学案3 自由落体运动和竖直上抛运动
一、概念规律题组
1．伽利略用实验验证v∝t的最大困难是( )
A．不能很准确地测定下落的距离
B．不能测出下落物体的瞬时速度
C．当时没有测量时间的仪器
D．当时没有记录落体运动的数码相机
答案 B
2．关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )
A．初速度为零的竖直向下的运动是自由落体运动
B．只在重力作用下的竖直向下的运动是自由落体运动[高考资源网]
C．自由落体运动在任意相等的时间内速度变化量相等
D．自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动
答案 CD
解析 A选项中，竖直向下的运动，有可能受到空气阻力或其他力的影响，下落的加速度不等于g，这样就不是自由落体运动；选项B中，物体有可能具有初速度，所以选项A、B不对．选项C中，因自由落体运动是匀变速直线运动，加速度恒定，由加速度的概念a＝可知，Δv＝gΔt，所以若时间相等，则速度的变化量相等．选项D可根据自由落体运动的性质判定是正确的．
3．关于自由落体运动的加速度g，下列说法正确的是( )[高考资源网KS5U.COM]
A．重的物体的g值大
B．g值在地面任何地方一样大
C．g值在赤道处大于南北两极处
D．同一地点的轻重物体的g值一样大
答案 D
解析 在同一地点所有物体g值都相同．在地面不同地方，重力加速度的大小不同．从赤道到两极，g值变大．
4．一质点沿直线Ox方向做变速运动，它离开O点的距离随时间变化的关系为x＝5＋2t3 (m)，它的速度随时间t变化关系为v＝6t2(m/s)．该质点在t＝0到t＝2 s间的平均速度和t＝2 s到t＝3 s间的平均速度大小分别为( )
A．12 m/s,39 m/s B．8 m/s,38 m/s
C．12 m/s,19.5 m/s D．8 m/s,12 m/s
答案 B
解析 平均速度＝，t＝0时，x0＝5 m；t＝2 s时，x2＝21 m；t＝3 s时，x3＝59 m．故1＝＝8 m/s，2＝＝38 m/s.
二、思想方法题组
5．自由下落的物体，自起始点开始依次下落三段相同的位移所需要的时间比为( )
A．1∶3∶5 B．1∶4∶9
C．1∶∶ D．1∶(－1)∶(－)
答案 D
6．(2011·泰安模拟)小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某高度，其速度—时间图象如图1所示，则由图象可知(g＝10 m/s2)以下说法正确的是( )
图1[高考资源网]
A．小球下落的最大速度为5 m/s
B．第一次反弹初速度的大小为3 m/s
C．小球能弹起的最大高度为0.45 m
D．小球能弹起的最大高度为1.25 m
答案 ABC
解析 由v－t图象可知，t＝0.5 s时，小球下落至地面，速度为5 m/s，小球与地面作用的时间不计，小球刚被地面弹起时，速度为－3 m/s，能弹起的最大高度为h＝＝ m＝0.45 m．故选项A、B、C对，D错．
思维提升
1．自由落体运动的两个条件是：①初速度为0；②加速度为g.
2．重力加速度的大小与重物本身无关，而与重物所处的不同位置有关．
3．自由落体是初速度为零的匀加速运动，有如下的比例关系：
(1)T末、2T末、3T末、…瞬时速度之比
v1∶v2∶v3＝1∶2∶3∶…
(2)T内、2T内、3T内、…位移之比
x1∶x2∶x3∶…＝1∶4∶9∶…
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ＝1∶3∶5∶…
(4)通过连续相等的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…＝1∶(－1)∶(－)∶…
一、自由落体运动
1．自由落体运动的特点
(1)从静止开始，即初速度为零．(2)物体只受重力作用．自由落体运动是一个初速度为零的匀加速直线运动．
2．重力加速度：自由落体的加速度叫做重力加速度，用g表示，它的大小约为9.8 m/s2，方向竖直向下．
(1)重力加速度是由于地球的引力产生的，地球上不同的地方g的大小不同，赤道上的重力加速度比在两极的要小．
(2)重力加速度的大小会随位置的改变而变化，但变化量不大，所以我们在今后的计算中，认为其为一定值，常用9.8 m/s2，在粗略的计算中也可以取10 m/s2.
