第四章第一节 曲线运动 运动合成与分解
基础知识一、曲线运动：
1．曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线；曲线运动的速度方向是该点的切线方向；曲线运动速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动．
2．物体做一般曲线运动的条件：运动物体所受的合外力（或加速度）的方向跟它的速度方向不在同一直线上（即合外力或加速度与速度的方向成一个不等于零或π的夹角）．
说明：做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一侧弯曲．根据曲线运动的轨迹，可以判断出物体所受合外力的大致方向．
当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大，当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小。
3.重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向都不变的曲线运动，叫匀变曲线运动，如平抛运动；另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动．
例1．如图5-1-1所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为－F．在此力作用下，物体以后
A．物体不可能沿曲线Ba运动
B．物体不可能沿直线Bb运动
C．物体不可能沿曲线Bc运动
D．物体不可能沿原曲线返回到A点
练习1．关于曲线运动性质的说法正确的是( )
A．变速运动一定是曲线运动
B．曲线运动一定是变速运动
C．曲线运动一定是变加速运动
D．曲线运动一定是加速度不变的匀变速运动
练习2.质点在一平面内沿曲线由P运动到Q,如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力,下列图象可能正确的是（ ）
答案 D
二、运动的合成：
1．由已知的分运动求其合运动叫运动的合成．这既可能是一个实际问题，即确有一个物体同时参与几个分运动而存在合运动；又可能是一种思维方法，即可以把一个较为复杂的实际运动看成是几个基本的运动合成的，通过对简单分运动的处理，来得到对于复杂运动所需的结果．
2．描述运动的物理量如位移、速度、加速度都是矢量，运动的合成应遵循矢量运算的法则：
（1）如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，矢量运算简化为代数运算．
（2）如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则．
3．合运动的性质取决于分运动的情况:
①两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动．
②一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动是匀变速运动，二者共线时，为匀变速直线运动，二者不共线时，为匀变速曲线运动。
③两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，当合运动的初速度与合运动的加速度共线时为匀变速直线运动，当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动。
三、运动的分解
1．已知合运动求分运动叫运动的分解．
2．运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则．
3．将速度正交分解为 vx＝vcosα和vy=vsinα是常用的处理方法．
4．速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解，常用的思想方法有两种：一种思想方法是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的办法；另一种思想方法是先确定合运动的速度方向（物体的实际运动方向就是合速度的方向），然后分析由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．
四、合运动与分运动的特征：
（1）等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等．
（2)独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响．
(3)等效性:合运动和分运动是等效替代关系，不能并存；
(4)矢量性:加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。
例2.（09·广东理科基础·6）船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2。为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为 （ ）
解析：根据运动的合成与分解的知识,可知要使船垂直达到对岸即要船的合速度指向对岸。根据平行四边行定则，C能。
规律方法 1、运动的合成与分解的应用
合运动与分运动的关系：满足等时性与独立性．即各个分运动是独立进行的，不受其他运动的影响，合运动和各个分运动经历的时间相等，讨论某一运动过程的时间，往往可直接分析某一分运动得出．
例3．如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以 (SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做（ ）
(A)速度大小不变的曲线运动． (B)速度大小增加的曲线运动．
(C)加速度大小方向均不变的曲线运动．
(D)加速度大小方向均变化的曲线运动． 答案：B C
2、绳子与物体连接时速度分解
把物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相同求解
例4．如图所示，卡车通过定滑轮牵引河中的小船，小船一直沿水面运动.在某一时刻卡车的速度为v，绳AO段与水平面夹角为θ，不计摩擦和轮的质量，则此时小船的水平速度多大？
【正解】小船的运动为平动，而绳AO上各点的运动是平动加转动.以连接船上的A点为研究对象，如图所示，A的平动速度为v，转动速度为vn，合速度vA即与船的平动速度相同.则由图可以看出vA＝
