二章 相互作用
第一节力 重力 弹力 摩擦力
基础知识
一、力
1、定义：力是物体对物体的作用
说明：定义中的物体是指施力物体和受力物体，定义中的作用是指作用力与反作用力。
2、力的性质
①力的物质性：力不能离开物体单独存在。
②力的相互性：力的作用是相互的。
③力的矢量性：力是矢量，既有大小也有方向。
④力的独立性：一个力作用于物体上产生的效果与这个物体是否同时受其它力作用无关。
3、力的分类
①按性质分类：重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力、核力等
②按效果分类：拉力、压力、支持力、动力、阻力、向心力、回复力等
③按研究对象分类：内力和外力。
④按作用方式分类：重力、电场力、磁场力等为场力，即非接触力，弹力、摩擦力为接触力。
说明：性质不同的力可能有相同的效果，效果不同的力也可能是性质相同的。
4、力的作用效果：是使物体发生形变或改变物体的运动状态．
5、力的三要素是：大小、方向、作用点．
6、力的图示：用一根带箭头的线段表示力的三要素的方法。
7、力的单位：牛顿，使质量为1千克的物体产生1米／秒2加速度力的大小为 1牛顿．
二、重力
1、产生：由于地球对物体的吸引而使物体受到的力叫重力．ks5u.com
说明：重力是由于地球的吸引而产生的力，但它并不就等于地球时物体的引力．重力是地球对物体的万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球旋转所需的向心力。由于物体随地球自转所需向心力很小，所以计算时一般可近似地认为物体重力的大小等于地球对物体的引力。
2、大小：G＝mg （说明：物体的重力的大小与物体的运动状态及所处的状态都无关）
3、方向：竖直向下（说明：不可理解为跟支承面垂直）．
4、作用点：物体的重心．
5、重心：重心是物体各部分所受重力合力的作用点．
说明：（l）重心可以不在物体上．物体的重心与物体的形状和质量分布都有关系。重心是一个等效的概念。
（2）有规则几何形状、质量均匀的物体，其重心在它的几何中心．质量分布不均匀的物体，其重心随物体的形状和质量分布的不同而不同。
（3）形状不规则的物体的重心可用悬挂法求得．
【规律方法】 对重力的正确认识
重力实际上是物体与地球间的万有引力的一部分（另一部分为物体绕地球旋转所需要的向心力）重力是非接触力。非特别说明，凡地球上的物体均受到重力。
重力的大小： G＝mg ，g为当地的重力加速度 g＝9.8m/s2，且随纬度和离地面的高度而变。（赤道上最小，两极最大；离地面越高，g越小。在地球表面近似有：
例1．关于重力的说法正确的是（C）
A．物体重力的大小与物体的运动状态有关，当物体处于超重状态时重力大，当物体处于失重状态时，物体的重力小。
B．重力的方向跟支承面垂直
C．重力的作用点是物体的重心
D．重力的方向是垂直向下
解析：物体无论是处于超重或失重状态，其重力不变，只是视重发生了变化，物体的重力随在地球上的纬度变化而变化，所以 A错．重力的方向是竖直向下，不可说为垂直向下，垂直往往给人们一种暗示，与支承面垂直，重力的方向不一定很支承面垂直，如斜面上的物体所受重力就不跟支承面垂直．所以DB错．重心是重力的作用点，所以c对．
例2．下面关于重力、重心的说法中正确的是（ ）
A．风筝升空后，越升越高，其重心也升高
B．质量分布均匀、形状规则的物体的重心一定在物体上
C．舞蹈演员在做各种优美动作的时，其重心位置不断变化
D．重力的方向总是垂直于地面
解析：实际上，一个物体的各个部分都受到重力，重心的说法是从宏观上研究重力对物体的作用效果时而引入的一个概念，重心是指一个点（重力的作用点）。由此可知，重心的具体位置应该由物体的形状和质量分布情况决定，也就是说只要物体的形状和质量分布情况不变，重心与物体的空间位置关系就保持不变。重心可能在物体外，也可能在物体内，对具有规则集合形状质量均匀分布的物体，重心在物体的几何中心上。物体位置升高，其重心也跟着升高，根据以上分析可以判断选项A、C是正确的，选项B是错误的。重力的方向是“竖直向下”的，要注意“竖直向下”与“垂直于地面”并不完全相同，所以选项D的说法是错误的。
