第2课时 磁场对运动电荷的作用
考纲解读 1.会计算洛伦兹力的大小，并能判断其方向.2.掌握带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动，并能解决确定圆心、半径、运动轨迹、周期、运动时间等相关问题．
1．[对洛伦兹力的理解]带电荷量为＋q的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是( )
A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同
B．如果把＋q改为－q，且速度反向，大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变
C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直
D．粒子在只受到洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变
答案 B
解析 因为洛伦兹力的大小不但与粒子速度大小有关，而且与粒子速度的方向有关，如当粒子速度与磁场垂直时F＝qvB，当粒子速度与磁场平行时F＝0.又由于洛伦兹力的方向永远与粒子的速度方向垂直，因而速度方向不同时，洛伦兹力的方向也不同，所以A选项错．因为＋q改为－q且速度反向，由左手定则可知洛伦兹力方向不变，再由F＝qvB知大小也不变，所以B选项正确．因为电荷进入磁场时的速度方向可以与磁场方向成任意夹角，所以C选项错．因为洛伦兹力总与速度方向垂直，因此，洛伦兹力不做功，粒子动能不变，但洛伦兹力可改变粒子的运动方向，使粒子速度的方向不断改变，所以D选项错．
2．[洛伦兹力的大小计算和方向判定]如图1所示，匀强磁场的磁感应强度均为B，带电粒子的速率均为v，带电荷量均为q.试求出图中带电粒子所受洛伦兹力的大小，并指出洛伦兹力的方向．
图1
答案 甲：因v⊥B，所以F＝qvB，方向与v垂直斜向上
乙：v与B的夹角为30°，F＝qvBsin 30°＝qvB，方向垂直纸面向里
丙：由于v与B平行，所以电荷不受洛伦兹力，F＝0
丁：v与B垂直，F＝qvB，方向与v垂直斜向上
3．[对带电粒子运动轨迹的确定]试画出图2中几种情况下带电粒子的运动轨迹．
图2
答案
考点梳理
一、洛伦兹力
1．洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法
左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)．
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动．
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
4．[带电粒子在有界匀强磁场中运动的分析]如图3所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从A点以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并从B点射出，若∠AOB＝120°，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( )
图3
A. B.
C. D.
答案 D
解析 画出带电粒子进、出磁场时速度方向的垂线交于O′点，O′
点即为粒子做圆周运动轨迹的圆心，如图所示．连接O′O，设轨迹
半径为R，由几何关系可知带电粒子在磁场中运动的轨迹半径R＝rtan
60°＝r.因为∠AOB＝120°，故∠AO′B＝60°，运动时间t＝T＝
×＝，D正确．
5．[带电粒子在匀强磁场中有关问题分析]如图4所示，质量为m，电
荷量为＋q的带电粒子，以不同的初速度两次从O点垂直于磁感线和磁场边界向上射入匀
强磁场，在洛伦兹力作用下分别从M、N两点射出磁场，测得OM∶ON＝3∶4，则下列
说法中错误的是 ( )
图4
A．两次带电粒子在磁场中经历的时间之比为3∶4
B．两次带电粒子在磁场中运动的路程长度之比为3∶4
C．两次带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力大小之比为3∶4
D．两次带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力大小之比为4∶3
答案 AD
解析 设OM＝2r1，ON＝2r2，故＝＝，路程长度之比＝＝，B正确；由r＝知＝＝，故＝＝，C正确，D错误；由于T＝，则＝＝1，A错．
规律总结
1．带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图5所示)
图5
(2)平行边界(存在临界条件，如图6所示)
图6
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图7所示)
图7
2．确定粒子运动的圆心，找出轨迹对应的圆心角，再求运动时间.
考点一 洛伦兹力和电场力的比较
1．洛伦兹力方向的特点
(1)洛伦兹力的方向与电荷运动的方向和磁场方向都垂直，即洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面．
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．
2．洛伦兹力与电场力的比较
内容
对应
力项目
洛伦兹力
电场力
性质
磁场对在其中运动的电荷的作用力
电场对放入其中电荷的作用力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电场中的电荷一定受到电场力作用
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与场
方向的关系
一定是F⊥B，F⊥v，与电荷电性无关
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功
力为零时
场的情况
F为零，B不一定为零
F为零，E一定为零
作用效果
只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小
既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向
深化拓展 ①洛伦兹力对电荷不做功；安培力对通电导线可做正功，可做负功，也可 不做功．②只有运动电荷才会受到洛伦兹力，静止电荷在磁场中所受洛伦兹力一定为零．
例1 在如图8所示宽度范围内，用场强为E的匀强电场可使初速度是v0的某种正粒子偏转θ角．在同样宽度范围内，若改用方向垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，使该粒子穿过该区域，并使偏转角也为θ(不计粒子的重力)，问：
图8
(1)匀强磁场的磁感应强度是多大？
(2)粒子穿过电场和磁场的时间之比是多大？
解析 (1)设宽度为L.当只有电场存在时，带电粒子做类平抛运动
水平方向上：L＝v0t，竖直方向上：vy＝at＝
tan θ＝＝
当只有磁场存在时，带电粒子做匀速圆周运动，半径为R，如图所示，由几何关系可知
sin θ＝，R＝
联立解得B＝.
