第3讲 专题：电磁感应的综合应用
一、电磁感应中的电路问题
1．内电路和外电路
(1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源．
(2)该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻，其余部分是外电路．
2．电源电动势和路端电压
(1)电动势：E＝Blv或E＝n.
(2)电源正、负极：用右手定则或楞次定律确定．
(3)路端电压：U＝E－Ir＝IR.
二、电磁感应图象问题
图象类型
(1)随时间变化的图象如B－t图象、Φ－t图象、E－t图象和I－t图象
(2)随位移x变化的图象如E－x图象和I－x图象
问题类型
(1)由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象
(2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量
(3)利用给出的图象判断或画出新的图象
应用知识
左手定则、安培定则、右手定则、楞次定律、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿定律、函数图象知识等
三、感应电流在磁场中所受的安培力
1．安培力的大小
由感应电动势E＝Blv，感应电流I＝和安培力公式F＝BIl得F＝.
2．安培力的方向判断
—
四、电磁感应中的能量转化与守恒
1．能量转化的实质
电磁感应现象的能量转化实质是其他形式能和电能之间的转化．
2．能量的转化
感应电流在磁场中受安培力，外力克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能，电流做功再将电能转化为内能(或其他形式的能)．
3．热量的计算
电流(恒定)做功产生的热量用焦耳定律计算，公式Q＝I2Rt.
1．穿过闭合回路的磁通量Φ随时间t变化的图象分别如图①～④所示．下列关于回路中产生的感应电动势的论述中正确的是( )
A．图①中，回路产生的感应电动势恒定不变
B．图②中，回路产生的感应电动势一直在变大
C．图③中，回路在0～t1时间内产生的感应电动势小于在t1～t2时间内产生的感应电动势
D．图④中，回路产生的感应电动势先变小再变大
解析： 由法拉第电磁感应定律E＝n可得，闭合回路产生的感应电动势取决于Φ－t图象的斜率的绝对值大小．图①中Φ－t图象的斜率为零，故感应电动势为零，A错误；图②中Φ－t图象斜率不变，故感应电动势为定值，B错误；图③中回路中0～t1时间内Φ－t图象的斜率的绝对值大于t1～t2时间内Φ－t图象的斜率的绝对值，故在0～t1时间内产生的感应电动势大于t1～t2时间内产生的感应电动势，C错误；图④中Φ－t图象的斜率的绝对值先变小再变大，故回路产生的感应电动势先变小再变大，D正确．
答案： D
2．如图所示，两根相距为l的平行直导轨ab、cd，b、d间连有一固定电阻R，导轨电阻忽略不计，MN为放在ab和cd上的一导体杆，与ab垂直，其电阻也为R.整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于导轨所在平面(指向图中纸面内)，现对MN施力使它沿导轨方向以速度v(如图)做匀速运动，令U表示MN两端电压的大小，则( )
A．U＝vBl，流过固定电阻R的感应电流由b到d
B．U＝vBl，流过固定电阻R的感应电流由d到b
C．U＝vBl，流过固定电阻R的感应电流由b到d
D．U＝vBl，流过固定电阻R的感应电流由d到b
解析： 导体杆向右做匀速直线运动产生的感应电动势Blv，R和导体杆形成一串联电路，由分压原理得U＝·R＝Blv，由右手定则可判断出感应电流方向由N→M→b→d→N，故A选项正确．
答案： A
3.如图所示，在光滑的水平面上，一质量为m＝0.1 kg，半径为r＝0.5 m，电阻为R＝0.5 Ω的均匀金属圆环，以v0＝5 m/s的初速度向一磁感应强度为B＝0.1 T的有界匀强磁场滑去(磁场宽度d＞2r)．圆环的一半进入磁场历时2秒，圆环上产生的焦耳热为0.5 J，则2秒末圆环中感应电流的瞬时功率为( )
A．0.15 W B．0.2 W
C．0.3 W D．0.6 W
解析： 圆环刚好有一半进入磁场时，设瞬时速度为v，由Q＝mv－mv2，解得v＝ m/s，此时环上的瞬时感应电动势为E＝Bv×2r，故瞬时功率为P＝E2/R＝0.3 W.