例3．一人站在体重计上称体重，保持立正姿势称得体重为G，当其缓慢地把一条腿平直伸出台面，体重计指针稳定后读数为G/，则（ C ）
A．G＞G/ B．G＜G/ C、G＝G/’ D．无法判定
【错因分析】以为人的一条腿伸出台面，压在台面上的力将减少，错选A；以为人腿伸出后人将用力保持身体平衡，易错选B，无从下手分析该题易选D。
解：人平直伸出腿后，身体重心所在的竖直线必过与台面接触的脚，即重心仍在台面内。重心是重力的作用点，故应选C。
三、弹力
1、定义：直接接触的物体间由于发生弹性形变而产生的力．
2、产生条件：直接接触，有弹性形变。
3、方向：弹力的方向与施力物体的形变方向相反，作用在迫使物体发生形变的物体上。
说明：①压力、支持力的方向总是垂直于接触面（若是曲面则垂直过接触点的切面）指向被压或被支持的物体。
②绳的拉力方向总是沿绳指向绳收缩的方向。
③杆一端受的弹力方向不一定沿杆的方向。
4、大小：①弹簧在弹性限度内，遵从胡克定律力F=kX。
②一根张紧的轻绳上的张力大小处处相等。
③非弹簧类的弹力是形变量越大，弹力越大，一般应根据物体的运动状态，利用平衡条件或牛顿定律来计算。
【规律方法】1、弹力方向的判断方法
（1）根据物体的形变方向判断：弹力方向与物体形变方向相反，作用在迫使这个物体形变的那个物体上。①弹簧两端的弹力方向是与弹簧中心轴线相重合，指向弹簧恢复原状方向；
②轻绳的弹力方向沿绳收缩的方向，离开受力物体；
③面与面，点与面接触时，弹力方向垂直于面（若是曲面则垂直于切面），且指向受力物体．
④球面与球面的弹力沿半径方向，且指向受力物体．
⑤轻杆的弹力可沿杆的方向，也可不沿杆的方向。
（2）根据物体的运动情况。利用平行条件或动力学规律判断．
例4．如图所示中的球和棒均光滑，试分析并画出它们受到的弹力。
说明：分析弹力：找接触面（或接触点）→判断是否有挤压（假设法）→判断弹力的方向
例5.、下面图中，静止的小球m分别与两个物体（或面）接触，设各接触面光滑，则A受到两个弹力的是……………………………………………………………………（ ）
例6．如图所示，小车上固定着一根弯成α角的轻杆，杆的另一端固定一个质量为m的小球，试分析下列情况下杆对球的弹力的大小和方向：①小车静止；②小车以加速度a水平向右加速运动.
③小车以加速度a水平向左加速运动？
答案：（①mg，竖直向上；②，与竖直方向夹角；③，与竖直方向夹角；）
2.弹力的计算与应用
例7、两个物体A和B,质量分别为M和m,用跨过定滑轮的轻绳相连,A静止于水平地面上,如图1所示.不计摩擦,A对绳的作用力的大小与地面对A的作用力的大小分别为( )
A. mg,(M-m)g; B.mg,Mg;
C.(M-m)g,Mg; D.(M+m)g,(M-m)g.
例8、两个弹簧称平放在光滑的水平桌面上，乙的一端系于墙上，两个弹簧秤挂勾相连，当在甲的右端挂勾上用100N的水平拉力拉甲时，则甲、乙两个弹簧秤读数分别是（ ）
A、100N；0 B、 100N；100N C、0；100N D、200N；100N
例9. 2010·新课标·15一根轻质弹簧一端固定，用大小为的力压弹簧的另一端，平衡时长度为；改用大小为的力拉弹簧，平衡时长度为.弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为
A、 B、 C、 D、
答案：C，
解析：根据胡克定律有：，，解得：k=
例10.（09·广东物理·7）某缓冲装置可抽象成图所示的简单模型。图中为原长相等，劲度系数不同的轻质弹簧。下列表述正确的是 （ BD ）
A．缓冲效果与弹簧的劲度系数无关
B．垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等
C．垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等
D．垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变
