第4讲 功能关系 能量守恒定律
一、功能关系
1．做功的过程就是能量的转化过程，能量的转化必须通过做功来实现．
2．功是能量转化的量度，即做了多少功，就有多少能量发生了转化．
3．几种常见的功能关系及其表达式
二、能量守恒定律
1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失．它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式：ΔE减＝ΔE增．
1．一个盛水袋，某人从侧面缓慢推装液体的袋壁使它变形至如图所示位置，则此过程中袋和液体的重心将( )
A．逐渐升高 B．逐渐降低
C．先降低再升高 D．始终不变
解析：人对液体做正功，液体的机械能增加，液体缓慢移动可以认为动能不变，重力势能增加，重心升高，A正确．
答案：A
2．(2013·天门模拟)如图所示，质量为m的跳高运动员先后用背越式和跨越式两种跳高方式跳过某一高度，该高度比他起跳时的重心高出h，则他从起跳后至越过横杆的过程中克服重力所做的功( )
A．都必须大于mgh
B．都不一定大于mgh
C．用背越式不一定大于mgh，用跨越式必须大于mgh
D．用背越式必须大于mgh，用跨越式不一定大于mgh
解析：采用背越式跳高方式时，运动员的重心升高的高度可以低于横杆，而采用跨越式跳高方式时，运动员的重心升高的高度一定高于横杆，故用背越式时克服重力做的功不一定大于mgh，而采用跨越式时克服重力做的功一定大于mgh，C正确．
答案：C
3．(2013·临沂模拟)第十三届田径锦标赛于2011年8月在韩国大邱举行．在撑杆跳比赛中，波兰选手沃伊切霍夫斯基以5.90 m的高度夺金，如果把撑杆跳全过程分成四个阶段：a－b、b－c、c－d、d－e，如图所示，则对这四个阶段的下列描述正确的有( )
A．a－b为加速助跑阶段，人和杆的机械能在增加
B．b－c为杆弯曲人上升阶段，系统动能减少，重力势能和弹性势能在增加
C．c－d为杆伸直人上升阶段，人的动能转化为重力势能
D．d－e为人过横杆后的下落阶段，重力所做的功等于人机械能的增加量
答案：AB
4．在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项．质量为m的跳水运动员入水后受到水的阻力而竖直向下做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F.那么在他减速下降深度为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)( )
A．他的动能减少了Fh
B．他的重力势能减少了mgh
C．他的动能减少了(F－mg)h
D．他的机械能减少了Fh
解析：跳水运动员入水减速下降h的过程中，他的重力势能减少了mgh，则B选项正确；由动能定理知，动能减少了(F－mg)h，则C选项正确；重力以外的力做的功等于机械能的变化，则D选项正确．
答案：BCD
5.如图所示，在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一木块相连．平衡后，在木块上再作用一个竖直向下的力F，使木块缓慢下移 0.1 m，力F做功2.5 J，此时木块刚好再次处于平衡状态，则在木块下移0.1 m的过程中，弹簧弹性势能的增加量( )
A．等于2.5 J B．大于2.5 J
C．小于 2.5 J D．无法确定
解析：木块在下移过程中，其重力势能也要减少．
答案：B
一物块放在如图所示的斜面上，用力F沿斜面向下拉物块，物块沿斜面运动了一段距离，若已知在此过程中，拉力F所做的功为A，斜面对物块的作用力所做的功为B，重力做的功为C，空气阻力做的功为D，其中A、B、C、D的绝对值分别为100 J、30 J、100 J、20 J，则
(1)物块动能的增量为多少？
(2)物块机械能的增量为多少？
解析：(1)在物块下滑的过程中，拉力F做正功，斜面对物块有摩擦力，做负功，重力做正功，空气阻力做负功．根据动能定理，合外力对物块做的功等于物块动能的增量，则
ΔEk＝W合＝A＋B＋C＋D
＝100 J＋(－30 J)＋100 J＋(－20 J)＝150 J.
(2)根据功能关系，除重力之外的其他力所做的功等于物块机械能的增量，
则ΔE机＝A＋B＋D＝100 J＋(－30 J)＋(－20 J)＝50 J.
答案：(1)150 J (2)50 J
功能关系的选用技巧
(1)在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析．
(2)只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析．
(3)只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析．
(4)只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析．
1－1：如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度为g，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体( )
A．重力势能增加了mgh
B．重力势能增加了mgh
C．动能损失了mgh
D．机械能损失了mgh
解析：设物体受到的摩擦阻力为Ff，
由牛顿运动定律得
Ff＋mgsin 30°＝ma＝mg，
解得Ff＝mg.
重力势能的变化由重力做功决定，故ΔEp＝mgh.
动能的变化由合外力做功决定：
(Ff＋mg·sin 30°)·x＝ma·x
＝mg·＝mgh.
机械能的变化由重力或系统内弹力以外的其他力做功决定，
故ΔE机械＝Ff·x＝mg·＝mgh，故B、D正确，A、C错误．
答案：BD
1．某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔE减＝ΔE增；
2．某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔEA减＝ΔEB增．
这也是我们列能量守恒定律方程式的两条基本思路．
(14分)如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h，质量为m的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失， 为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端恰位于滑道的末端O点．已知在OM段，物块A与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：
(1)物块速度滑到O点时的速度大小；
(2)弹簧为最大压缩量d时的弹性势能；(设弹簧处于原长时弹性势能为零)
(3)若物块A能够被弹回到坡道上，则它能够上升的最大高度是多少？
规范解答//解：(1)由机械能守恒定律得
mgh＝mv2 (2分)
解得v＝. (1分)
(2)在水平滑道上物块A克服摩擦力所做的功为W＝μmgd (1分)
由能量守恒定律得
mv2＝Ep＋μmgd (3分)
以上各式联立求解得
Ep＝mgh－μmgd. (2分)
(3)物块A被弹回的过程中，克服摩擦力所做的功仍为W＝μmgd
由能量守恒定律得
Ep＝mgh′＋μmgd (3分)
解得物块A能够上升的最大高度为：
h′＝h－2μd. (2分)
答案： (1) (2)mgh－μmgd
(3)h－2μd
应用能量转化守恒定律解题的步骤
(1)分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等．
(2)明确哪些形式的能量增加，哪些形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式．
(3)列出能量守恒关系式：ΔE减＝ΔE增．
2－1：如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝1.0 m，现有一个质量为m＝0.2 kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，DE距离h＝1.6 m，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5.取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.求：
(1)小物体第一次通过C点时轨道对小物体的支持力FN的大小；
(2)要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度LAB至少要多长；
(3)若斜面已经满足(2)要求，小物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小．
解析：(1)小物体从E到C，由能量守恒得
mg(h＋R)＝mv ①
在C点，由牛顿第二定律得：
FN－mg＝m ②
联立①②解得FN＝12.4 N.
(2)从E→D→C→B→A过程，由动能定理得：WG－Wf＝0 ③
WG＝mg[(h＋Rcos 37°)－LABsin 37°]④
Wf＝μmgcos 37°LAB ⑤
联立③④⑤解得LAB＝2.4 m.
(3)因为mgsin 37°>μmgcos 37°(或μ
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