答案： C
4.如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为m的金属棒ab.导轨的一端连接电阻R，其他电阻均不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下．金属棒ab在一水平恒力F作用下由静止开始向右运动，则( )
A．随着ab运动速度的增大，其加速度也增大
B．外力F对ab做的功等于电路中产生的电能
C．当ab做匀速运动时，外力F做功的功率等于电路中的电功率
D．无论ab做何种运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能
解析： 设ab的速度为v，运动的加速度a＝，ab由静止先做加速度逐渐减小的加速运动，当a＝0后做匀速运动，则A选项错误；由能量守恒知．外力F对ab做的功等于电路中产生的电能和ab增加的动能之和．ab克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能，则B选项错误．D选项正确；当ab做匀速运动时，F＝BIL，外力F做功的功率等于电路中的电功率，则C选项正确．
答案： CD
5.如图所示，水平面上固定一个间距L＝1 m的光滑平行金属导轨，整个导轨处在竖直方向的磁感应强度B＝1 T的匀强磁场中，导轨一端接阻值R＝9 Ω的电阻．导轨上有质量m＝1 kg、电阻r＝1 Ω、长度也为1 m的导体棒，在外力的作用下从t＝0开始沿平行导轨方向运动，其速度随时间的变化规律是v＝2，不计导轨电阻．求：
(1)t＝4 s时导体棒受到的安培力的大小；
(2)请在如图所示的坐标系中画出电流平方与时间的关系(I2－t)图象．
解析： (1)4 s时导体棒的速度是
v＝2＝4 m/s
感应电动势：E＝BLv
感应电流：I＝
此时导体棒受到的安培力：F安＝BIL＝0.4 N.
(2)由(1)可得
I2＝()2＝4()2t＝0.04t
作出图象如图所示
答案： (1)0.4 N (2)见解析图
1．图象问题的特点
考查方式比较灵活，有时根据电磁感应现象发生的过程，确定图象的正确与否，有时依据不同的图象，进行综合计算．
2．解题关键
弄清初始条件，正、负方向的对应变化范围，所研究物理量的函数表达式，进出磁场的转折点是解决问题的关键．
3．“三看”、“三明确”
对于图象问题，应做“三看”、“三明确”，即
(1)看轴——看清变量．
(2)看线——看图象的形状．
(3)看点——看特殊点和转折点．
(4)明确图象斜率的物理意义．
(5)明确截距的物理意义．
(6)明确“＋”“－”的含义．
(2012·福建理综)如图甲，一圆形闭合铜环由高处从静止开始下落，穿过一根竖直悬挂的条形磁铁，铜环的中心轴线与条形磁铁的中轴线始终保持重合．若取磁铁中心O为坐标原点，建立竖直向下为正方向的x轴，则图乙中最能正确反映环中感应电流i随环心位置坐标x变化的关系图象是( )
解析： 闭合铜环在下落过程中穿过铜环的磁场方向始终向上，磁通量先增加后减少，由楞次定律可判断感应电流的方向要发生变化，D项错误；因穿过闭合铜环的磁通量的变化率不是均匀变化，所以感应电流随x的变化关系不可能是线性关系，A项错误；铜环由静止开始下落，速度较小，所以穿过铜环的磁通量的变化率较小，产生的感应电流的最大值较小，过O点后，铜环的速度增大，磁通量的变化率较大，所以感应电流的反向最大值大于正向最大值，故B项正确，C项错误．
答案： B
1．图象问题的求解类型
2.解决图象问题的一般步骤
(1)明确图象的种类，即是B－t图象还是Φ－t图象，或者E－t图象、I－t图象等．
(2)分析电磁感应的具体过程．
(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系．
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿定律等规律写出函数关系式．
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等．
(6)画图象或判断图象．
1－1：如图甲所示，空间存在一宽度为2L的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．在光滑绝缘水平面内有一边长为L的正方形金属线框，其质量m＝1 kg、电阻R＝4 Ω，在水平向左的外力F作用下，以初速度v0＝4 m/s匀减速进入磁场，线框平面与磁场垂直，外力F大小随时间t变化的图线如图乙所示．以线框右边刚进入磁场时开始计时，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B；
(2)线框进入磁场的过程中，通过线框的电荷量q；
(3)判断线框能否从右侧离开磁场？说明理由．
解析： (1)由F－t图象可知，线框加速度a＝＝2 m/s2
线框的边长L＝v0t－at2＝(4×1－×2×12) m＝3 m
t＝0时刻线框中的感应电流I＝
线框所受的安培力F安＝BIL
由牛顿第二定律F1＋F安＝ma
又F1＝1 N，联立得B＝ T＝0.33.
