂直，故电场力方向竖直向下，而电子带负电，所以电场线方向一定是竖直向上，沿电场线方向电势降低，故a点电势比b点高，选项A错误；由于电子所受电场力向下，故加速度方向向下，选项B错误；由于位移方向向右上方，电场力竖直向下，夹角大于90°，所以电场力做负功，电势能增加，动能减少，故选项C对、D错．
答案： C
解与电场线、粒子的轨迹相关问题的常用思路
(1)粒子速度方向一定沿轨迹的切线方向，粒子受静电力方向一定沿电场线指向轨迹弯曲的凹侧．
(2)
3－1：
如图所示，xOy平面内有一匀强电场，场强为E，方向未知，电场线跟x轴的负方向夹角为θ，电子在坐标平面xOy内，从原点O以大小为v0方向沿x正方向的初速度射入电场，最后打在y轴上的M点．电子的质量为m，电荷量为e，重力不计．则( )
A．O点电势高于M点电势
B．运动过程中电子在M点电势能最大
C．运动过程中，电子的电势能先减少后增加
D．电场对电子先做负功，后做正功
解析： 由电子的运动轨迹知，电子受到的电场力方向斜向上，故电场方向斜向下，M点电势高于O点，A错误，电子在M点电势能最小，B错误，运动过程中，电子先克服电场力做功，后电场力对电子做正功，故C错误，D正确．
答案： D
1．电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功→电势能与动能之和保持不变；
(2)若只有电场力和重力做功→电势能、重力势能、动能之和保持不变；
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功→等于物体机械能的变化．
(4)所有力对物体所做的功→等于物体动能的变化．
2．电场中功能问题的分析方法
(1)利用电场线、等势面分布的特点分析粒子做功情况．
(2)应用WAB＝UAB·q计算功时，WAB、q、UAB都要带正、负号计算．
(3)应用动能定理解决问题时要分析合外力的做功情况．
(4)应用能量守恒解决问题时应注意电势能和其他形式能间的转化关系．
3．电场力做功的计算方法
(1)WAB＝qUAB(普遍适用)
(2)W＝qExcos θ(适用于匀强电场)
(3)WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB(从能量角度求解)
(4)W电＋W非电＝ΔEk(由动能定理求解)
如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面滑下，已知在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8.0 J，重力做功24 J，则以下判断中正确的是( )
A．金属块带负电荷
B．金属块克服电场力做功8.0 J
C．金属块的电势能减少4.0 J
D．金属块的机械能减少12 J
解析： 根据动能定理，得WG＋WE＋WFf＝ΔEk解得WE＝－4 J，说明金属块带正电荷，A项错误；电势能增加4 J，金属块的机械能变化量为除重力之外的其他做功所致，为12 J，D项正确．
答案： D
如图所示，同一竖直线上的A、B两点，固定有等量的异种点电荷，电荷量为q，正、负如图所示，△ABC为一等边三角形(边长为L)，CD为AB边的中垂线，且与右侧竖直光滑圆弧轨道的最低点C相切，已知圆弧的半径为R，现把质量为m、带电荷量为＋Q的小球(可视为质点)由圆弧的最高点M静止释放，到最低点C时速度为v0.已知静电力常量为k，现取D为电势零点，求：
(1)小球在C点受到的电场力的大小和方向；
(2)在等量异种点电荷的电场中，M点的电势φM.
