第3课时　圆周运动
考纲解读
1.掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系.2.理解向心力公式并能应用；了解物体做离心运动的条件．

1．[匀速圆周运动的条件和性质]质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是 (　　) A．速度的大小和方向都改变 B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动 D．向心加速度大小不变，方向时刻改变 答案　CD 解析　匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A错；它的加速度大小不变，但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B错，D对；由匀速圆周运动的条件可知，C对． 2．[线速度和角速度的关系]甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则 (　　) A．ω1>ω2，v1>v2 B．ω1<ω2，v1mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动． 图2
5．[轻杆模型问题]如图3所示，长为r的细杆一端固定一个质量为m的 小球，使之绕另一端O在竖直面内做圆周运动，小球运动到最高点时 的速度v＝，在这点时 (　　) A．小球对杆的拉力是 图3 B．小球对杆的压力是 C．小球对杆的拉力是mg D．小球对杆的压力是mg 答案　B 解析　设在最高点，小球受杆的支持力FN，方向向上，则由牛顿第二定律得：mg－FN＝m，得出FN＝mg，故杆对小球的支持力为mg，由牛顿第三定律知，小球对杆的压力为mg，B正确． 6．[轻绳模型问题]如图4所示，半径为R的光滑圆形轨道竖直固定 放置，小球m在圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径R不同的 圆形轨道，小球m通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互 作用力．下列说法中正确的是 (　　) A．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大 图4 B．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越小 C．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大 D．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小 答案　AD 解析　小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力，则在最高点mg＝，即v0＝，选项A正确而B错误；由动能定理得，小球在最低点的速度为v＝，则最低点时的角速度ω＝＝ ，选项D正确而C错误．
方法提炼
1．轻绳模型：在最高点的临界状态为只受重力，即mg＝m，则v＝，v<时，物体不能到达最高点． 2．轻杆模型：由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是：在最高点的速度v≥0.
考点一　圆周运动中的运动学分析 1．对公式v＝ωr的理解 当r一定时，v与ω成正比． 当ω一定时，v与r成正比． 当v一定时，ω与r成反比． 2．对a＝＝ω2r＝ωv的理解 在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比． 特别提醒　在讨论v、ω、r之间的关系时，应运用控制变量法． 
例1
　如图5所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上的三个点． 当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正 确的是 (　　) A．a、b和c三点的线速度大小相等 B．b、c两点的线速度始终相同 C．b、c两点的角速度比a点的大 图5 D．b、c两点的加速度比a点的大 解析　当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，a、b和c三点的角速度相同，a半径小，线速度要比b、c的小，A、C错；b、c两点的线速度大小始终相同，但方向不相同，B错；由a＝ω2r可得b、c两点的加速度比a点的大，D对． 答案　D 　　　　　1.高中阶段所接触的传动主要有：(1)皮带传动(线速度大小 相等)；(2)同轴传动(角速度相等)；(3)齿轮传动(线速度大小相等)； (4)摩擦传动(线速度大小相等)． 2．传动装置的特点：(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角 速度相同；(2)皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打 滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等．
突破训练1
　如图6所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r， A是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r， 小轮的半径为2r，B点在小轮上，到小轮中心的距离为r， C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在转动过 程中，皮带不打滑，则 (　　) 图6 A．A点与B点的线速度大小相等 B．A点与B点的角速度大小相等 C．A点与C点的线速度大小相等 D．A点与D点的向心加速度大小相等 答案　CD 考点二　圆周运动中的动力学分析 1．向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 2．向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置． (2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
例2
　在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H＝50 m的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m＝50 kg的被困人员B，直升机A和被困人员B以v0＝10 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，如图7甲所示．某时刻开始收悬索将人吊起，在5 s时间内，A、B之间的竖直距离以l＝50－t2(单位：m)的规律变化，取g＝10 m/s2.
图7 (1)求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小； (2)求在5 s末被困人员B的速度大小及位移大小； (3)直升机在t＝5 s时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员B在空中做圆周运动，如图乙所示．此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，求被困人员B做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B的拉力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 审题指导　解答本题时应注意以下两点： (1)根据A、B间距l的表达式分析被困人员的运动规律； (2)确定被困人员做圆周运动的圆心、半径及向心力． 解析　(1)被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移y＝H－l＝50－(50－t2)＝t2，由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度a＝2 m/s2的匀加速直线运动 由牛顿第二定律可得F－mg＝ma 解得悬索的拉力F＝m(g＋a)＝600 N. (2)被困人员5 s末在竖直方向上的速度为vy＝at＝10 m/s 合速度v＝＝10 m/s 竖直方向的位移y＝at2＝25 m 水平方向的位移x＝v0t＝50 m 合位移s＝＝25 m. (3)t＝5 s时悬索的长度 l′＝50－y＝25 m，旋转半径r＝l′sin 37° 由mgtan 37°＝m 解得v′＝ m/s 此时被困人员B的受力情况如图所示，由图可知 FTcos 37°＝mg 解得FT＝＝625 N. 答案　(1)600 N　(2)10 m/s　25 m (3) m/s　625 N 解决圆周运动问题的主要步骤 　　　 1.审清题意，确定研究对象； 2．分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、 圆心、半径等； 3．分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源； 4．根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
突破训练2
　如图8所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′ 转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点 的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求： (1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小； 图8 (2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度． 答案　(1)　　(2) 解析　(1)物块静止时，对物块进行受力分析如图所示，设筒壁与水平面的夹角为θ. 由平衡条件有 Ff＝mgsin θ FN＝mgcos θ 由图中几何关系有 cos θ＝，sin θ＝ 故有Ff＝，FN＝ (2)分析此时物块受力如图所示， 由牛顿第二定律有mgtan θ＝mrω2. 其中tan θ＝，r＝. 可得ω＝.
