专题1 运动图象 追及与相遇问题
导学目标1.理解匀变速直线运动的x－t图象、v－t图象，并会运用它们解决问题.2.掌握追及与相遇问题的特点以及解决这类问题的一般方法．
运动的图象
[基础导引]
1．如图1所示是a、b、c、d四个物体的x－t图象，则：
(1)四个物体运动的起始坐标分别为：xa＝______，xb＝______，xc
＝______，xd＝________.
(2)四个物体的运动方向为：a______，b______，c______，d______.
(3)四个物体的运动速度分别为：
va＝________，vb＝______，vc＝______，vd＝________.[ks5u.com]
(4)图线a与c交点的意义为：_______________________________.
2．如图2所示是a、b、c、d四个物体的v－t图象，则：
(1)它们的初速度分别为
va＝______，vb＝______，vc＝______，vd＝________.
(2)它们的加速度分别为
aa＝________，ab＝______，ac＝________，ad＝________.
(3)图线a、c交点的意义为：
__________________________________________________.
[知识梳理]
1．对x－t图象的理解
(1)物理意义：反映了做直线运动的物体______随________变化的规律．
(2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率大小表示物体________________．
②图线上某点切线的斜率正负表示物体________________．
2．对v－t图象的理解
(1)物理意义：反映了做直线运动的物体______随________变化的规律．
(2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率大小表示物体运动的__________．
②图线上某点切线的斜率正负表示加速度的________．
(3)图线与坐标轴围成的“面积”的意义
①图线与坐标轴围成的“面积”表示________________．
②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为______；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为______．
：x－t图线是物体的运动轨迹吗？能否画曲线运动的x－t、v－t图象？
二、追及与相遇问题
[基础导引]
1．甲、乙两物体同时同地出发，甲做速度为v0的匀速直线运动，乙做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，二者相距最远时乙的速度为______，追上甲时乙的速度为______．
2．甲、乙相距s0，当甲开始以速度v0匀速追赶前方的乙时，乙以加速度a由静止开始运动，若甲刚好追上乙，则s0＝________.
3．甲、乙相距s0，甲做速度为v0的匀速直线运动，乙在甲后做初速度为2v0、加速度为a的匀减速直线运动，若乙刚好追上甲，则s0＝________.
[知识梳理]
1．追及与相遇问题的概述
当两个物体在______________运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的________会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇和避免碰撞等问题．
2．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一________，后者的速度一定不________前者的速度．
(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度________时，两者相距________．
：追及问题中，“刚好能追上”、“刚好追不上”以及两物体间有最大距离或最小
距离的条件是什么？
考点一 图象的分析与运用
考点解读
运动学图象主要有x－t图象和v－t图象，运用运动学图象解题可总结为六看：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面积”，五看“截距”，六看“特殊点”．
1．一看 “轴”：先要看清两轴所代表的物理量，即图象是描述哪两个物理量之间的关系．
2．二看“线”：图象表示研究对象的变化过程和规律．在v－t图象和x－t图象中倾斜的直线分别表示物体的速度和位移随时间变化的运动情况，.
3．三看“斜率”：x－t图象中斜率表示运动物体的速度大小和方向．v－t图象中斜率表示运动物体的加速度大小和方向．
4．四看“面积”：即图线和坐标轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义．例如v和t的乘积vt＝x有意义，所以v－t图线与横轴所围“面积”表示位移，x－t图象与横轴所围面积无意义．
5．五看“截距”：截距一般表示物理过程的初始情况，例如t＝0时的位移或速度．
6．六看“特殊点”：例如交点、拐点(转折点)等．例如x－t图象的交点表示两质点相遇，但v－t图象的交点只表示速度相等．
典例剖析
例1 如图3所示的位移－时间和速度－时间图象中，给出的四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况．下列描述正确的是( )
图3
A．图线1表示物体做曲线运动
B．x－t图象中t1时刻v1>v2
C．v－t图象中0至t3时间内3物体和4物体的平均速度大小相等
D．图线2和图线4中，t2、t4时刻都表示物体反向运动
例2 在反恐演习中，中国特种兵进行了飞行跳伞表演．某伞
兵从静止的直升飞机上跳下，在t0时刻打开降落伞，在3t0
时刻以速度v2着地．伞兵运动的速度随时间变化的规律如图4
所示．下列结论正确的是 ( )
A．在0～t0时间内加速度不变，在t0～3t0时间内加速度减小
B．降落伞打开后，降落伞和伞兵所受的阻力越来越小
C．在t0～3t0的时间内，平均速度>
D．若第一个伞兵在空中打开降落伞时第二个伞兵立即跳下，则他们在空中的距离先增大后减小
跟踪训练1 质量为2 kg的质点在x－y平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图5所示，下列说法正确的是 ( )
图5
A．质点的初速度为5 m/s
B．质点初速度的方向与合外力方向垂直
C．质点所受的合外力为3 N
D．2 s末质点速度大小为6 m/s
跟踪训练2 滑雪运动员以一定的初速度从一定高度的平台水平飞出，运动过程中运动员视为质点并不计空气阻力．下列定性描述运动员运动过程中的水平距离x、竖直位移y、水平分速度vx、竖直分速度vy随时间t的变化图象中正确的是 ( )