(2)粒子在电场中运动时间
t1＝＝
在磁场中运动时间
t2＝·T＝·＝
所以＝·＝.
答案 (1) (2)
技巧点拨
电荷在匀强电场和匀强磁场中的运动规律不同．运动电荷穿出有界电场的时间与其入射速度的方向和大小有关，而穿出有界磁场的时间则与电荷在磁场中的运动周期有关．在解题过程中灵活运用运动的合成与分解和几何关系是解题关键．
突破训练1
在如图9所示的空间中，存在电场强度为E的匀强电场，同时存在沿x轴负方向、磁感应强度为B的匀强磁场(图中均未画出)．一质子(电荷量为e)在该空间恰沿y轴正方向以速度v匀速运动．据此可以判断出 ( )
图9
A．质子所受电场力大小等于eE，运动中电势能减小；沿z轴正方向电势升高
B．质子所受电场力大小等于eE，运动中电势能增大；沿z轴正方向电势降低
C．质子所受电场力大小等于evB，运动中电势能不变；沿z轴正方向电势升高
D．质子所受电场力大小等于evB，运动中电势能不变；沿z轴正方向电势降低
答案 C
解析 解答本题时利用左手定则判断洛伦兹力的方向，根据平衡条件判断电场力方向及电场方向，注意运用电场力做功与电势能变化的关系，及沿电场线方向电势降低．匀强磁场的磁感应强度B的方向沿x轴负方向，质子沿y轴正方向运动，由左手定则可确定洛伦兹力沿z轴正方向；由于质子受电场力和洛伦兹力作用沿y轴正方向做匀速直线运动，故电场力eE等于洛伦兹力evB，方向沿z轴负方向，即电场方向沿z轴负方向，质子在运动过程中电场力不做功，电势能不变，沿z轴正方向即电场反方向电势升高，故C正确，A、B、D错误．
考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．圆心的确定
(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图10甲所示，图中P为入射点，M为出射点)．
图10
(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)．
2．半径的确定
可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．
3．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时 间表示为：t＝T(或t＝)．
例2 (2012·安徽理综·19)如图11所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角．现将带电粒子的速度变为，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为 ( )
图11
A.Δt B．2Δt C.Δt D．3Δt
审题指导 1.粒子做圆周运动的圆心是O点吗？怎样找？
2．要求粒子在磁场中运动的时间，就要先找圆周运动轨迹对应的圆心角，再利用周期公式求解．
解析 设带电粒子以速度v射入磁场做圆周运动，圆心为O1，半径为r1，则根据qvB ＝，得r1＝，根据几何关系得＝tan ，且φ1＝60°.
当带电粒子以v的速度射入时，轨道半径r2＝＝＝r1，圆心在O2，则＝tan .即tan ＝＝＝3tan ＝.
故＝60°，φ2＝120°；带电粒子在磁场中运动的时间t＝T，所以＝＝，即Δt2＝2Δt1＝2Δt，故选项B正确，选项A、C、D错误．
答案 B
技巧点拨
找圆心、求半径、确定转过的圆心角的大小是解决这类问题的前提，确定轨道半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，建立运动时间t和转过的圆心角α之间的关系是解题的关键．
例3 如图12所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：
图12
(1)两板间电压的最大值Um；
(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度s；
(3)粒子在磁场中运动的最长时间tm.
解析 (1)M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，所以圆心在C点，如图所示，CH＝QC＝L
故半径r1＝L
又因为qv1B＝m
且qUm＝mv
所以Um＝.
(2)设粒子在磁场中运动的轨迹与CD板相切于K点，此轨迹的半径为r2，设圆心为A，在△AKC中：
sin 45°＝
解得r2＝(－1)L
即＝r2＝(－1)L
所以CD板上可能被粒子打中的区域的长度s＝，即
s＝r1－r2＝(2－)L.