练习3．如图5－1－14示，在河岸上用细绳拉船，为了使船匀速靠岸，拉绳的速度必须是( )
A．加速拉
B．减速拉
C．匀速拉
D．先加速后减速拉
例5．如图所示的装置中，物体A、B的质量mA＞mB。最初，滑轮两侧的轻绳都处于竖直方向，若用水平力F向右拉A，起动后，使B匀速上升。设水平地面对A的摩擦力为f,绳对A的拉力为T，则力f,T及A所受合力F合的大小（）
A.F合≠O,f减小，T增大；B.F合≠O,f增大，T不变；
C. F合＝O,f增大，T减小；D. F合＝O,f减小，T增大；
分析:显然此题不能整体分析。B物体匀速上升为平衡状态，所受的绳拉力T恒等于自身的重力，保持不变。A物体水平运动，其速度可分解为沿绳长方向的速度（大小时刻等于B物体的速度）和垂直于绳长的速度（与B物体的速度无关），写出A物体速度与B物体速度的关系式，可以判断是否匀速，从而判断合力是否为零。
解：隔离B物体：T=mBg，保持不变。隔离A物体：受力分析如图所示，设绳与水平线夹角为θ，则：
①随A物体右移，θ变小，由竖直平衡可以判断支持力变大。由f=μN，得f变大。
②将A物体水平运动分解如图所示，有vB＝vAcosθ，故随θ变小，cosθ变大，VB不变，VA变小，A物体速度时时改变，必有F合≠O。
所得结论为：F合≠O，f变大，T不变。B项正确。
3、小船渡河问题分析
船在有一定流速的河中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(即在静水中船的运动)，船的实际运动是这两种运动的合运动。
例6.如图所示，河水的流速为4m/s，一条船要从河的南岸A点沿与河岸成30°角的直线航行到北岸下游某处，则船的开行速度（相对于水的速度）最小为 ( A )
A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s
练习4．如图1所示，直线AB和CD表示彼此平行且笔直的河岸。若河水不流动，小船船头垂直河岸由A点匀速驶向对岸，小船的运动轨迹为直线P。若河水以稳定的速度沿平行河岸方向流动，且整个河中水的流速处处相等，现仍保持小船船头垂直河岸由A点匀速驶向对岸，则小船实际运动的轨迹可能是图中的（ ）
A．直线P B．曲线Q
C．直线R D．曲线 S
例7．一条宽度为L的河，水流速度为vs，已知船在静水中的航速为vc，那么，（1）怎样渡河时间最短？（2）若vs＜vc怎样渡河位移最小？（3）若vs＞vc，怎样渡河船漂下的距离最短？
分析与解：（1）如图2甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1=Vcsinθ,渡河所需时间为：.
可以看出：L、Vc一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=900时，sinθ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，.
(2)如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：Vccosθ─Vs=0.
所以θ=arccosVs/Vc,因为0≤cosθ≤1,所以只有在Vc>Vs时，船才有可能垂直于河岸横渡。
（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头Vc与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs.
船漂的最短距离为：. 此时渡河的最短位移为：.
4、曲线运动条件的应用
做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指的一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出合外力的大致方向．若合外力为变力，则为变加速运动；若合外力为恒力，则为匀变速运动；
例8．质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F1时，物体可能做( )
A．匀加速直线运动； B．匀减速直线运动；
C．匀变速曲线运动； D．变加速曲线运动。
分析与解：
当撤去F1时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F1，方向与F1方向相反。
若物体原来静止，物体一定做与F1相反方向的匀加速直线运动。
若物体原来做匀速运动，若F1与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A、B正确。
若F1与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故C正确，D错误。正确答案为：A、B、C。
例9．图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹,a,b是轨迹上的两点．若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（ ）
A.带电粒子所带电荷的符号 B.带电粒子在a,b两点的受力方向
C.带电粒子在a,b两点的速度何处较大
D.带电粒子在a,b两点的加速度方向如何
解析：由图中的曲线可以看出，不管带电粒子由a→b还是由b→a，力的方向必然指向左下方，从而得到正确答案：BCD
例10.（09·广东理科基础·16）如图所示，一带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹。M和N是轨迹上的两点，其中M点在轨迹的最右点。不计重力，下列表述正确的是（ C ）
A．粒子在M点的速率最大
B．粒子所受电场力沿电场方向
C．粒子在电场中的加速度不变
D．粒子在电场中的电势能始终在增加
解析：根据做曲线运动物体的受力特点合力指向轨迹的凹一侧,再结合电场力的特点可知粒子带负电，即受到的电场力方向与电场线方向相反，B错；从N到M电场力做负功，减速，电势能在增加，当达到M点后电场力做正功加速电势能在减小则在M点的速度最小A错，D错；在整个过程中只受电场力，根据牛顿第二定律加速度不变。
[来源:Z+xx+k.Com]
第二节 平抛物体的运动
基础知识 一、平抛物体的运动
1、平抛运动：将物体沿水平方向抛出，其运动为平抛运动．
（1）运动特点：a、只受重力；b、初速度与重力垂直．尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动
（2）平抛运动的处理方法：平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．
