第一部分 专题三 电场和磁场
知识互联网
达人寄语
——科学复习、事半功倍
决定最后终点的人只有你自己！
●2012年3月，中南大学破格聘请22岁就攻克了国际数学难题的刘路为正教授级研究员，成为目前中国最年轻的教授．他的励志名言是：“人生好比一道难题，我坚持了自己的兴趣，决定最后终点的人只有你自己！”
“电场和磁场”，高考是重磅，粒子运动压大轴，“场”“场”有“轨”莫紧张．要自信，自信是成功的基石，用自己的实力撬动高考这个实现自身价值的省力杠杆，使你的人生轨迹呈弧线上升．
第8讲 带电粒子在复合场中的运动
常考的2个问题(计算题)
主要题型：计算题
难度档次：
难度较大，考卷的高档题．知识点多、综合性强，题意深邃，含有临界点，主要为多过程现象、也有多物体系统．以定量计算为主，对解答表述要求较规范．一般设置为或递进、或并列的2～3小问，各小问之间按难度梯度递增．,高考热点
一、两种场的模型及三种场力
1．两种场模型
(1)组合场模型：电场、磁场、重力场(或其中两种场)并存，但各位于一定区域，并且互不重叠．
(2)复合场模型：电场、磁场、重力场(或其中两种场)并存于同一区域．
2．三种场力
(1)重力：G＝mg，总是竖直向下，恒力，做功只取决于初末位置的高度差．
(2)电场力：F＝qE，方向与场强方向及电性有关，做功只取决于初末位置的电势差．
(3)洛伦兹力：F洛＝qvB(v⊥B)，方向用左手定则判定，洛伦兹力永不做功．
二、电偏转与磁偏转的比较
偏转类型比较内容
电偏转垂直进入匀强电场
磁偏转垂直进入匀强磁场
受力情况及特点
恒力F＝qE做匀变速运动
F＝qvB大小不变、方向改变，永不做功
运动规律
类平抛运动
匀速圆周运动
偏转程度
tan θ＝，θ<
偏转角不受限制
动能变化
动能增加
动能不变
处理方法
运动的合成与分解、类平抛运动规律
结合圆的知识及半径、周期公式
三、带电粒子的运动
1．匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力________时带电粒子做匀速直线运动，如速度选择器．
2．匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与静电力________________时，带电粒子可以在洛伦兹力的作用下，在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动．
3．较复杂的曲线运动
当带电粒子所受的合外力是变力，且与________方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹不是圆弧，也不是抛物线．
4．分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域情况发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成．,状元微博
名师点睛
1．正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提
带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及初始速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析．
2．灵活选用力学规律是解决问题的关键
(1)当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，应根据平衡条件列方程求解．
(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解．
当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解．
(3)当带电粒子做类平抛运动时，要应用运动的合成与分解法．
课堂笔记
常考问题24 带电粒子在组合场中的运动
【例1】 (2012·山东理综，23)如图8－1甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S1、S2，两极板间电压的变化规律如图乙所示．正反向电压的大小均为U0，周期为T0.在t＝0时刻将一个质量为m、电量为－q(q>0)的粒子由S1静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在t＝时刻通过S2垂直于边界进入右侧磁场区．(不计粒子重力，不考虑极板外的电场)
(1)求粒子到达S2时的速度大小v及极板间距d.
(2)为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件．
(3)若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t＝3T0时刻再次到达S2，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感应强度的大小．
甲 乙
图8－1
解析 (1)粒子由S1至S2的过程，根据动能定理得qU0＝mv2①,
思维模板
1．解决带电粒子在组合场中运动的一般思维模板
2．所用规律选择思路
(1)带电粒子经过电场区域时利用动能定理或类平抛的知识分析；
(2)带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系来处理．
课堂笔记
由①式得v＝ ②
设粒子的加速度大小为a，由牛顿第二定律得q＝ma③
由运动学公式得d＝a④
联立③④式得d＝ ⑤
(2)设磁感应强度的大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得qvB＝m⑥
要使粒子在磁场中运动时不与极板相撞，需满足2R>⑦
联立②⑥⑦式得B< ⑧
(3)设粒子在两边界之间无场区向左匀速运动的过程用时为t1，有d＝vt1⑨
联立②⑤⑨式得t1＝⑩
若粒子再次到达S2时速度恰好为零，粒子回到极板间应做匀减速运动，设匀减速运动的时间为t2，根据运动学公式得d＝t2?
联立⑨⑩?式得t2＝?
设粒子在磁场中运动的时间为t，t＝3T0－－t1－t2?
联立??式得t＝?
设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，由⑥式结合运动学公式得T＝?
由题意可知T＝t?
联立???式得B＝?