例11．如图，两木块的的质量分别是m1和 m2，两轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面的木块压上面的弹簧上，整个系处于平衡状态，现缓慢向上提上面的木块直到它刚离开上面的弹簧，在这个过程中，下面的木块移动的距离为：（ C ）
解析：对下面的弹簧，初态的弹力为F=（m1+m2）g，末态的弹力为F/=m2g，故Δx=ΔF/k2=m1g/k2。
说明：研究的弹簧是下面的，劲度系数为k2，力的变化是m1g。
四、摩擦力
1、定义：当一个物体在另一个物体的表面上相对运动或有相对运动的趋势时，受到的阻碍相对运动或相对运动趋势的力，叫摩擦力，可分为静摩擦力和动摩擦力。
2、产生条件：①接触面粗糙；②相互接触的物体间有弹力；
③接触面间有相对运动或相对运动趋势。
说明：三个条件缺一不可，特别要注意“相对”的理解
3、摩擦力的方向：①静摩擦力的方向总跟接触面相切，并与相对运动趋势方向相反。
②动摩擦力的方向总跟接触面相切，并与相对运动方向相反。
4、摩擦力的大小：
①静摩擦力的大小与相对运动趋势的强弱有关，趋势越强，静摩擦力越大，但不能超过最大静摩擦力，即0≤f≤fm ，具体大小可由物体的运动状态结合动力学规律求解。
②滑动摩擦力的大小f＝μN 。
说明：滑动摩擦力的大小与接触面的大小、物体运动的速度和加速度无关，只由动摩擦因数和正压力两个因素决定，而动摩擦因数由两接触面材料的性质和粗糙程度有关．ks5u.com
【规律方法】1、摩擦力方向的判断与应用
例12．如图所示，小车的质量为M．人的质量为m，人用恒力 F拉绳，若人和车保持相对静止．不计绳和滑轮质量、车与地面的摩擦，则车对人的摩擦力可能是（ ）
A、0 ； B、F，方向向右； C、F，方向向左； D.F，方向向右
解析：由于车与人相对静止，则两者加速度相同，即a=2F/（M+m），若车对人的摩擦力向右，人对车的摩擦力向左，则对人：F-f=ma，对车：F+f=Ma，必须M>m。则D正确；若车对人的摩擦力向左，人对车的摩擦力向右，则对人：F+f=ma，对车：F-f=Ma，必须M900时，β↑→sinβ↓→N2↑；当β=900时，N2有最小值N2min=mgsinα；
说明：（1）力的分解不是随意的，要根据力的实际作用效果确定力的分解方向．
（2）利用图解法来定性地分析一些动态变化问题，简单直观有效，是经常使用的方法，要熟练掌握．
4、正交分解和等效替代
【例7】如图2－24（a）所示，A、B质量分别为mA和mB，叠放在倾角为θ的斜面上以相同的速度匀速下滑，则（ ）
（A）AB间无摩擦力作用 （B）B受到的滑动摩擦力大小为（mA＋mB）gsinθ
（C）B受到的静摩擦力大小为mAgsinθ （D）取下A物体后，B物体仍能匀速下滑
解析：隔离A、B，A受力和坐标轴如图（b）所示，由平衡条件得：
mAgsinθ－fA=0…………① NA一mAgcosθ＝0…………②
B受力和坐标轴如图（C）所示，由平衡条件得：
mBgsinθ＋fA/－fB=0……………③ NB一mBgcosθ—NA/=0…………④
B相对静止，fA为静摩擦力，B在斜面上滑动，fB为滑动摩擦力
fB＝μNB…………⑤ 联立①式～⑤式得：
fA=mAgsinθ，fB=（mA十mB）gsinθ，μ=tgθ
取下A后，B受到的滑动磨擦力为fB＝μmBgcosθ=mBgsinθ，
B所受摩擦力仍等于重力沿斜面的下滑分力，所以B仍能作匀速直线运动·
综上所述，本题应选择（B）、（C）、（D）。
【例8】某压榨机的结构示意图如图,其中B为固定铰链,若在A处作用于壁的力F,则由于力F的作用，使滑块C压紧物块D，设C与D光滑接触，杆的重力不计，求物体D受到的压力大小是F的几倍？（滑块重力不计）
解析：力F的作用效果是对AC、AB杆产生沿两杆的方向的力F1、F2，力F1产生对C的向左的力和向下的压力。由图可知tanα=100/10=10，F1=F2=F/2cosα，N=F1sinα=Fsinα/2cosα=5F。
课后作业
1．两个共点力Fl和F2的大小不变，它们的合力F与两力F1、F2之间夹角的关系如图2-A-1所示，则合力F大小的变化范围是多少?