（3）平抛运动的规律：以物体的出发点为原点，沿水平和竖直方向建成立坐标。
ax=0……① ay=0……④
水平方向 vx=v0 ……② 竖直方向 vy=gt……⑤
x=v0t……③ y=?gt2……⑥
①平抛物体在时间t内的位移S可由③⑥两式推得 s=
②位移的方向与水平方向的夹角α由下式决定tgα=y/x=?gt2/v0t=gt/2v0
③平抛物体经时间t时的瞬时速度vt可由②⑤两式推得vt=，
④速度vt的方向与水平方向的夹角β可由下式决定tgβ=vy/vx=gt/v0
⑤平抛物体的轨迹方程可由③⑥两式通过消去时间t而推得：y=·x2， 可见，平抛物体运动的轨迹是一条抛物线．
⑥运动时间由高度决定，与v0无关，所以t=，水平距离x＝v0t＝v0
⑦Δt时间内速度改变量相等，即△v＝gΔt，ΔV方向是竖直向下的．说明平抛运动是匀变速曲线运动．
2、处理平抛物体的运动时应注意：
水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另一个分运动 的存在而受到影响——即垂直不相干关系；
水平方向和竖直方向的两个分运动具有等时性，运动时间由高度决定，与v0无关；
末速度和水平方向的夹角不等于位移和水平方向的夹角，由上证明可知tgβ=2tgα
例1．（05·江苏·13）A、B两小球同时从距地面高为h=15 m处的同一点抛出,初速度大小均为v0=10 m/s,A球直向下抛出,B球水平抛出,空气阻力不计,重力加速度取g=10 m/s2.求：
（1）A球经多长时间落地？（2）A球落地时,A、B两球间的距离是多少？
答案 (1)1 s (2)
解析（1）A球做竖直下抛运动h=v0t+gt2
将h=15 m,v0=10 m/s代入可得t=1 s
(2)B球做平抛运动x=v0t,y=gt2
将v0=10 m/s、t=1 s代入,可得
x=10 m,y=5 m
此时A球与B球的距离L=
将x、y、h数据代入得L=10m
例2.(06·重庆理综·14)如图所示,在同一竖直面内,小球a、b从高度不同的两点,分别以初速度va和vb沿水平方向抛出,经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点.若不计空气阻力,下列关系式正确的是 ( )
A.ta>tb,vatb,va>vb
C.tavb
答案 A
解析 两小球做平抛运动,由图知ha>hb,则ta>tb;又水平位移相同,根据s =vt,可知va2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V0，才能使列车通过圆形轨道？
分析与解：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为m，则有：
要使列车能通过圆形轨道，则必有V>0,解得。
例7．如图所示，细绳长为L，一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量为+q的小球，置于电场强度为E的匀强电场中，欲使小球在竖直平面内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？
解析：小球至最高点时能以L为半径做圆周运动，所需向心力最小时绳子无拉力，则Mg＋Eq=mv02/L，得，故小球在竖直平面内能够做圆周运动时，小球至最高点的速度
拓展：该题中物理最高点与几何最高点是重合的，物理最高点是在竖直平面内做圆周运动的物体在该点势能最大，动能最小，若把该题中的电场变为水平向右．如图，当金属球在环内做圆周运动时，则物理最高点为A点，物理最低点为B点，而几何最高点为C点，几何最低点为D点（这种情况下，两个最高点已不再重合，两个最低点也不再重合）．
A处速度的最小值（临界速度）应满足：
思考：物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少？
三.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围
例8．如图，直杆上0102两点间距为L，细线O1A长为，O2A长为L,A端小球质量为m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动？
解析:当ω较小时线O1A拉直，O2A松弛，而当ω太大时O2A拉直, O1A将松弛．
设O2A刚好拉直,但FO2A仍为零时角速度为ω1，此时∠O2O1A =300,对小球：
在竖直方向FO1A·cos300＝mg……①
在水平方向：FO1A·sin300＝……②
由①②得
设O1A由拉紧转到刚被拉直,FO1A变为零时角速度为ω2
对小球：FO2A·cos600=mg……③
FO2A·sin600=mω22L·sin600………④
由③④得,故
第五节 万有引力定律及其应用
基础知识 一.开普勒运动定律
(1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．
(2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．
二.万有引力定律
(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．
(2)公式：F＝G,其中，称为为有引力恒量。
(3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r是两球心间的距离．
注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：G在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．
三、万有引力和重力
重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m2g＝G, g=GM/r2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/（r+h）2，比较得gh=（）2·g
在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条直线上，则有
F＝F向＋m2g，
所以m2g=F一F向＝G－m2Rω自2
因地球自转角速度很小G? m2Rω自2,所以m2g= G
假设地球自转加快，即ω自变大，由m2g＝G－m2Rω自2知物体的重力将变小，当G=m2Rω自2时，m2g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝，比现在地球自转角速度要大得多.