答案 (1) (2)B< (3)
图8－2
如图8－2所示，带电粒子以某一初速度进入一垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的有界匀强磁场，粒子垂直进入磁场时的速度与水平方向成θ＝60°角，接着垂直进入电场强度大小为E，水平宽度为L、方向竖直向上的匀强电场，粒子穿出电场时速度大小变为原来的 倍．已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，重力不计．
(1)分析判断粒子的电性；
(2)求带电粒子在磁场中运动时速度v的大小；
(3)求磁场的水平宽度d.
,
常考问题25 带电粒子在叠加复合场中的运动
【例2】 如图8－3所示的平行板之间，存在着相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度B1＝0.20 T，方向垂直纸面向里，电场强度E1＝1.0×105 V/m，PQ为板间中线．紧靠平行板右侧边缘xOy坐标系的第一象限内，有一边界线AO，与y轴的夹角∠AOy＝45°，边界线的上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B2＝0.25 T，边界线的下方有水平向右的匀强电场，电场强度E2＝5.0×105 V/m，在x轴上固定一水平的荧光屏．一束带电荷量q＝8.0×10－19 C、质量m＝8.0×10－26 kg的正离子从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为(0，0.4 m)的Q点垂直y轴射入磁场区，最后打到水平的荧光屏上的位置C.求：
图8－3
(1)离子在平行板间运动的速度大小；
(2)离子打到荧光屏上的位置C的坐标；
(3)现只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到x轴上，磁感应强度大小B2′应满足什么条件？
教你审题
图8－4
(2012·广东揭阳联考)如图8－4所示，竖直平面内有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E1＝2 500 N/C，方向竖直向上；磁感应强度B＝103 T，方向垂直纸面向外；有一质量m＝1×10－2kg、电荷量q＝4×10－5C的带正电小球自O点沿与水平线成45°角以v0＝4 m/s的速度射入复合场中，之后小球恰好从P点进入电场强度E2＝2 500 N/C，方向水平向左的第二个匀强电场中．不计空气阻力，g取10 m/s2.求：
(1)O点到P点的距离s1；
(2)带电小球经过P点的正下方Q点时与P点的距离s2.
,借题发挥
带电(体)粒子在复合场中的运动问题求解要点
(1)受力分析是基础．在受力分析时是否考虑重力必须注意题目条件．
(2)运动过程分析是关键．在运动过程分析中应注意物体做直线运动、曲线运动及圆周运动、类平抛运动的条件．
(3)构建物理模型是难点．根据不同的运动过程及物理模型选择合适的物理规律列方程求解．
易错警示
1．忽略带电体的重力导致错误
带电体的重力是否忽略，关键看重力与其他力大小的关系比较，一般一些微观粒子如电子、质子、α粒子等的重力忽略不计，而一些宏观带电体，如带电小球、带电液滴等重力不能忽略．
2．不能挖掘出隐含条件导致错误
带电粒子在复合场中的运动，往往会出现临界状态或隐含条件，应以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，并根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解．
3．混淆处理“磁偏转”和“电偏转”的方法
(1)粒子在恒力(如重力、电场力等)作用下的“电偏转”是类平抛运动，采用分解为匀速运动和匀加速运动来处理；
(2)粒子在洛伦兹力作用下的“磁偏转”是匀速圆周运动，采用圆周运动规律结合几何关系来处理．
课堂笔记
预测：带电粒子在组合场和复合场中的运动是高考命题的热点，往往综合考查牛顿运动定律、功能关系、圆周运动的规律等.2013高考压轴题的热点为―→带电粒子在交变复合场中的运动
对策：
特别提醒
若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间，则在粒子穿越电场过程中，电场可看作粒子刚进入电场时刻的匀强电场．
计算题“弃车保帅”策略：计算题第25题为压轴大题，分值高达18～19分，但是其中第(1)小题往往难度不大．考生们可以根据自己的实际能力，适当放弃难度过高的(2)(3)小题，以免白白浪费大量宝贵时间，导致其他科目较易的考题来不及完成．,【典例】 如图8－5甲所示，在xOy平面内加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律如图乙所示(规定竖直向上为电场强度的正方向，垂直纸面向里为磁感应强度的正方向)．在t＝0时刻，质量为m、电荷量为q的带正电粒子自坐标原点O处以v0＝2π m/s的速度沿x轴正向水平射入．已知电场强度E0＝、磁感应强度B0＝，不计粒子重力．求：