2．（北京市西城区2010年抽样测试）F1、F2是力F的两个分力。若F = 10N，则下列哪组力不可能是F的两个分力
A．F1=10N F2=10N B．F1=20N F2=20N
C．F1=2 N F2=6N D．F1=20N F2=30N
3． 如图2-A-6所示，光滑斜面的倾角为，有两个相同的小球，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板且沿竖直方向，挡板B垂直斜面，则两挡板受到小球压力大小之比为 ，斜面受到两个小球压力大小之比为 。
（本题考查如何根据实际效果分解重力）
4．如图2-A-8所示，有一个固定在竖直墙壁上的三角支架ABC，AB杆沿水平方向，AC杆与AB杆的夹角为60°，当在A点悬挂一物体时，AB杆受到的拉力为10N，求 AC杆受的压力及悬挂物体的重量。
（依据作用效果分解力）
第三节 物体的受力分析（隔离法与整体法）
基础知识一、物体受力分析方法
把指定的研究对象在特定的物理情景中所受到的所有外力找出来，并画出受力图，就是受力分析。对物体进行正确地受力分析，是解决好力学问题的关键。
1、受力分析的顺序：先找重力，再找接触力（弹力、摩擦力），最后分析其它力（电场力、磁场力等）
2、受力分析的几个步骤．
①灵活选择研究对象：也就是说根据解题的目的，从体系中隔离出所要研究的某一个物体，或从物体中隔离出某一部分作为单独的研究对象，对它进行受力分析．
所选择的研究对象要与周围环境联系密切并且已知量尽量多；对于较复杂问题，由于物体系各部分相互制约，有时要同时隔离几个研究对象才能解决问题．究竟怎样选择研究对象要依题意灵活处理．
②对研究对象周围环境进行分析：除了重力外查看哪些物体与研究对象直接接触，对它有力的作用．凡是直接接触的环境都不能漏掉分析，而不直接接触的环境千万不要考虑进来．然后按照重力、弹力、摩擦力的顺序进行力的分析，根据各种力的产生条件和所满足的物理规律，确定它们的存在或大小、方向、作用点．
③审查研究对象的运动状态：是平衡态还是加速状态等等，根据它所处的状态有时可以确定某些力是否存在或对某些力的方向作出判断．
④根据上述分析，画出研究对象的受力分析图；把各力的方向、作用点（线）准确地表示出来．
3、受力分析的三个判断依据：
①从力的概念判断，寻找施力物体；
②从力的性质判断，寻找产生原因；
③从力的效果判断，寻找是否产生形变或改变运动状态。
二、隔离法与整体法
1、整体法：以几个物体构成的整个系统为研究对象进行求解的方法。在许多问题中可以用整体法比较方便，但整体法不能求解系统的内力。
2、隔离法：把系统分成若干部分并隔离开来，分别以每一部分为研究对象进行受力分根据地，分别列出方程，再联立求解的方法。
3、通常在分析外力对系统作用时，用整体法；在分析系统内各物体之间的相互作用时，用隔离法。有时在解答一个问题时要多次选取研究对象，需要整体法与隔离法交叉使用
规律方法
物体的受力分析
例1．如图2-1-8所示，物体A、B叠放在光滑的水平桌面上， 现有两根轻绳分别跨过光滑的定滑轮水平地系在A、B上，在轻绳的另一端施加了大小相等的力F的作用，且A、B处于静止状态。试分别分析A、B两物体的受力情况。
例2.如图2-1-9所示，A、B在动滑轮的作用下向右匀速运动， 试分析A物体受的力。
例3.如图所示，小车M在恒力作用下，沿水平地面做直线运动，由此可以判断（CD）
A、若地面光滑，则小车一定受三个力作用
B.若地面粗糙，则小车可能受三个力作用
C若小车做匀速运动，则小车一定受四个力作用
D.若小车加速运动，则小车可能受三个力作用
解析：由于F的垂直分力可能等于重力，因此地面可能对物体无弹力作用，A选项错误。F有竖直分力可能小于重力，地面对物体有弹力作用，若地面粗糙，小车受摩擦力作用，共受四个力，B选项错误。若小车做匀速运动，则水平方向所受的摩擦力与F的水平分力平衡，这时一定受重力、弹力、拉力F和摩擦力四个力的作用，C选项正确；若小车做加速运动，，当地面光滑时，小车受重力和F力的作用或受重力和F力及地面的弹力的作用，D选项正确。
答案：CD
说明：①在常见的几种力中，重力是主动力，而弹力、摩擦力是被动力，其中存在弹力又是摩擦力存在的前提，所以分析受力时应按重力、弹力、摩攘力的顺序去分析．
②物体的受力情况要与其运动情况相符．因此，常常从物体的运动状态入手，去分析某个力是否存
在．如本例中选项C,D的分析．
例4.(08·广东理科基础·2) 人站在自动扶梯的水平踏板上,随扶梯斜向上匀速运动,
如图所示.以下说法正确的是 ( )
A.人受到重力和支持力的作用
B.人受到重力、支持力和摩擦力的作用
C.人受到的合外力不为零
D.人受到的合外力方向与速度方向相同
答案 A
解析 由于人做匀速运动,所以人所受的合外力为零,水平方向不可能受力的作用.