考点二 运动中的追及与相遇问题
考点解读
讨论追及、相遇问题的实质，就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．
1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件——速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
做匀速直线运动的物体B追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0xB，则不能追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
典例剖析
例3 一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v0＝6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？
(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？
思维突破
1．仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼(如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等)，充分挖掘题目中的隐含条件．
2．求解追及和相遇问题常用的方法：
(1)图象法：x－t图象中两物体的位移图象相交、v－t图象中所围面积相等都说明两物体相遇．
(2)数学分析法：设在t时刻两物体能相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程F(t)＝0，若其方程无正实数解，则两物体不可能相遇，如有正实数解，则两物体可能相遇．
(3)相对运动法：选择合适参考系，列出相应方程求解．
跟踪训练3 如图6所示， 直线MN表示一条平直公路，甲、
乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85 m，现
甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动6.0 s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5.0 m/s2，求两辆汽车相遇处距A处的距离．
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1.直线追及模型
例4 一列客车以速度v1前进，司机发现前面在同一轨道上有列货车正在以v2匀速前进，且v2a2，能相遇两次
C．a1v2，B项正确；v－t图象与t轴所围的面积表示位移，所以在0～t3时间内3物体的位移小于4物体的位移，3物体的平均速度小于4物体的平均速度，C项错误；图线2中t2时刻表示物体反向运动，图线4中t4时刻不表示反向，只表示速度减小，D项错误．]
例2 ABD 由v－t图象的斜率表示加速度可知A正确；由于降落伞打开时减速运动，且加速度减小可知B正确；平均速度等于位移与发生这一位移所用时间的比值，可知C错误；在v－t图象中将图线平移后有一交点P，二者速度相同，可知D正确．]
跟踪训练1 AC
跟踪训练2 D
例3 (1)2 s 6 m (2)12 m/s
跟踪训练3 125 m或245 m
例4 a≥
跟踪训练4 (1)75 m (2)12 s
分组训练
1．BC 2.C
3．1 282.5 m 1 120 m 162.5 m
4．v0≤
答案
1．D [做此题时不要把x－t图象当作物体运动的轨迹，x－t图象的斜率表示速度，该物体在6 s内的路程为2＋2＋4＋4＝12(m)，位移为零．]
2．D [对物体受力分析如图所示，在0～t0内：若F<μmg，物体仍保持
静止；F>μmg，物体则开始运动，由牛顿第二定律a＝＝－μg；
结合v－t图象，分析得D项正确．]
3．C [A项位移正负交替，说明物体做往复运动，B项物体先做匀加速运动，再做匀减速运动，然后做反向匀加速运动，再做反向匀减速运动，周而复始；C项表示物体先做匀加速运动，再做匀减速运动，循环下去，物体始终是单向运动，C正确，D项从面积判断物体速度有负值出现，不是单向运动．]
4．C [物体的运动方向即为速度方向，从题图上可知物体在2 s前速度为负值，即物体向负方向运动；2 s后速度为正值，即物体向正方向运动．故①是错误的，②是正确的．
物体的位置要通过分析位移来确定，物体在某段时间内的位移等于速度－时间图线中对应图线与时间轴所包围的面积的代数和．由题图可知前4 s内物体在2 s时有最大的负位移；虽然2 s后运动方向改为正方向，但它的位置仍在位置坐标值负值处(4 s末物体回到出发点)，故③是错误的，④是正确的．所以选项C对．]
5．B [由题目中的位移—时间图象可知：前10 s汽车做匀速直线运动，速度为3 m/s，加速度为0，所以C错误；10 s～15 s汽车处于静止状态，汽车相对于出发点的位移为30 m，所以A错误；15 s～25 s汽车向反方向做匀速直线运动，速度为－1 m/s，所以D错误，B正确．]
6．B [在0～66 s内图象的斜率越来越小，加速度越来越小，故海盗快艇做加速度减小的加速运动，A错误；海盗快艇在96 s末，速度由正变负，即改变运动的方向，开始掉头逃跑，此时海盗快艇离商船最近，B正确，C错误；海盗快艇在96 s～116 s内，沿反方向做匀加速运动，D错误．]
7．B [速度－时间图象中Ⅰ物体的斜率逐渐减小，即Ⅰ物体的加速度逐渐减小，所以Ⅰ物体所受合外力不断减小，A错误；在0～t1时间内，Ⅱ物体的速度始终大于Ⅰ物体的速度，所以两物体间距离不断增大，当两物体速度相等时，两物体相距最远，B正确；在速度－时间图象中图线与坐标轴所围面积表示位移，故到t2时刻，Ⅰ物体速度图线所围面积大于Ⅱ物体速度图线所围面积，两物体平均速度不可能相同，C、D错误．]
8．AC [由图象可知前5 s做的是匀速运动，A正确；5 s～15 s内做匀加速运动，但加速度为0.8 m/s2，B错误；15 s～20 s做匀减速运动，其加速度为－(16/5) m/s2＝－3.2 m/s2，C正确；质点在20 s末离出发点最远，质点做的一直是方向不变的直线运动，D错误．]
9．ACD [用图象法．我们画出满足题给条件的v－t图象．
图(1)对应a1＝a2的情况，两物体仅在t＝t1时相遇一次(图中阴影部分面积为s)．
图(2)对应a1>a2的情况，两物体仅在t＝t2时相遇一次．
图(3)对应a1
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