四、讨论天体运动规律的基本思路
基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。解决人造地球卫星有关问题关键是，把万有引力定律与匀速圆周运动规律有机地结合起来，即：
说明：近地卫星受到的万有引力完全用于提供人造地球卫星绕地球圆周运动的向心力，因此所有人造地球卫星的轨道圆心都必定在地心．按匀速圆周运动处理．在卫星环绕地球近似做匀速圆周运动的过程中，卫星内物体处于完全失重状态．
规律方法
1． 万有引力与重力
例1．一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
A． B． C． D．
2.天体表面重力加速度问题
设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的万有引力，所以有mg＝G，g＝
同样可以推得在天体表面上方h处重力加速度mg′＝G，g′＝
重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多种因素影响，随纬度的增大而增大，随高度的增大而减小.
例2． 火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为( B )
A.0.2g ??? ??????B.0.4g ?????? ???C.2.5g ?????? ???D.5g
【解析】考查万有引力定律.星球表面重力等于万有引力，即G＝mg，故火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值＝0.4，故B正确.
3． 估算天体的质量和密度
把卫星(或行星)绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星(或行星)的引力作为它绕中心天体的向心力.根据G＝man＝m得M＝.因此，只需测出卫星(或行星)的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M.又由ρ＝，可以求出中心天体的密度.
例3． 登月飞行器关闭发动机后在离月球表面h的空中沿圆形轨道绕月球匀速飞行，周期是T，已知月球半径是R ，万有引力常量为G，计算月球的平均密度。
练习1。 已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，试估算地球的平均密度？？如果有一颗卫星，绕地球做匀速圆周运动，距地球表面的高度为h，则该卫星绕地球运动的周期是多少？
4、万有引力定律的基本应用
例4．某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a＝?g随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径R＝6.4×103km,g取10m/s2）
解析：设此时火箭上升到离地球表面的高度为h，火箭上物体受到的支持力为N,物体受到的重力为mg/，据牛顿第二定律．N－mg/=ma……①
在h高处mg/＝……② 在地球表面处mg=……③
把②③代入①得 ∴=1.92×104 km.
说明:在本问题中，牢记基本思路,一是万有引力提供向心力，二是重力约等于万有引力．
例5。有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T。求该气球此时离海平面的高度h。把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。
5、双星问题
基本方法：因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，所以具有周期、频率和角速度均相同；而轨道半径、线速度不同的特点。
例5．在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。
解析：因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，所以具有周期、频率和角速度均相同；而轨道半径、线速度不同的特点。
（1）根据万有引力定律
可得：
（2）同理，还有
所以，周期为
（3）根据线速度公式，
第六节 专题：人造天体的运动
基础知识 一、卫星的绕行角速度、周期与高度的关系
（1）由，得，∴当h↑，v↓
（2）由G=mω2（r+h），得ω=，∴当h↑，ω↓
（3）由G，得T= ∴当h↑，T↑
二、三种宇宙速度：
第一宇宙速度（环绕速度）：v1=7.9km/s，人造地球卫星的最小发射速度。也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度。
第二宇宙速度（脱离速度）：v2=11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