例5.（09·北京·18）如图所示，将质量为m的滑块放在倾角为的固定斜面上。滑块与斜面之间的动摩擦因数为。若滑块与斜面之间的最大静摩擦力合滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g，则 （ C ）
A．将滑块由静止释放，如果＞tan，滑块将下滑
B．给滑块沿斜面向下的初速度，如果＜tan，滑块将减速下滑
C．用平行于斜面向上的力拉滑块向上匀速滑动，如果=tan，拉力大小应是2mgsin
D．用平行于斜面向下的力拉滑块向下匀速滑动，如果=tan，拉力大小应是mgsin
解析：对处于斜面上的物块受力分析，要使物块沿斜面下滑则mgsinθ>μmgcosθ，故μ)。将a、b球依次放入一竖直放置、内径为的平底圆筒内，如图所示。设a、b两球静止时对圆筒侧面的压力大小分别为和，筒底所受的压力大小为．已知重力加速度大小为g。若所以接触都是光滑的，则 （ A ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
解析：对两刚性球a和b整体分析，竖直方向平衡可知F＝（＋）g、水平方向平衡有＝。
例11.如图，有一箱装得很满的土豆，以一定的初速度在动摩擦因数为μ的水平地面上做匀减速运动，不计其他外力及空气阻力，则中间一质量为m的土豆A受到其他土豆对它的作用力大小应是 （ C ）
A. mg B. μmg C. D.
4、整体法与隔离法的交替使用
例12.有一个直角支架AOB，AO水平放置,表面粗糙, OB竖直向下,表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是
A.FN不变，f变大 B.FN不变，f变小 C.FN变大，f变大 D.FN变大，f变小
解：以两环和细绳整体为对象求FN，可知竖直方向上始终二力平衡，FN=2mg不变；以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA 对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小。答案选B。
共点力作用下的物体的平衡
基础知识一．共点力
物体同时受几个力的作用，如果这几个力都作用于物体的同一点或者它们的作用线交于同一点，这几个力叫共点力．
二、平衡状态
物体保持静止或匀速运动状态（或有固定转轴的物体匀速转动）．
说明：这里的静止需要二个条件，一是物体受到的合外力为零，二是物体的速度为零，仅速度为零时物体不一定处于静止状态，如物体做竖直上抛运动达到最高点时刻，物体速度为零，但物体不是处于静止状态，因为物体受到的合外力不为零．
三、共点力作用下物体的平衡条件
物体受到的合外力为零．即F合=0
说明；①三力汇交原理：当物体受到三个非平行的共点力作用而平衡时，这三个力必交于一点；
物体受到N个共点力作用而处于平衡状态时，取出其中的一个力，则这个力必与剩下的（N-1）个力的合力等大反向。
若采用正交分解法求平衡问题，则其平衡条件为：FX合=0，FY合=0；
四、平衡的临界问题
由某种物理现象变化为另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，临界状态可以理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态。平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要发生变化的状态。往往利用“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
五、平衡的极值问题
极值是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出遭到的最大值或最小值。可分为简单极值问题和条件极值问题。
规律方法
1、用平衡条件解题的常用方法
(1）力的三角形法
物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零．利用三角形法，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力．
（2）力的合成法
物体受三个力作用而平衡时，其中任意两个力的合力必跟第三个力等大反向，可利用力的平行四边形定则，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解．
（3）正交分解法
将各个力分别分解到X轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件，多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡．值得注意的是，对x、y方向选择时，尽可能使落在x、y轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力．
【例1】以下四种情况中，物体处于平衡状态的有（ D ）
A、竖直上抛物体达最高点时
B、做匀速圆周运动的物体
C、单摆摆球通过平衡位置时
D、弹簧振子通过平衡位置时
解析：竖直上抛物体在到达最高点时a=g，匀速园周运动物体的加速度a=v2/R，单摆摆球通过平衡位置时，平切向加速度a切=0，法向加速度a法=v2/R，合加速度a=v2/R，弹簧振子通过平衡位置时，a=0，故D正确
思考：单摆摆到最高点时是否是平衡状态？
例．用轻绳将重球m悬挂在竖直光滑墙上如图所示，求：小球对绳的拉力和球对墙的压力．
ks5u.com
例.如图轻绳AB中间拴一节点O,下挂一质量为m的物体,成图示角度,求:TOA和TOB等于多
少?