解析：(1)小球到达最低点C时，＋q与－q对其的电场力F1、F2是大小相等的，有F1＝F2＝k
又因为△ABC为等边三角形，易知F1、F2的夹角是120°，所以二者的合力为F12＝k，且方向竖直向下．
(2)小球由最高点M运动到C的过程中，由动能定理得
mgR＋QUMC＝mv
可得M、C两点的电势差为
UMC＝(mv－2mgR)
又等量异种点电荷中垂线上的电势相等，即C、D两点电势相等，故M点的电势为
φM＝UMC＝(mv－2mgR)．
答案： (1)k 方向竖直向下 (2)(mv－2mgR)
1.(2011·海南卷)关于静电场，下列说法正确的是( )
A．电势等于零的物体一定不带电
B．电场强度为零的点，电势一定为零
C．同一电场线上的各点，电势一定相等
D．负电荷沿电场线方向移动时，电势能一定增加
解析： 零电势点是人为选择的参考点，所以电势等于零的物体可以带电，也可以不带电，故A错；电场强度和电势是两个不同的物理量，电场强度为零的点，电势不一定为零，B错；沿着电场线方向电势不断降低，故C错；负电荷在电场中受到的电场力的方向与电场线方向相反，故负电荷沿电场线方向移动时，电场力做负功，电势能增加，故D对．
答案： D
2．在电场中，A、B两点间的电势差UAB＝75 V，B、C两点间的电势差UBC＝－200 V，则A、B、C三点电势高低关系是( )
A．φA>φB>φC B．φA<φC<φB
C．φC>φA>φB D．φC>φB>φA
解析： 因为UAB＝φA－φB＝75 V>0，所以φA>φB.又UBC＝φB－φC＝－200 V<0，所以φB<φC.又UAC＝UAB＋UBC＝75 V＋(－200 V)＝－125 V<0，所以φA<φC.则φC>φA>φB.故正确答案为C.
答案： C
3．一个电荷量为10－6 C的负电荷从电场中A点移到B点电场力要做功2×10－6 J，从C点移到D要克服电场力做功7×10－6 J，若已知C点比B点电势高3 V，且A、B、C、D四点在同一条电场线上，则下列图中正确的是( )
解析： 由U＝，可知UAB＝＝－2 V，UCD＝＝7 V，由题意，可知UCB ＝3 V，选B点电势为0，可得φA＝－2 V，φC＝3 V，φD＝－4 V，又沿电场线方向电势降低，所以C选项正确．
答案： C
4．某空间存在水平方向的匀强电场(图中未画出)，带电小球沿如图所示的直线斜向下由A点沿直线向B点运动，此空间同时存在由A指向B的匀强磁场，则下列说法中正确的是( )
A．小球一定带正电
B．小球可能做匀速直线运动
C．带电小球一定做匀加速直线运动
D．运动过程中，小球的机械能增大
解析： 由于小球沿AB做直线运动，所以小球未受洛伦兹力作用，只受G、Eq二力，因电场具体方向未知，所以小球带正负电不能确定，小球受mg和Eq的合力沿AB做匀加速直线运动，只有C、D对．
答案： CD
5.(2012·海南单科)如图，直线上有o、a、b、c四点，a、b间的距离与b、c间的距离相等．在o点处有固定点电荷．已知b点电势高于c点电势．若一带负电荷的粒子仅在电场力作用下先从c点运动到b点，再从b点运动到a点，则( )
A．两过程中电场力做的功相等
B．前一过程中电场力做的功大于后一过程中电场力做的功
C．前一过程中，粒子电势能不断减小
D．后一过程中，粒子动能不断减小
解析：由题意知o点点电荷带正电，其周围部分电场线分布如图所示，负电荷由c到b再到a的过程中，电场强度不断变大，又＝，故Wab>Wbc，故A、B项均错误；负电荷由c→b→a过程中，电场力做正功，电势能不断减小，动能不断增加，故C项正确，D项错误．
答案： C
6.(2012·山东理综)图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷．一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点．则该粒子( )
A．带负电
B．在c点受力最大
C．在b点的电势能大于在c点的电势能
D．由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
解析： 由带电粒子进入正点电荷形成的电场中的运动轨迹可以看出两者相互排斥，故带电粒子带正电，选项A错误；根据库仑定律F＝k可知，a、b、c三点中，在a点时受力最大，选项B错误；带电粒子从b点到c点的过程中，电场力做正功，电势能减小，故在b点的电势能大于在c点的电势能，选项C正确；由于虚线为等间距的同心圆，故Uab>Ubc，所以Wab>Wbc，根据动能定理，带电粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，选项D正确．
答案： CD
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