图8－5
(1)t＝π s时粒子速度的大小和方向；
(2)π s～2π s内，粒子在磁场中做圆周运动的半径；
(3)画出0～4π s内粒子的运动轨迹示意图；(要求：体现粒子的运动特点)．
读题 (1)由图(乙)可知，在xOy平面内存在电场时，不存在磁场；存在磁场时，不存在电场．且电场和磁场的变化周期相同；
(2)带电粒子在电场中做类平抛运动；
(3)由T＝＝π s知，只存在磁场时，带电粒子恰好做一个完整的圆周运动．
画图 带电粒子在交变场中的运动轨迹如图所示．
规范解答 (1)在0～π s内，在电场力作用下，带电粒子在x轴正方向上做匀速运动：vx＝v0
y轴正方向上做匀加速运动：vy＝t
π s末的速度为v1＝
v1与水平方向的夹角为α，则tan α＝，代入数据解得v1＝2 π m/s，方向与x轴正方向成45°斜向上．
(2)因T＝＝π s，故在π s～2π s内，粒子在磁场中做一个完整的圆周运动，由牛顿第二定律得：qv1B0＝，解得R1＝＝ π m
(3)轨迹如图所示
图8－6
1．(2012·海口调研测试)如图8－6所示空间分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个足够长的区域，各边界面相互平行，其中Ⅰ，Ⅱ区域存在匀强电场EI＝1.0×104 V/m，方向垂直边界面竖直向上；EⅡ＝×105 V/m，方向水平向右，Ⅲ区域磁感应强度B＝5.0 T，方向垂直纸面向里，三个区域宽度分别为d1＝5.0 m，d2＝4.0 m，d3＝10 m．一质量m＝1.0×10－8 kg、电荷量q＝1.6×10－6C的粒子从O点由静止释放，粒子重力忽略不计．求：
(1)粒子离开区域Ⅰ时的速度大小；
(2)粒子从区域Ⅱ进入区域Ⅲ时的速度方向与边界面的夹角；
(3)粒子在Ⅲ区域中运动的时间和离开Ⅲ区域时的速度方向与边界面的夹角．
2．(2012·重庆理综，24)有人设计了一种带电颗粒的速率分选装置，其原理如图8－7所示，两带电金属板间有匀强电场，方向竖直向上，其中PQNM矩形区域内还有方向垂直纸面向外的匀强磁场．一束比荷(电荷量与质量之比)均为的带正电颗粒，以不同的速率沿着磁场区域的水平中心线O′O进入两金属板之间，其中速率为v0的颗粒刚好从Q点处离开磁场，然后做匀速直线运动到达收集板．重力加速度为g.PQ＝3d，NQ＝2d，收集板与NQ的距离为l，不计颗粒间相互作用．求
(1)电场强度E的大小；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)速率为λv0(λ>1)的颗粒打在收集板上的位置到O点的距离．
图8－7
3．(2012·郑州市预测)如图8－8甲所示，两平行金属板长度l不超过0.2 m，两板间电压U随时间t变化的U－t图象如图8－8乙所示．在金属板右侧有一左边界为MN、右边无界的匀强磁场，磁感应强度B＝0.01 T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子连续不断地以速度v0＝105 m/s射入电场中，初速度方向沿两板间的中线OO′方向．磁场边界MN与中线OO′垂直．已知带电粒子的比荷＝108 C/kg，粒子的重力和粒子之间的相互作用力均可忽略不计．
图8－8
(1)在每个粒子通过电场区域的时间内，可以把板间的电场强度当做恒定的．请通过计算说明这种处理能够成立的理由．
(2)设t＝0.1 s时刻射入电场的带电粒子恰能从金属板边缘穿越电场射入磁场，求该带电粒子射出电场时速度的大小．
(3)对于所有经过电场射入磁场的带电粒子，设其射入磁场的入射点和从磁场射出的出射点间的距离为d，试判断：d的大小是否随时间变化？若不变，证明你的结论；若变化，求出d的变化范围．
答案：
第8讲 带电粒子在复合场中的运动
常考的2个问题(计算题)
【高考必备】
三、1.为零 2.大小相等、方向相反 3.初速度
【常考问题】
预测1 解析 (1)根据粒子在磁场中向下偏转的情况和左手定则可知，粒子带负电．
(2)由于洛伦兹力对粒子不做功，故粒子以原来的速率进入电场中，设带电粒子进入电场的初速度为v0，在电场中偏转时做类平抛运动，如上图所示．由题意知粒子离开电场时的末速度大小为v＝v0，将v分解为平行于电场方向和垂直于电场方向的两个分速度：由几何关系知
vy＝v0①
由运动学公式：vy＝at②
L＝v0t③
根据牛顿第二定律：a＝＝④
联立①②③④求解得：v0＝ ⑤
(3)如上图所示，带电粒子在磁场中所受洛伦兹力作为向心力，设在磁场中做圆周运动的半径为R，则：qv0B＝m⑥
由几何知识可得：d＝Rsin θ⑦
⑤⑥⑦联立解得：d＝ sin θ.