2、动态平衡问题的分析
在有关物体平衡问题中，存在着大量的动态平衡问题，所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态．解动态问题的关键是抓住不变量，依据不变的量来确定其他量的变化规律，常用的分析方法有解析法和图解法．
解析法的基本程序是：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变物理量与自变物理量的一般函数关系式，然后根据自变量的变化情况及变化区间确定应变物理量的变化情况
图解法的基本程序是：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化（一般为某一角度），在同一图中作出物体在若干状态下的平衡力图（力的平行四边形或力的三角形），再由动态的力的平行四边形或三角形的边的长度变及角度变化确某些力的大小及方向的变化情况
【例】固定在水平面上光滑半球，半径为R，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球，置于半球面的A点，另一端绕过A点，现缓慢地将小球从A点拉到B点，则此过程中，小球对半球的压力大小FN、细线的拉力大小F的变化情况是：（）
A、FN变大，F不变；B、FN变小，F变大；C、FN不变，F变小；D、FN变大，F变小；
解析：（1）三角形法
小球缓慢运动合力为零，由于重力G、半球的弹力FN、绳的拉力F的方向分别沿竖直方向、半径方向、绳收缩的方向，所以由G、FN、F组成的力的三角形与长度三角形△AOC相似，所以有：
，FN=，F=
拉动过程中，AC变小，OC与R不变，所以FN不变，F变小。
（2）正交分解法
水平方向上：FNsinα－Fsinβ=0………①
竖直方向上：FNcosα－Fcosβ－G=0…………②
由以上二式得F=Gsinα/sin（α＋β）
设A到OC间的距离为X，则sinα=，sinβ=，△AOC中由正弦定理得： =，解得sinβ=，将sinα、sinβ、sin（α＋β）代入表达式得F=，FN=，可见在L减小时，R与d＋R均不变，FN不变，F变小。
3、三力汇交原理与三角形相似法
物体在共面的三个力作用下处于平衡时，若三个力不平行，则三个力必共点．这就是三力汇交原理
【例4】重力为G的均质杆一端放在粗糙的水平面上，另一端系在一条水平绳上，杆与水平面成α角，如图所示，已知水平绳中的张力大小为F1，求地面对杆下端的作用力大小和方向？
解析：地面对杆的作用力是地面对杆的弹力和擦力的两个力的合力，这样杆共受三个彼此不平行的作用力，根据三力汇交原理知三力必为共点力，如图所示，设F与水平方向夹角为β，根据平衡条件有：Fsinβ=G，Fcosβ=F1，解得F=，β=arctan
当物体处于平衡状态时，由力的合成分解作出平行四边形，由三角形相似可列式求解．
【例5】如图所示，在竖直墙上用绝缘物固定一带电体A，在其正上方的点O用长为L的绝缘丝悬挂一带电小球B，由于带电体间的相互排斥而使丝线成B角．后由于漏电使B减小，问此过程中丝线对带电小球的拉力的变化情况．
解析：由受力分析可知，带电小球B受三个力的作用：重力G；线的拉力T及A的静电斥力F，受力分析如图，这三个力组成的力三角形与△ABO相似，可得。因OA、OB及G都是恒量，所以在此变化过程中丝线对小球的拉力T保持不变。
解决临界问题的方法
临界问题：某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生的转折状态为临界状态。临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题，解决这类问题一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
在研究物体的平衡时，经常遇到求物理量的取值范围问题，这样涉及到平衡问题的临界问题，解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。
【例6】如图所示，一圆柱形容器上部圆筒较细，下部的圆筒较粗且足够长，容器的底是一可沿圆筒无摩擦移动的活塞S，用细绳通过测力计F将活塞提着．容器中盛水．开始时，水面与上圆筒的开口处在同一水平面，在提着活塞的同时使活塞缓慢地下移．在这一过程中，测力计的读数（A）
A、先变小，然后保持不变
B、一直保持不变
C、先变大，然后变小
D、先变小，然后变大
解析：取活塞为研究对象，活塞受到重力G、大气对下底面的压力F1、水对活塞上表面的压力F2、