三、第一宇宙速度的计算．
方法一：地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力．
高度(km)
0
300
500
1000
3000
5000
35900（同步轨道）
38000（月球轨道）
环绕速度(km/s)
7.91
7 .73
7. 62
7.36
6.53
5.29
2.77
0.97
周期（分）
84.4
90 .5
94.5
105ks5u.com
150
210
23小时56分
28天
G=m，v=。当h↑，v↓，所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的最大速度。其大小为r＞＞h（地面附近）时，=7．9×103m/s
方法二：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力．
．当r＞＞h时．gh≈g 所以v1＝=7．9×103m/s
第一宇宙速度是在地面附近h＜＜r，卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度．
四、两种最常见的卫星
⑴近地卫星。
近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，由式②可得其线速度大小为v1=7.9×103m/s；由式③可得其周期为T=5.06×103s=84min。由②、③式可知，它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。
神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km，线速度约7.6km/s，周期约90min。
⑵同步卫星。
“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期，即T=24h。由式G=m= m（r+h）可得，同步卫星离地面高度为 h＝－r＝3·58×107 m即其轨道半径是唯一确定的离地面的高度h=3.6×104km，而且该轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致即由西向东。如果仅与地球自转周期相同而不定点于赤道上空，该卫星就不能与地面保持相对静止。因为卫星轨道所在平面必然和地球绕日公转轨道平面重合，同步卫星的线速度 v==3.07×103m/s
通讯卫星可以实现全球的电视转播，从图可知，如果能发射三颗相对地面静止的卫星（即同步卫星）并相互联网，即可覆盖全球的每个角落。由于通讯卫星都必须位于赤道上空3.6×107m处，各卫星之间又不能相距太近，所以，通讯卫星的总数是有限的。设想在赤道所在平面内，以地球中心为圆心隔50放置一颗通讯卫星，全球通讯卫星的总数应为72个。
五.了解不同高度的卫星飞行速度及周期的数据
卫星飞行速度及周期仅由距地高度决定与质量无关。
设卫星距地面高度为h，地球半径为R，地球质量为M，卫星飞行速度为v，则由万有引力充当向心力可得v=[GM/（R+h）]?。知道了卫星距离地面的高度，就可确定卫星飞行时的速度大小。
不同高度处人造地球卫星的环绕速度及周期见下表：
六、卫星的超重和失重
（1）卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体超重．
(2)卫星进入轨道后正常运转时，卫星上物体完全失重．
七、人造天体在运动过程中的能量关系
当人造天体具有较大的动能时，它将上升到较高的轨道运动，而在较高轨道上运动的人造天体却具有较小的动能。反之，如果人造天体在运动中动能减小，它的轨道半径将减小，在这一过程中，因引力对其做正功，故导致其动能将增大。
同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。其中卫星的动能为，由于重力加速度g随高度增大而减小，所以重力势能不能再用Ek=mgh计算，而要用到公式（以无穷远处引力势能为零，M为地球质量，m为卫星质量，r为卫星轨道半径。由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功，所以系统势能减小，为负。）因此机械能为。同样质量的卫星，轨道半径越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困难。
八、相关材料
I．人造卫星做圆轨道和椭圆轨道运行的讨论
当火箭与卫星分离时，设卫星的速度为v（此即为发射速度），卫星距离地心为r,并设此时速度与万有引力垂直（通过地面控制可以实现）如图所示，则，若卫星以v绕地球做圆周运动，则所需要的向心力为：F向＝
①当F万=F向时，卫星将做圆周运动．若此时刚好是离地面最近的轨道，则可求出此时的发射速度v＝7.9 km/s.