(3)自由落体运动是初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动．匀变速直线运动的一切规律，对自由落体运动都是适用的．v＝gt，h＝gt2，v2＝2gh.另外，初速度为零的匀加速运动的比例式对自由落体运动也是适用的．
【例1】 从离地500 m的高空自由落下一个小球，g取10 m/s2，求：
(1)经过多长时间落到地面；
(2)从开始下落时刻起，在第1 s内的位移大小、最后1 s内的位移大小；
(3)落下一半时间时的位移大小．
答案 (1)10 s (2)5 m 95 m (3)125 m
解析 (1)由位移公式x＝gt2，得落地时间t＝＝ s＝10 s.
(2)第1 s内的位移：x1＝gt＝×10×12 m＝5 m，前9 s内的位移为：x9＝gt＝×10×92 m＝405 m，最后1 s内的位移等于总位移和前9 s内位移的差，即x10＝x－x9＝(500－405) m＝95 m.
(3)落下一半时间即t′＝5 s，其位移x′＝gt′2＝×10×52 m＝125 m.
[规范思维] (1)匀变速直线运动的所有规律均适用于自由落体运动．(2)初速度为零的匀加速运动的比例式也适用于自由落体运动．
[针对训练1] 一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由落下一个小球．当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底．则相邻两小球开始下落的时间间隔为________ s，这时第3个小球和第5个小球相距________ m.
答案 0.5 35
解析 设相邻两小球开始下落的时间间隔为T，则第1个小球从井口落至井底的时间为t＝10T.
由题意知
h＝gt2＝g(10T)2，
T＝ ＝ s＝0.5 s.
利用初速度为零的匀加速直线运动的规律，从时间t＝0开始，在连续相等的时间内位移之比等于以1开始的连续奇数比．从第11个小球下落开始计时，经T,2T,3T，…，10T后它将依次到达第10个、第9个、…、第2个、第1个小球的位置，各个位置之间的位移之比为1∶3∶5∶…∶17∶19，所以这时第3个小球和第5个小球相距：
Δh＝h＝×125 m＝35 m
二、竖直上抛运动
1．竖直上抛运动问题的处理方法
(1)分段法
可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理．
(2)整体法
将竖直上抛运动视为初速度为v0，加速度为－g的匀减速直线运动．
2．竖直上抛运动的重要特性
(1)对称性
①时间对称性：上升过程和下降过程时间相等
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等
(2)多解性
通过某一点对应两个时刻，即：物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段．
【例2】某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2.5 s内物体的( )
A．路程为65 m
B．位移大小为25 m，方向向上
C．速度改变量的大小为10 m/s
D．平均速度大小为13 m/s，方向向上
答案 AB
解析 物体的上升时间t＝＝3 s，上升高度H＝＝45 m，下降时间t1＝(5－3) s＝2 s，下降的位移x1＝gt＝20 m．所以5 s时物体的位移x＝H－x1＝25 m，方向向上．路程s＝H＋x1＝65 m．5 s末的速度v1＝gt1＝20 m/s，方向向下，5 s 内速度改变量Δv＝v1－v0＝－50 m/s，方向向下.＝＝ m/s＝5 m/s，方向向上．
[规范思维] 此题的关键在于根据竖直上抛运动规律求出5 s内的位移和路程，及5 s末的瞬时速度．
(1)竖直上抛运动的两种处理方法——分段法和整体法解答问题时结果是相同的，解题要灵活选用．
(2)用两种方法解题时，要特别注意物理量正负号的不同．
[针对训练2] (2010·福建厦门质检)王兵同学利用数码相机连拍功能(此相机每秒连拍10张)，记录下北京奥运会跳水比赛中小将陈若琳和王鑫在10 m跳台跳水的全过程．所拍摄的第一张恰为她们起跳的瞬间，第四张如图2甲所示，王兵同学认为这是她们在最高点；第十九张如图2乙所示，她们正好身体竖直双手触及水面．设起跳时她们的重心离台面的距离和触水时她们的重心离水面的距离相等．由以上材料(g取10 m/s2)
(1)估算陈若琳的起跳速度；
(2)分析第四张照片是在最高点吗？如果不是，此时重心是处于上升还是下降阶段？
图2
答案 (1)3.4 m/s (2)不是 上升阶段
解析 (1)由题意得：运动员从起跳到入水所用时间为t＝1.8 s
设跳台高h，起跳速度为v0，由：
－h＝v0t－gt2
得v0＝3.4 m/s
(2)上升至最高点所用时间
t1＝＝0.34 s
而拍第四张历时0.3 s，所以还处于上升阶段．
【例3】 原地起跳时，先屈腿下蹲，然后突然蹬地．从开始蹬地到离地是加速过程(视为匀加速)，加速过程中重心上升的距离称为“加速距离”．离地后重心继续上升，在此过程中重心上升的最大距离称为“竖直高度”．现有以下数据：人原地上跳的“加速距离”d1＝0.50 m，“竖直高度”h1＝1.0 m；跳蚤原地上跳的“加速距离”d2＝0.000 80 m，
“竖直高度”h2＝0.10 m．假想人具有与跳蚤相等的起跳加速度，而“加速距离”仍为0.50 m，则人上跳的“竖直高度”是多少？