绳的拉力T，如图所示，其中F1=P0S，F2=（P0＋hρg）S，h为水柱高度，由力的平衡条件得：T=G＋F2－F1=G＋hρgS。
当活塞缓慢下移时，g减小，T减小。当液面下移到粗圆筒上部时，活塞再下移，液柱的高度不变，T不变。
平衡问题中极值的求法
极值：是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出现的最大值或最小值。中学物理的极值问题可分为简单极值问题和条件，区分的依据就是是否受附加条件限制。若受附加条件阴制，则为条件极值。
【例7】如图所示，物体放在水平面上，与水平面间的动摩擦因数为μ,现施一与水平面成α角且斜向下的力F推物体，问：α角至少为多大时，无论F为多大均不能推动物体（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）？
解析：设物体的质量为m，静摩擦力为f，现取刚好达到最大静摩擦力时分析，如图由平衡条件有Fcosα=μ（mg＋Fsinα），F=
该式中出现三个未知量，条件缺少，但注意到题中“无论F多大………”，可设想：当F→∞时，必有右边分式的分母→0，即cosα－μsinα=0，得α=arctan（），因此α≥arctan（）即为所求。
【例8】如图所示，A、B两个带有同种电荷的小球，质量都是m，用两根长为L的细丝线将这两球吊于O点，当把球A固定点O的正下方时，球B偏转的角度α=600，求A、B两球带电总量的最小值？
解析：设A、B两球所带电荷量分别为qA、qB，由题意知，球B偏离竖直方向600后处于平衡状态，以B为研究对象，球B受三个力的作用：重力mg、线的拉力T、A对B的库仑力F，受力分析如图，由平衡条件得：F=mg
由库仑定律得F=，联立得qAqB==常数，由上述推论可知，当qA=qB时，qA＋qB有最小值，即（qA＋qB）min=2
试题展示
平衡问题的情境与处理方法
基础知识 一、情境
l．一般平衡：物质受到若干个力而处于平衡状态．已知其中一些力需求某个力，构建已知力与未知力之间的关系。
2特殊平衡
（1）动态平衡：物体受到的若干个力中某些力在不断变化，但物体的平衡状态不变．这类问题一般需把握动（如角度）与不动（如重力）的因素及其影响关系．
（2）临界平衡：当物体的平衡状态即将被破坏而尚未破坏时对应的平衡．这类问题需把握一些特殊词语，如“恰”、“最大”、“最小”、“至多”等隐含的物理意义和条件。
二、方法
受力分析的对象有时是单个物体，有时是连接体．对单个物体，如果受三个力或可简化为三个力的可以通过平行四边形定则（或三角形定则）应用数学方法（如：拉密定理则、相似三角形、三角函数或方程、菱形转化为直角三角形等）来处理．如果单个物体受到三个以上的力一般可利用物理方法（如正交分解）来处理．对连接体问题可借助整体法和隔离法转化为单个物体来分析处理．由于整体法和隔离法相互弥补（整体法不需考虑内力，但也求不出内力，可利用隔离法求内力）．所以连接体问题一般既用到整体法也需用到隔离法．如果已知内力一般先隔离再整体，如果内力未知一般完整体再隔离．这种思想不仅适用于平衡状态下的连接体问题，也适用于有加速度的连接体问题．
1．数学方法：
（1）拉密定理：物体受三个共点力作用而处于平衡状态时，各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦值成正比．如图所示，其表达式为：==
（2）相似三角形：在对力利用平行四边形（或三角形）定则运算的过程中，如果三角形与已知边长（或边长比）的几何三角形相似，则可利用相似三角形对应边成比例的性质求解
（3）函数式或方程：
如图所示，有：F3＝。
如果两个分力大小相等。则所作力的平行四边形是一个菱形，而菱形的的条对角线相互垂直，可将菱形分成四个全等的直角三角形，利用直角三角形的特殊角建立函数式。
2、物理方法（数学运算）：
正交分解法可建立两个方程来求解两个未知力．用它来处理平平问题的基本思路是：
（1）确定研究对象进行受力分析并建立受力图；
（2）建立直角坐标系．让尽可能多的力落在坐标轴上；
（3）按先分解（把所有力分解在x轴．Y轴上）再合成的思想，根据Fx=0和Fy=0列方程组求解，并进行合理化讨论
规律方法
【例1】如图所示，不计重力的细绳AB与竖直墙的夹角为600，轻杆BC与竖直墙夹角为300，杆可绕C自由转动，若细绳承受的最大拉力为200 N．轻杆能承受的最大压力为300 N．则在B点最多能挂多重的物体？
解析：以节点B为研穷对象．受力如图所示．三力作用的平衡，首先利用拉密定理找出各力间的制约关系。
==