②当F万＜F向时，卫星将做离心运动，做椭圆运动，远离地球时引力做负功，卫星动能转化为引力势能．（神州五号即属于此种情况）
③当F万＞F向时，卫星在引力作用下，向地心做椭圆运动，若此时发生在最近轨道，则v＜7.9 km/s，卫星将坠人大气层烧毁。
因此：星箭分离时的速度是决定卫星运行轨道的主要条件．
2.人造卫星如何变轨
卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术．
以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：如图所示，在轨道A点，万有引力FA＞，要使卫星改做圆周运动，必须满足FA＝和FA⊥v，在远点已满足了FA⊥v的条件，所以只需增大速度，让速度增大到＝FA，这个任务由卫星自带的推进器完成．
这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道，只要在椭圆轨道的远点由推进器加速，当速度达到沿圆轨道所需的速度，人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨道．“神州五号”就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的．
规律方法1、处理人造天体问题的基本思路
由于运行中的人造天体，万有引力全部提供人造地球卫星绕地球做圆周运动的向心力，因此所有的人造地球卫星的轨道圆心都在地心．解关于人造卫星问题的基本思路：①视为匀速圆周运动处理；②万有引力充当向心力；③根据已知条件选择向心加速度的表达式便于计算；④利用代换式gR2=GM推导化简运算过程。
注意：①人造卫星的轨道半径与它的高度不同．②离地面不同高度，重力加速度不同，
例l．设人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星离地面越高，则卫星的（ ）
A．速度越大 B．角速度越大 C．向心加速度越大；D．周期越长
解析：（1）v与 r的关系： G= m；即（r越大v越小）．所以答案A错误．（2）ω与r的关系：G=mω2r ，，即（r越大，ω越小）．所以答案B错误．（3）a与r的关系：G=ma，a=GM/r2，即a∝1/r2。卫星绕轨道半径 r运转时的向心加速度与该处的重力加速度g/相等，所以 g/＝a， g/∝1/r2，（r越大．加速度越小）．所以答案C错误．（4）T与r的关系：G=mr ，T=2π即T∝（ r越大，T越大）．所以答案D正确．
因 GM＝g0R02，所以 T＝2π，当 r=Ro时，T＝Tmin＝2π 答案：D
说明：可以看出，绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的轨道半径r、线速度大小v和周期T是一一对应的，其中一个量确定后，另外两个量也就唯一确定了。离地面越高的人造卫星，线速度越小而周期越大。
例2．设地球的半径为R0，质量为m的卫星在距地面R0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g0，则以下说法错误的是（ ）
A.卫星的线速度为； B.卫星的角速度为；
C.卫星的加速度为； D.卫星的周期；
解析：在地面：;在高空：；
g=?g0；此重力加速度即为卫星的向心加速度故C选项错误．
卫星的线速度故A选项正确．
周期故D选项正确
角速度故B选项正确
2、人造天体的发射与变轨
例3．一组太空人乘坐大空穿梭机，去修理位于离地球表面 6．0×105m的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H．机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭推动火箭，而望远镜则在穿梭机前方数公里处，如图所示，设G为引力常数，而ME为地球质量．（已知：地球半径为 6．4×106m）
（1）在穿梭机内，一质量为70kg的太空人的视重是多少？
（2）①计算轨道上的重力加速度的值．
②计算穿梭机在轨道上的速率和周期．
（3）①证明穿梭机的总机械能跟成正比，r为它的轨道半径．
［注：若力 F与位移r之间有如下的关系：F=K／r2（其中K为常数），则当r由∞处变为0，F做功的大小可用以下规律进行计算： W＝ K／r（设∞处的势能为0）］．
②穿梭机须首先螺旋进入半径较小的轨道，才有较大的角速度以超前望远镜．用上题的结果判所穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减少其原有速率，解释你的答案．
【解析】：（1）在穿梭机内，一质量为70kg的太空人的视重为0．
（2）①因为mg/＝G［MEm/（R＋h）2］，所以 g/=GME／（R＋h）2，其中R＝6．4×106m， h＝6．0×105m．g/=8．2m／s2
②地球对穿梭机的万有引力提供向心力．
有：GMEm/（R＋h）2＝mv2/（R＋h）=m（2π/T）2（R十h），
所以v==7．6×103m／s
T＝＝5．8×103s．
（3）①因为万有引力 F ＝GMEm/r2满足F＝k（1／r2）（其中 k＝GMEm为常数），由“注”可知，当穿梭机与地球之间的距离由∞处变到r时，万有引力对其所做的功w＝k/r=GMEm/r，又因为：万有引力对穿梭机做多少功，其重力势能就减小多少，若设∞处的势能为零，则穿梭机在半径为r的轨道上时。其重力势能为E=一GMEm/r，则穿梭机此时的总机械能E总=EP十Ek=一GMEm/r十?mv2．代入（2）中的v值，得：
E总=一GMEm/r十?m（GME/r）＝一（GMEm/2）（1／r）
故穿梭机的总机械能跟一1／r成正比，得证．
因为E总跟一1／r成正比，故进入低轨道时总机械能要减小，故必须减速，使总机械能减小，当速度减小后，在引力场的作用下进行低轨道运行，因引力做正功，动能增加，低轨道环绕速度vr/大于原轨道环绕速度vr，又因为v＝ωr，vr/＞vr，r/＜r，则ωr/＞ωr，从而获得较大的角速度，则可能赶上哈勃太空望远镜．