答案 62.5 m
解析 用a表示跳蚤起跳的加速度，v表示离地时的速度，
则加速过程有：v2＝2ad2①
离开地面后有：v2＝2gh2②
若假想人具有和跳蚤相同的加速度a，令v′表示在这种假想下人离地时的速度，H表示与此相应的竖直高度，则加速过程有：v′2＝2ad1③
离开地面后有：v′2＝2gH④
由以上各式可得
H＝⑤
代入数值，得H＝62.5 m⑥
[规范思维] 认识、了解人跳离地面的全过程是解题关键．过程包括离开地面前向上的加速运动和离开地面后的竖直上抛运动．
[针对训练3] 如图3甲所示．为了测量运动员跃起的高度，训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹性网的压力，并在计算机上做出压力－时间图象，假如做出的图象如图乙所示．设运动员在空中运动时可视为质点，则运动员跃起的最大高度为(g取10 m/s2)( )
图3
A．1.8 m B．3.6 m C．5.0 m D．7.2 m
答案 C
解析 由图象分析可知，运动员在空中的时间为2 s，根据竖直上抛运动的时间对称性，t上＝1 s，上升高度h＝gt2＝×10×12 m＝5 m.
【基础演练】
1．关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．物体竖直向下的运动就是自由落体运动
B．加速度等于重力加速度的运动就是自由落体运动
C．在自由落体运动过程中，不同质量的物体运动规律相同
D．物体做自由落体运动位移与时间成反比
答案 C
解析 由静止开始只在重力作用下的运动是自由落体运动，在自由落体运动中，由于加速度a＝g，所以其运动规律与质量无关，自由落体运动的位移x＝gt2，x与t2成正比．
2．(2011·皖南八校联考)一物体从某一行星表面竖直向上抛出(不计空气阻力)．设抛出时t＝0，得到物体上升高度随时间变化的h－t图象如图4所示，则该行星表面重力加速度大小与物体被抛出时的初速度大小分别为( )
图4
A．8 m/s2,20 m/s B．10 m/s2,25 m/s
C．8 m/s2,25 m/s D．10 m/s2,20 m/s
答案 A
解析 根据图象可知物体在t＝2.5 s时上升到最大高度，为25 m．由运动学公式可求得A项正确．
3．竖直上抛的物体，又落回抛出点，关于物体运动的下列说法中正确的有( )[Ks5u.com]
A．上升过程和下落过程，时间相等、位移相同
B．物体到达最高点时，速度和加速度均为零
C．整个过程中，任意相等时间内物体的速度变化量均相同
D．不管竖直上抛的初速度有多大(v0＞10 m/s)，物体上升过程的最后1 s时间内的位移总是不变的
答案 CD[Ks5u.com]
解析 上升和下落过程时间相等，而位移大小相等、方向相反，物体到最高点加速度仍为g，故A、B均错，在任意相等时间t内，速度变化量均为gt，C正确，根据逆向思维知，物体上升过程最后1 s内位移和自由下落第1 s内位移大小是相等的，都为g×12＝g，D也正确．
4．(2010·上海交大东方学校模拟)从某高处释放一粒小石子，经过1 s从同一地点再释放另一粒小石子，则在它们落地之前，两粒石子间的距离将( )
A．保持不变 B．不断增大
C．不断减小 D．有时增大，有时减小[Ks5u.com]
答案 B
解析 设第1粒石子运动的时间为t s，则第2粒石子运动的时间为(t－1) s，在它们落地之前，两粒石子间的距离为Δh＝gt2－g(t－1)2＝gt－g，可见，两粒石子间的距离随t的增大而增大，故B正确．
5．(2011·山东省日照市统测)如下图所示，在高空中有四个小球，在同一位置同时以速率v向上、向下、向左、向右被射出，不考虑空气阻力，经过1 s后四个小球在空中的位置构成的图形正确的是( )
答案 A
解析 不考虑空气阻力，四个小球有两个做平抛运动，其余两个分别做竖直上抛运动和竖直下抛运动，它们的加速度相同，所以它们的相对运动是分别沿水平方向和竖直方向向外做速度相同的匀速直线运动，在空中的位置构成的图形是正方形，所以选项A正确．
6．(2011·沈阳质检)A、B两小球从不同高度自由下落，同时落地，A球下落的时间为t，B球下落的时间为t/2，当B球开始下落的瞬间，A、B两球的高度差为( )
A．gt2 B.gt2 C.gt2 D.gt2
答案 D
解析 A球下落高度为hA＝gt2，B球下落高度为hB＝g()2＝gt2，当B球开始下落的瞬间，A球已下落了时间，A、B两球的高度差为Δh＝hA－g()2－hB＝gt2，所以D项正确．
7．(2011·山东临沂质检)在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g值，g值可由实验精确测定．近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g值归于测长度和时间，以稳定的氦氖激光的波长为长度标准，用光学干涉的方法测距离，以铷原子钟或其他手段测时间，能将g值测得很准，具体做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛小球又落至原处的时间为T2，在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球离开P点至又回到P点所用的时间为T1，测得T1、T2和H，可求得g等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设小球上升的最大高度为h，则有h＝g()2，h－H＝g()2，联立解得g＝.