则有FBC=FAB，若以FBC=300N为基准，则可求得FAB=100N<200N，可满足题设要求。
若以FAB=200N为基准，则可求得FBC=200N>300N，不满足题设要求。
故应以FBC=300N为基准代入，则可得G==200N，即B点最多能挂346。4N的物体。
【例5】如图所示，竖直杆CB顶端有光滑轻质滑轮，轻质杆OA自重不计，可绕O点自由转动，OA＝OB。当绳缓慢放下，使∠AOB由00逐渐增大到1800的过程中（不包括00和1800）下列说法正确的是（ ）
A．绳上的拉力先逐渐增大后逐渐减小
B．杆上的压力先逐渐减小后逐渐增大
C．绳上的拉力越来越大，但不超过2G
D．杆上的压力大小始终等于G
解析：可先作出A结点处受力分析图如图所示，由于A结点静止，故有杆支持力N和绳拉力T的合力G/和G大小相等而平衡，这时必ΔOAB∽ΔANG/。由于OA、 OB长度始终和物重G相等，而绳的拉力T是越来越大，又由于AB始终小于2OB，所以绳的拉力T也始终小于2G，故本题正确的答案是CD。
【例2】某物体悬浮在氢氧化钡溶液中，如图所示，现逐渐滴加与氢氧化钡溶液密度相同的稀硫酸，则物体的运动情况是 （ ）
A．上浮
B．仍然悬浮
C．下沉
D．先下沉后上浮
【解】氢氧化钡溶液和稀硫酸密度相同，若两者不发生化学反应，则滴加稀硫酸后溶液的密度不变，物体仍悬浮在它们的混合溶液中浮力也不变，但Ba（OH）2能与稀硫酸发生如下反应：Ba（OH）2＋H2SO4=BaSO4↓＋2H2O，反应生成沉淀从溶液中析出，溶液中Ba（OH）2的浓度减小，所以溶液的密度减小，则物体所受的浮力就减小，而物体所受到的重力不变，因此物体受到重力大于浮力。
故本题答案为C。
答案：C
【例3】观察蚂蚁倒吊在桌子上爬行时，如图所示，突对它重重的吹一口气，它闰即被吹走了，如果吹气的强度是逐渐增大的，发现它感受到风时立即停止爬行，这时吹气加强到最大，它也不会被吹走，此外，还能观察到蚂蚁倒吊在光滑的玻璃板下面爬行，试用力学原理分析蚂蚁脚部可能有什么特殊结构？如何解释观察到的现象？
解析：本题是物理知识与生物知识的综合，阅读题目时要抓住几处关键，如当蚂蚁感受到风而有准备时很难吹动，能吊在光滑的玻璃板下等，这说明蚂蚁跟所在表面之间的作用力突然增大，这种作用力甚至可以平衡自身的重力。
特别是吊在玻璃板下，更能引发我们对问题的思考。其一可考虑大气压的作用，其二应考虑到玻璃是不是绝对的光滑无隙？于是可提出两种可能的答案。（1）蚂蚁的足部可能有“吸盘”，当蚂蚁的足部与桌子（玻璃）之间排除空气之后，由于大气压的作用使足部紧紧地压在桌子上（或玻璃上），风吹时有足够的摩擦力平衡风对蚂蚁的作用力；倒吊在玻璃板下时，压力可以平衡其重力。（2）玻璃的表面并不是绝对的平滑无隙，蚂蚁的脚部可能有极细小的“钩子”，能钩在玻璃表面极细微的缝隙中。
【例4】如图，斜面的倾角为θ，物块A、B的质量分别为ml和m2，A与斜面间的动摩擦因数为μ，滑轮的摩擦作用不计。试问：m2与ml的大小在满足什么条件,系统处于平衡状态.
【分析与解】物块 A在斜面上除受重力（G=m1g）、绳子的拉力（T）和斜面的支持力（N）外，还受斜面的静摩擦力（f）作用。
由于系统保持静止，滑轮的摩擦作用不计，所以绳子的拉力T=m2g。
①当T＝m2g=m1gsinθ时，A不受斜面的摩擦力作用，f=0
②当T=m2g＞m1gsinθ时，且有沿斜面向上运动的趋势，A将受沿斜面向下的静摩擦力作用，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，大小为μm1gsinθ，这样，要使系统静止，必须满足的条件是：m2g≤m1gsinθ＋μm1gsinθ
③当T=m2g＜m1gsinθ时，A有下滑的趋势，A将受到沿斜面向上的静摩擦力作用，要使系统静止，必须满足的条件是：m2g≥m1gsinθ－μm1gsinθ
综上所述，要使系统静止，A、B的质量关系应满足的条件是：
ml（sinθ＋μcosθ）≥m≥m1（sinθ－μcosθ）
【例6】质量为m的物体停放在粗糙斜面和竖直挡板之间，如图所示，求物体所受的静摩擦力f。
解析：由于斜面的粗糙程度不确定，停放物体与竖直档板间的接触挤压程度不确定，从而会形成静摩擦力答案的不确定和多样性。（1）若物体与档板间无弹力，则重力和斜面的支持力N1的合力将使物体产生下滑的趋势，因此斜面对物体产生沿面向上的静摩擦f，且f=mgsinθ，如图a所示。（2）若物体与档板间有很小的压力N2，且0< N2cosθ
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