(3)打在QE间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半个周期，所以tm＝＝.
答案 (1) (2)(2－)L (3)
规律总结
1．带电体在磁场中的临界问题的处理方法
带电体进入有界磁场区域，一般存在临界问题，处理的方法是寻找临界状态，画出临界轨迹：
(1)带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零．
(2)射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切．
2．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法
(1)画轨迹：即画出运动轨迹，并确定圆心，用几何方法求半径．
(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系．
(3)用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．
突破训练2 (2011·浙江·20)利用如图13所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子．图
中板MN上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分
别为2d和d的缝，两缝近端相距为L.一群质量为m、电荷量为q，具有不同速度的粒子
从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场，对于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说
法正确的是 ( )
图13
A．粒子带正电
B．射出粒子的最大速度为
C．保持d和L不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
D．保持d和B不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
答案 BC
解析 利用左手定则可判定只有负电荷进入磁场时才向右偏，故选项A错误．利用qvB＝知r＝，能射出的粒子满足≤r≤，因此对应射出粒子的最大速度vmax＝＝，选项B正确．vmin＝＝，Δv＝vmax－vmin＝，由此式可判定选项C正确，选项D错误．
突破训练3 (2012·山西太原市高三模拟试题(二))如图14所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度B＝0.10 T，磁场区域半径r＝ m，左侧区圆心为O1，磁场向里，右侧区圆心为O2，磁场向外，两区域切点为C.今有质量m＝3.2×10－26 kg、带电荷量q＝1.6×10－19 C的某种离子，从左侧区边缘的A点以速度v＝1×106 m/s正对O1的方向垂直射入磁场，它将穿越C点后再从右侧区穿出．求：
图14
(1)该离子通过两磁场区域所用的时间；
(2)离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离多大？(侧移距离指在垂直初速度方向上移动的距离)
答案 (1)4.19×10－6 s (2)2 m
解析 (1)
离子在磁场中做匀速圆周运动，在左、右两区域的运动轨迹是对
称的，如图所示，设轨迹半径为R，圆周运动的周期为T
由牛顿第二定律有
qvB＝m ①
又T＝ ②
联立①②得：R＝ ③
T＝ ④
将已知数据代入③得R＝2 m ⑤
由轨迹图知tan θ＝＝，即θ＝
则全段轨迹运动时间t＝2×T＝ ⑥
联立④⑥并代入已知数据得
t＝ s＝4.19×10－6 s
(2)在图中过O2向AO1作垂线，联立轨迹对称关系知
侧移距离d＝2rsin 2θ
将已知数据代入得
d＝2×sin m＝2 m
39．带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题
1．临界问题的分析思路
临界问题的分析对象是临界状态，临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点．
临界问题的一般解题模式为：
(1)找出临界状态及临界条件；
(2)总结临界点的规律；
(3)解出临界量；
(4)分析临界量列出公式．
2．极值问题的分析思路
所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助于几何图形进行直观分析．
例4 如图15所示，在第二象限和第四象限的正方形区域内分别存在着匀强磁场，磁感应强度均为B，方向相反，且都垂直于xOy平面．一电子由P(－d，d)点，沿x轴正方向射入磁场区域Ⅰ.(电子质量为m，电荷量为e，sin 53°＝)
图15
(1)求电子能从第三象限射出的入射速度的范围．
(2)若电子从(0，)位置射出，求电子在磁场Ⅰ中运动的时间t.