【能力提升】
8. (2011·济南实验中学月考)取一根长2 m左右的细线，5个铁垫圈和一个金属盘．在线下端系上第一个垫圈，隔12 cm再系一个，以后垫圈之间的距离分别为36 cm、60 cm、84 cm，如图5所示，站在椅子上，向上提起线的上端，让线自由垂下，且第一个垫圈紧靠放在地上的金属盘．松手后开始计时，若不计空气阻力，则第2、3、4、5个垫圈( )
图5[高考资源网KS5U.COM]
A．落到盘上的声音时间间隔越来越大
B．落到盘上的声音时间间隔相等
C．依次落到盘上的速率关系为1∶∶∶2
D．依次落到盘上的时间关系为1∶(－1)∶(－)∶(2－)
答案 B
解析 各垫圈之间的距离之比为1∶3∶5∶7，各垫圈到金属盘的距离之比为1∶4∶9∶16，各垫圈做自由落体运动，根据x＝gt2得t＝，各垫圈落到盘上的时间之比为1∶2∶3∶4，则各垫圈落地时间间隔相等，B选项正确，A、D选项错误；根据2gx＝v2得v＝，各垫圈依次落到盘上的速率之比为1∶2∶3∶4，C选项错误．
9．(2011·济南质检)小芳是一个善于思考的乡村女孩，她在学过自由落体运动规律后，对自家房上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，小芳同学在自己的作业本上画出了如图6所示的雨滴下落同自家房子尺寸的关系图，其中2点和3点之间的小矩形表示小芳正对的窗子，请问：
图6
(1)此屋檐离地面多高？
(2)滴水的时间间隔是多少？
答案 (1)3.2 m (2)0.2 s
解析 设屋檐离地面高为h，滴水的时间间隔为T
由h＝gt2/2得
第2滴水的位移为h2＝g(3T)2/2①
第3滴水的位移为h3＝g(2T)2/2②
且h2－h3＝1 m③
由①②③得 T＝0.2 s
则屋檐高h＝g(4T)2/2＝3.2 m.
10．2010年冰岛火山喷发，火山灰尘给欧洲人民的生活带来了很大的影响．假设一灰尘颗粒开始以4 m/s2的加速度从地面竖直上升，10 s末，忽然失去所有向上的推动力，灰尘颗粒只在重力作用下运动，则该颗粒最高可上升到距地面多高处？此颗粒失去推动力后经多长时间落回地面？(g取10 m/s2)
答案 280 m 11.48 s
解析 向上加速阶段
H1＝a1t＝×4×102 m＝200 m
失去向上的推动力时，灰尘颗粒的速度大小为：
v1＝a1t1＝4×10 m/s＝40 m/s
此后，灰尘颗粒做竖直上抛运动．
竖直上抛上升阶段：H2＝＝80 m
t2＝＝4 s
自由下落阶段：H1＋H2＝gt
得t3＝＝ s＝7.48 s
所以，此颗粒距地面最大高度
Hmax＝H1＋H2＝280 m
颗粒从失去推动力到落地的总时间
t＝t2＋t3＝11.48 s
易错点评
1．在研究两个或两个以上抛体间的相对运动时，利用转换参考系的思想，能够简化解题，化难为易，并且两抛体间的相对运动不是静止，就是匀速直线运动两种情形．
2．对于8、9两题，都涉及多个物体做相同规律的运动，解此类问题，一般用等效转换的思想，即将“多个物体的运动”等效为“一个物体的运动”．
3．解竖直上抛问题时，要注意利用上升过程与下降过程的对称性以及各物理量的正负．
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