(2)线框进入磁场的过程中，平均感应电动势＝
平均电流＝
通过线框的电荷量q＝t
联立得q＝0.75 C.
(3)设匀减速运动速度减为零的过程中线框通过的位移为x.
由运动学公式得0－v＝－2ax
代入数值得x＝4 m＜2L
所以线框不能从右侧离开磁场．
答案： (1) T (2)0.75 C (3)不能
1．对电磁感应电源的理解
(1)电源的正、负极可用右手定则或楞次定律判定．
(2)电源电动势的大小可由E＝Blv或E＝n求得．
2．对电磁感应电路的理解
(1)在电磁感应电路中，相当于电源的部分把其他形式的能通过电流做功转化为电能．
(2)“电源”两端的电压为路端电压，而不是感应电动势．
(2012·浙江理综)为了提高自行车夜间行驶的安全性，小明同学设计了一种“闪烁”装置．如图所示，自行车后轮由半径r1＝5.0×10－2 m的金属内圈、半径r2＝0.40 m的金属外圈和绝缘辐条构成．后轮的内、外圈之间等间隔地接有4根金属条，每根金属条的中间均串联有一电阻值为R的小灯泡．在支架上装有磁铁，形成了磁感应强度B＝0.10 T、方向垂直纸面向外的“扇形”匀强磁场，其内半径为r1、外半径为r2、张角θ＝.后轮以角速度ω＝2π rad/s相对于转轴转动．若不计其它电阻，忽略磁场的边缘效应．
(1)当金属条ab进入“扇形”磁场时，求感应电动势E，并指出ab上的电流方向．
(2)当金属条ab进入“扇形”磁场时，画出“闪烁”装置的电路图；
(3)从金属条ab进入“扇形”磁场时开始，经计算画出轮子转一圈过程中，内圈与外圈之间电势差Uab随时间t变化的Uab－t图象．
解析： (1)金属条ab在磁场中切割磁感线时，所构成的回路的磁通量变化．设经过时间Δt，磁通量的变化量为ΔΦ，由法拉第电磁感应定律
E＝ ①
ΔΦ＝BΔS＝B(rΔθ－rΔθ) ②
由①、②式并代入数值得：
E＝＝Bω(r－r)
≈4.9×10－2 V ③
根据右手定则(或楞次定律)，可得感应电流方向为b→a. ④
(2)通过分析，可得电路图为
(3)设电路中的总电阻为R总，根据电路图可知，
R总＝R＋R＝R ⑤
ab两端电势差
Uab＝E－IR＝E－R
＝E≈1.2×10－2 V ⑥
设ab离开磁场区域的时刻为t1，下一根金属条进入磁场区域的时刻为t2.
t1＝＝ s ⑦
t2＝＝ s ⑧
设轮子转一圈的时间为T，
T＝＝1 s ⑨
在T＝1 s内，金属条有四次进出，后三次与第一次相同 ⑩
由⑥、⑦、⑧、⑨、⑩可画出如下Uab－t图象．
答案： (1)4.9×10－2 V 电流方向为b→a (2)见解析 (3)见解析
解决电磁感应电路问题的基本步骤
(1)“源”的分析：用法拉第电磁感应定律算出E的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电动势的方向．从而确定电源正负极，明确内阻r.
(2)“路”的分析：根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电路．
(3)根据E＝BLv或E＝n结合闭合电路欧姆定律，串并联电路知识和电功率、焦耳定律等关系式联立求解．
2－1：如图所示，匀强磁场B＝0.1 T，金属棒AB长0.4 m，与框架宽度相同，电阻为 Ω，框架电阻不计，电阻R1＝2 Ω，R2＝1 Ω，当金属棒以5 m/s的速度匀速向左运动时，求：
(1)流过金属棒的感应电流多大？
(2)若图中电容器C为0.3 μF，则充电荷量是多少？
解析： (1)由E＝BLv得
E＝0.1×0.4×5 V＝0.2 V
R＝＝ Ω＝ Ω
I＝＝ A＝0.2 A.
(2)路端电压U＝IR＝0.2× V
＝ V
Q＝CU2＝CU＝0.3×10－6× C
＝4×10－8 C.