(3)求第(2)问中电子离开磁场Ⅱ时的位置坐标．
解析 (1)电子能从第三象限射出的临界轨迹如图甲所示．电子偏转 半径范围为rN，所以vM>vN，选项B错误；M、N运动过程中，F洛始终与v垂直，F洛不做功，选项C错误；由T＝知M、N两粒子做匀速圆周运动的周期相等且在磁场中的运动时间均为，选项D错误．
2．(2012·江苏单科·9)如图18所示，MN是磁感应强度为B的匀强磁场的边界．一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场．若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A点．下列说法正确的有 ( )
图18
A．若粒子落在A点的左侧，其速度一定小于v0
B．若粒子落在A点的右侧，其速度一定大于v0
C．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能小于v0－
D．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能大于v0＋
答案 BC
解析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，qv0B＝，所以r＝，当带电粒子从不同方向由O点以速度v0进入匀强磁场时，其轨迹是半径为r的圆，轨迹与边界的交点位置最远是离O点2r的距离，即OA＝2r，落在A点的粒子从O点垂直入射，其他粒子则均落在A点左侧，若落在A点右侧则必须有更大的速度，选项B正确．若粒子速度虽然比v0大，但进入磁场时与磁场边界夹角过大或过小，粒子仍有可能落在A点左侧，选项A、D错误．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，设其半径为r′，则r′≥，代入r＝，r′＝，解得v≥v0－，选项C正确．
3. (2011·海南单科·10)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图19中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力．下列说法正确的是 ( )
图19
A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同
B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同
C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同
D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
答案 BD
解析 带电粒子进入磁场后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据qvB＝得轨道半径r＝，粒子的比荷相同，故不同速度的粒子在磁场中运动的轨道半径不同，轨迹不同；相同速度的粒子，轨道半径相同，轨迹相同，故B正确．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝＝，故所有带电粒子的运动周期均相同，若带电粒子都从磁场左边界出磁场，则这些粒子在磁场中的运动时间是相同的，但不同速度的粒子，其运动轨迹不同，故A、C错误．根据＝得θ＝t，所以运动时间t越长，运动轨迹所对的圆心角θ越大，故D正确．
4．(2012·海南单科·16)图20(a)所示的xOy平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy平面(纸面)垂直，磁感应强度B随时间t变化的周期为T，变化图线如图(b)所示．当B为＋B0时，磁感应强度方向指向纸外．在坐标原点O有一带正电的粒子P，其电荷量与质量之比恰好等于.不计重力．设P在某时刻t0以某一初速度沿y轴正向从O点开始运动，将它经过时间T到达的点记为A.
(a) (b)
图20
(1)若t0＝0，则直线OA与x轴的夹角是多少？
(2)若t0＝，则直线OA与x轴的夹角是多少？
答案 (1)0 (2)
解析 (1)设粒子P的质量、电荷量与初速度分别为m、q与v，粒子P在洛伦兹力作用下，在xOy平面内做圆周运动，分别用R与T′表示圆周的半径和运动周期，则有
qvB0＝m()2R ①
v＝ ②
由①②式与已知条件得T′＝T
粒子P在t＝0到t＝时间内，沿顺时针方向运动半个圆周，到达x
轴上B点，此时磁场方向反转；继而，在t＝到t＝T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达x轴上A点，如图所示．OA与x轴的夹角θ＝0
(2)粒子P在t0＝时刻开始运动，在t＝到t＝时间内，沿顺时针方向运动个圆周，到达C点，此时磁场方向反转；继而，在t＝到t＝T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达B点，此时磁场方向再次反转；在t＝T到t＝时间内，沿顺时针方向运动个圆周，到达A点，如图所示．由几何关系可知，A点在y轴上，即OA与x轴的夹角θ＝
模拟题组
5．如图21所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a、b、c、d四点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间ta、tb、tc、td，其大小关系是 ( )
图21
A．tatd>tc D．ta＝tb>tc>td
答案 D
解析 由洛伦兹力与速度的方向关系可知，从a、b两点射出的电子都完成了半个周期的运动，即ta＝tb＝；从c点和d点射出的电子在磁场中转过的圆心角都小于180°，且θd<θc，故tdv丙>v乙，选项A、B错误；三个小球在运动过程中，只有重力做功，即它们的机械能守恒，选项D正确；甲球在最高点处的动能最大，因为势能相等，所以甲球的机械能最大，甲球的释放位置最高，选项C正确．
3. 带电质点在匀强磁场中运动，某时刻速度方向如图2所示，所受的重力和洛伦兹力的合力恰好与速度方向相反，不计阻力，则在此后的一小段时间内，带电质点将 ( )
图2
A．可能做直线运动
B．可能做匀减速运动
C．一定做曲线运动
D．可能做匀速圆周运动
答案 C
解析 带电质点在运动过程中，重力做功，速度大小和方向发生变化，洛伦兹力的大小和方向也随之发生变化，故带电质点不可能做直线运动，也不可能做匀减速运动和匀速圆周运动，C正确．
4．如图3所示，一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处在磁感应强度为B的匀强磁场中(不计空气阻力)．现给圆环向右的初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的速度图象可能是图中的 ( )
图3
答案 ACD
解析 由左手定则判定圆环受到的洛伦兹力向上，若qvB＝mg，则弹力为零，摩擦力为零，圆环做匀速直线运动，选项A正确；若qvB>mg，则杆对圆环有弹力，摩擦力不为零，圆环做减速运动，当速度减小到使洛伦兹力与重力平衡时，将做匀速直线运动，选项D正确；若qvB
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