例4． 如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4。试比较v1、v2、v3、v4的大小，并用小于号将它们排列起来______。
解析：根据题意有v2>v1、v4>v3,而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由式②知v1>v4,故结论为v2>v1>v4>v3。卫星沿椭圆轨道由P→Q运行时，由机械能守恒可知，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v2>v3。]
卫星的回收实际上是卫星发射过程的逆过程。
例5．在空中飞行了十多年的“和平号”航天站已失去动力，由于受大气阻力作用其绕地球转动半径将逐渐减小，最后在大气层中坠毁，在此过程中下列说法正确的是（ ）
A．航天站的速度将加大 B．航天站绕地球旋转的周期加大
C．航天站的向心加速度加大 D．航天站的角速度将增大
【解析】由GMm/r2=mv2/r=mrω2=mr（2π/T）2=ma
得v=， ω＝． T＝2π
可知r减小，v增大，ω增大，T减小，a增大．A、C、 D正确．
例6．“神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了108圈。运行中需要进行多次“轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是
Ａ.动能、重力势能和机械能都逐渐减小
Ｂ.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变
Ｃ.重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变
Ｄ.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小
[由于阻力很小，轨道高度的变化很慢，卫星运行的每一圈仍可认为是匀速圆周运动。由于摩擦阻力做负功所以卫星的机械能减小；由于重力做正功所以重力势能减小；由式②可知卫星动能将增大(这也说明重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的总功为正)。答案选D。]
例7．飞船发射过程是一个加速过程，在加速过程中，宇航员处于__超重状态____状态。人们把这种状态下的重力与静止在地球表面时的重力的比值称为耐受力值，用K表示，则K=__ K=1+a/g _____（设宇航员的质量为m，加速上升加速度为a），选择宇般员时，要求他在此状态的耐受值为4≤K≤12，说明飞船发射时的加速度值的变化范围 __3g≤a≤11g _______.
例8．飞船在发射升空时，如果宇航员是站立的，则他的心血管系统受到何种影响？你认为宇航员采取什么资势为好？
答：由于在发射升空过程中，人处于超衙状态下，头部血压降低，足部血压升高，使大量血液淤积在下肢静脉中，严重影响静脉血的回流，使心脏输出血量不足，造成头部供血不足，轻则引起视觉障碍，重则可能导致意识丧失，所以宇航员采用平躺姿势为好。
例9．航天飞船进入距地表3R地的轨道绕地球做圆周运动时，质量为64kg的宇航员处于_完全失重___状态，他的视重为__0___N。实际所受力__40___N。
例10．若飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站（ A ）
A可以从较低的轨道上加速 B可以从较高的轨道上加速
C可以从与空间站同一轨道上加速 D无论在什么轨道上，只要加速都行
例11．设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示．为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．求该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量，才能返回轨道舱？
已知：返回过程中需克服火星引力做功W＝mgR（1一R/r），返回舱与人的总质量为m，火星表面重力加速度为g，火星半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r；不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响．
解析：物体m在火星M表面附近时，有＝mg解得GM＝gR2
设轨道舱的质量为m0，速度大小为v，则
返回舱与轨道舱对接时，应具有的动能为Ek=?mv2
联立解得
依题意知返回舱返回过程需克服引力做功W＝mgR（1－R/r）
返回舱返回时至少需要能量为W总=Ek + W=
说明：这是一道关于天体运动的信息题．题中有多个对象，解题时要分清研究对象，选好规律．
例12．2003年10月15日上午9时，我国在酒泉卫星发射中心成功发射“神舟五号”载人航天飞船，这是我国首次实现载人航天飞行，也是全世界第三个具有发射载人航天器能力的国家．“神舟五号”飞船长8. 86 m ;质量为7990 kg.飞船在达到预定的椭圆轨道后运行的轨道倾角为42. 4 0，近地点高度200 km，远地点高度约350 km.实行变轨后，进入离地约350 km的圆轨道上运行，飞船运动14圈后，于16日凌晨在内蒙古成功着陆．（地球半径Ro=-6.4×106 m，地球表面重力加速度g=10 m/s2，··＝5.48，计算结果保留三位有效数字）求：
（1)飞船变轨后在轨道上正常运行时的速度．
（2)飞船在圆轨道上运行的周期．
解析：设飞船的质量为m，地球质量为M.飞船在圆轨道上运行时：
对于地面上质量为m0的物体有：
由上两式得飞船的运行速度为：
飞船在圆轨道上运行时的周期为：
说明：天体运动的问题，要紧扣两条主线：万有引力提供向心力，重力等于万有引力．
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