答案 (1)负电 (2) (3) sin θ
图甲
【例2】 解析 (1)设离子的速度大小为v，由于沿中线PQ做直线运动，则有qE1＝qvB1，代入数据解得v＝5.0×105 m/s.
(2)离子进入磁场，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有qvB2＝m得，r＝0.2 m，作出离子的运动轨迹，交OA边界于N，如图甲所示，OQ＝2r，若磁场无边界，一定通过O点，则圆弧QN的圆周角为45°，则轨迹圆弧的圆心角为θ＝90°，过N点做圆弧切线，方向竖直向下，离子垂直电场线进入电场，做类平抛运动，y＝OO′＝vt，x＝at2，而a＝，则x＝0.4 m
离子打到荧光屏上的位置C的水平坐标为
xC＝(0.2＋0.4)m＝0.6 m.
图乙
(3)只要粒子能跨过AO边界进入水平电场中，粒子就具有竖直向下的速度而一定打在x轴上．如图乙所示，由几何关系可知使离子不能打到x轴上的最大半径r′＝ m，设使离子都不能打到x轴上，最小的磁感应强度大小为B0，则qvB0＝m，代入数据解得B0＝ T＝0.3 T, 则B2′≥0.3 T.
答案 (1)5.0×105 m/s (2)0.6 m (3)B2′≥0.3 T
预测2 解析 (1)带电小球在正交的匀强电场和匀强磁场中受到的重力G＝mg＝0.1 N，
电场力F1＝qE1＝0.1 N，
即G＝F1，故带电小球在正交的电磁场中由O到P做匀速圆周运动，
根据牛顿第二定律得qv0B＝m，
解得：R＝＝ m＝1 m，
由几何关系得：s1＝R＝ m.
(2)带电小球在P点的速度大小仍为v0＝4 m/s，方向与水平方向成45°.由于电场力F2＝qE2＝0.1 N，与重力大小相等，方向相互垂直，则合力的大小为F＝ N，方向与初速度方向垂直，故带电小球在第二个电场中做类平抛运动
建立如图所示的x、y坐标系，沿y轴方向上，带电小球的加速度a＝＝10 m/s2，位移y＝at2，
沿x轴方向上，带电小球的位移x＝v0t，
由几何关系有：y＝x，即：at2＝v0t，
解得：t＝ s，
Q点到P点的距离s2＝x＝×4× m＝3.2 m.
答案 (1) m (2)3.2 m
【随堂演练】
1．解析 (1)由动能定理得 ＝qEId1①
得：v1＝4×103 m/s②
(2)粒子在区域Ⅱ做类平抛运动．水平向右为y轴，竖直向上为x轴．设粒子进入区域Ⅲ时速度与边界的夹角为θ
tan θ＝③
vx＝y1 vy＝at④
a＝⑤
t＝⑥
把数值代入得θ＝30°⑦
(3)粒子进入磁场时的速度v2＝2v1⑧
粒子在磁场中运动的半径R＝＝10 m＝d3⑨
由于R＝d3，粒子在磁场中运动所对的圆心角为60°
粒子在磁场中运动的时间t＝＝ s⑩
粒子离开Ⅲ区域时速度与边界面的夹角为60°?
答案 (1)4×103 m/s (2)30° (3) s 60°
2．解析 (1)设带电颗粒的电荷量为q，质量为m.有Eq＝mg
将＝代入，得E＝kg.
(2)如图甲所示，有qv0B＝m
R2＝(3d)2＋(R－d)2
得B＝.
图甲 图乙
(3)如图乙所示，有
qλv0B＝m
tan θ＝
y1＝R1－
y2＝ltan θ
y＝y1＋y2
得y＝d(5λ－ )＋.
答案 见解析
3．解析 (1)带电粒子在金属板间运动的时间为
t＝≤2×10－6 s，
由于t远小于T(T为电压U的变化周期)，故在t时间内金属板间的电场可视为恒定的．
另解：在t时间内金属板间电压变化ΔU≤2×10－3 V，由于ΔU远小于100 V(100 V为电压U最大值)，电压变化量特别小，故t时间内金属板间的电场可视为恒定的．
(2)t＝0.1 s时刻偏转电压U＝100 V，由动能定理得
qU＝mv－mv，
代入数据解得v1＝1.41×105 m/s.
(3)设某一时刻射出电场的粒子的速度大小为v，速度方向与OO′夹角为θ，则v＝，
粒子在磁场中有qvB＝，
由几何关系得d＝2Rcos θ，
由以上各式解得d＝，
代入数据解得d＝0.2 m，显然d不随时间变化．
答案 (1)见解析 (2)1.41×105 m/s (3)d＝0.2 m 不随时间变化
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