答案： (1)0.2 A (2)4×10－8 C
1．运动的动态分析
2．电磁感应问题中两大研究对象及其相互制约关系
(2012·广东理综)如图所示，质量为M的导体棒ab，垂直放在相距为l的平行光滑金属导轨上．导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．左侧是水平放置、间距为d的平行金属板．R和Rx分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻．
(1)调节Rx＝R，释放导体棒，当棒沿导轨匀速下滑时，求通过棒的电流I及棒的速度v.
(2)改变Rx，待棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m、带电荷量为＋q的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的Rx.
解析： (1)对匀速下滑的导体棒进行受力分析如图所示
导体棒所受安培力F安＝BIl ①
导体棒匀速下滑，所以
F安＝Mgsin θ ②
联立①②式，解得I＝③
导体棒切割磁感线产生感应电动势E＝Blv ④
由闭合电路欧姆定律得I＝，且Rx＝R，所以I＝ ⑤
联立③④⑤式，解得
v＝. ⑥
(2)由题意知，其等效电路图如图所示．
由图知，平行金属板两板间的电压等于Rx两端的电压．
设两板间的电压为U，由欧姆定律知
U＝IRx ⑦
要使带电的微粒匀速通过，则
mg＝q ⑧
因为导体棒匀速下滑时的电流仍为I，所以
联立③⑦⑧式，解得Rx＝.
答案： (1) (2)
导体棒两种状态的处理方法
(1)导体处于平衡态——静止或匀速直线运动状态
处理方法：根据平衡条件列方程求解．
(2)导体处于非平衡态——加速度不为零
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
3－1：如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑且平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B.一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则( )
A．如果B增大，vm将变大
B．如果α变大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大
D．如果m变小，vm将变大
解析： 以金属杆为研究对象，受力如图所示．根据牛顿第二定律得
mgsin α－F安＝ma，
其中F安＝.
当a→0时，v→vm，
解得vm＝，
结合此式分析即得B、C选项正确．
答案： BC
1．能量转化特点
2．电能的求解思路
—
(20分)如图所示，在倾角为θ＝37°的斜面内，放置MN和PQ两根不等间距的光滑金属导轨，该装置放置在垂直斜面向下的匀强磁场中．导轨M、P端间接入阻值R1＝30 Ω的电阻和理想电流表，N、Q端间接阻值为R2＝6 Ω的电阻．质量为m＝0.6 kg、长为L＝1.5 m的金属棒放在导轨上以v0＝5 m/s的初速度从ab处向右上滑到a′b′处的时间为t＝0.5 s，滑过的距离l＝0.5 m．ab处导轨间距Lab＝0.8 m，a′b′处导轨间距La′b′＝1 m．若金属棒滑动时电流表的读数始终保持不变，不计金属棒和导轨的电阻，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求：
(1)此过程中电阻R1上产生的热量．
(2)此过程中电流表上的读数．
(3)匀强磁场的磁感应强度．
规范解答//：解 (1)因电流表的读数始终保持不变，即感应电动势不变，故BLabv0＝BLa′b′va′b′，(2分)
代入数据可得va′b′＝4 m/s(2分)
根据能量守恒定律得：
Q总＝m(v－v)－mglsin 37°＝QR1＋QR2(4分)
由Q＝t得：＝(1分)
代入数据可求得：QR1＝0.15 J．(1分)
(2)由焦耳定律：QR1＝IR1t可知：电流表读数
I1＝＝0.1 A．(2分)
(3)不计金属棒和导轨上的电阻，则R1两端的电压始终等于金属棒与两轨接触间的电动势，E＝I1R1，(2分)
E＝BLa′b′va′b′(2分)
所以B＝＝0.75 T．(2分)
答案： (1)0.15 J (2)0.1 A (3)0.75 T.
此类问题求解的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化；
(3)根据能量守恒定律列式求解．
4－1：处于竖直向上匀强磁场中的两根电阻不计的平行金属导轨，下端连一电阻R，导轨与水平面之间的夹角为θ.一电阻可忽略的金属棒ab，开始时固定在两导轨上某位置，棒与导轨垂直．如图所示，现释放金属棒让其由静止开始沿轨道平面下滑．就导轨光滑和粗糙两种情况比较，当两次下滑的位移相同时，则有( )
A．重力势能的减少量相同
B．机械能的变化量相同
C．磁通量的变化率相同
D．产生的焦耳热相同
解析： 本题考查金属棒在磁场中的运动及能量转化问题．当两次下滑的位移相同时，易知重力势能的减少量相同，则选项A正确；两次运动的加速度不同，所用时间不同，速度不同，产生的感应电动势不同，磁通量的变化率也不同，动能不同，机械能的变化量不同，则产生的焦耳热也不同，故选项B、C、D均错误．
答案： A
1．(2012·课标)如图，一载流长直导线和一矩形导线框固定在同一平面内，线框在长直导线右侧，且其长边与长直导线平行．已知在t＝0到t＝t1的时间间隔内，直导线中电流i发生某种变化，而线框中的感应电流总是沿顺时针方向；线框受到的安培力的合力先水平向左、后水平向右．设电流i正方向与图中箭头所示方向相同，则i随时间t变化的图线可能是( )
解析： 因通电导线周围的磁场离导线越近磁场越强，而线框中左右两边的电流大小相等，方向相反，所以受到的安培力方向相反，导线框的左边受到的安培力大于导线框的右边受到的安培力，所以合力与左边导线框受力的方向相同．因为线框受到的安培力的合力先水平向左，后水平向右，根据左手定则，导线框处的磁场方向先垂直纸面向里，后垂直纸面向外，根据右手螺旋定则，导线中的电流先为正，后为负，所以选项A正确，选项B、D、D错误．
答案： A
2.如图所示，金属棒AB垂直跨搁在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上，棒与导轨接触良好，棒AB和导轨的电阻均忽略不计，导轨左端接有电阻R，垂直于导轨平面的匀强磁场向下穿过平面，现以水平向右的恒力F拉着棒AB向右移动，t秒末棒AB的速度为v，移动距离为x，且在t秒内速度大小一直在变化，则下列判断正确的是( )
A．t秒内AB棒所受安培力方向水平向左且逐渐增大
B．t秒内AB棒做加速度逐渐减小的加速运动
C．t秒内AB棒做匀加速直线运动
D．t秒末外力F做功的功率为
答案： AB
3.如图所示，在方向垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场区域中有一个由均匀导线制成的单匝矩形线框abcd，线框在水平拉力作用下以恒定的速度v沿垂直磁场方向向右运动，运动中线框dc边始终与磁场右边界平行，线框边长ad＝l，cd＝2l，线框导线的总电阻为R.则线框离开磁场的过程中( )
A．ab间的电压为
B．ad间的电压为
C．线框中的电流在ab边产生的热量为
D．线框中的电流在ad边产生的热量为
解析： 线框离开磁场的过程中，ab边切割磁感线产生感应电动势E＝2Blv，由闭合电路欧姆定律得，ab间的电压为Uab＝，ad间的电压为Uad＝，A正确，B错；根据焦耳定律可得，线框中的电流在ab边产生的热量为Qab＝，线框中的电流在ad边产生的热量为Qad＝，C错，D正确．
答案： AD
4.如图所示，在绝缘光滑水平面上，有一个边长为L的单匝正方形线框abcd，在外力的作用下以恒定的速率v向右运动进入磁感应强度为B的有界匀强磁场区域．线框进入磁场的过程中线框平面保持与磁场方向垂直，线框的ab边始终平行于磁场的边界，已知线框的四个边的电阻值相等，均为R.求：
(1)在ab边刚进入磁场区域时，线框内的电流大小．
(2)在ab边刚进入磁场区域时，ab边两端的电压．
(3)在线框进入磁场的整个过程中，线框中的电流产生的热量．
解析： (1)ab边切割磁感线产生的感应电动势为E＝BLv，
所以通过线框的电流为I＝.
(2)在ab边刚进入磁场区域时，ab边两端的电压为路端电压Uab＝E＝BLv.
(3)因线框是匀速进入的，所以线框中电流产生的热量
Q＝I2×4R×t＝.
答案： (1) (2)BLv
(3)
5．如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L＝1 m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值为R＝0.40 Ω的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t的关系如图乙所示，图象中的OA段为曲线，AB段为直线，导轨电阻不计，g＝10 m/s2(忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响)，求：
(1)磁感应强度B的大小；
(2)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，通过电阻R的电荷量；
(3)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，电阻R上产生的热量．
解析： (1)金属棒在AB段匀速运动，由题中图象得：
v＝＝7 m/s
I＝ mg＝BIL
解得B＝0.1 T.
(2)q＝Δt ＝
解得：q＝1 C.
(3)Q＝mgh－mv2
解得Q＝0.455 J QR＝Q＝0.26 J.
答案： (1)0.1 T (2)1 C (3)0.26 J
【点此下载】