19．用极限法分析圆周运动的临界问题
1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点． 2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态． 3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界状态．
例3
　如图9所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l的细线悬挂一质量 为m的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向， 母线与轴线之间的夹角为30?.小球以速度v绕圆锥体轴线在水平面 内做匀速圆周运动． 图9 (1)当v1＝ 时，求线对小球的拉力； (2)当v2＝ 时，求线对小球的拉力． 解析　如图甲所示，小球在锥面上运动，当支持力FN＝0时，小球只受重力mg和线的拉力FT的作用，其合力F应沿水平面指向轴线，由几何关系知 F＝mgtan 30° ① 又F＝m＝m ② 由①②两式解得v0＝ 
(1)因为v1v0，所以小球与锥面脱离并不接触，设此时线与竖直方向的夹角为α，小球受力如图丙所示．则 FTsin α＝ ⑤ FTcos α－mg＝0 ⑥ 由⑤⑥两式解得FT＝2mg 答案　(1)1.03mg　(2)2mg
突破训练3
　如图10所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6 kg的物体 A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质 量为m＝0.3 kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2 m．若A与转 盘间的最大静摩擦力为Ff＝2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中 心O旋转的角速度ω的取值范围．(取g＝10 m/s2) 图10 答案　2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s 解析　要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心趋势，静摩擦力背离圆心O.设角速度ω的最大值为ω1，最小值为ω2 对于B：FT＝mg 对于A：FT＋Ff＝Mrω 或FT－Ff＝Mrω 代入数据解得ω1＝6.5 rad/s，ω2＝2.9 rad/s 所以2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s. 20．竖直平面内圆周运动中的绳模型与杆模型问题
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”． 2．绳、杆模型涉及的临界问题 绳模型 杆模型  常见类型 
均是没有支撑的小球 
均是有支撑的小球  过最高点的临界条件 由mg＝m得 v临＝ 由小球恰能做圆周运动得v临＝0  讨论分析 (1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大  
例4
　如图11所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上， 木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定 在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球 C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时 速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通 图11 过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力)，瞬时速度必须满足 (　　) A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 解析　要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg＝m，由最低点到最高点由机械能守恒得mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为；为了不会使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，球对环的压力为2mg，满足3mg＝m，从最低点到最高点由机械能守恒得：mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为. 答案　CD
突破训练4
　一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心， 使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图12所示，则下列 说法正确的是 (　　) A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是 图12 C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案　A 解析　因轻杆既可以提供拉力又可以提供支持力，所以在最高点杆所受弹力可以为零，A对；在最高点弹力也可以与重力等大反向，小球最小速度为零，B错；随着速度增大，杆对球的作用力可以增大也可以减小，C、D错.

高考题组
1．(2012·广东·17)图13是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有 (　　)
图13 A．N小于滑块重力 B．N大于滑块重力 C．N越大表明h越大 D．N越大表明h越小 答案　BC 解析　设滑块质量为m，在B点所受支持力为FN，圆弧半径为R，所需向心力为F.滑块从高度h处由静止下滑至B点过程中，由机械能守恒定律有mv＝mgh，在B点滑块所需向心力由合外力提供，得FN－mg＝m，由牛顿第三定律知，传感器示数N等于FN，解得N＝mg＋，由此式知N>mg且h越大，N越大．选项B、C正确． 2．(2011·安徽·17)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图14甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是 (　　)
图14 A. B. C. D. 答案　C 解析　物体在最高点时速度沿水平方向，曲率圆的P点可看做该点对应的竖直平面内圆周运动的最高点，由牛顿第二定律及圆周运动规律知：mg＝，解得ρ＝＝＝. 3．(2012·福建理综·20)如图15所示，置于圆形水平转台边缘的小物块 随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始 做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝ 0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m．设物块所受的 图15 最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2.求： (1)物块做平抛运动的初速度大小v0； (2)物块与转台间的动摩擦因数μ. 答案　(1)1 m/s　(2)0.2 解析　(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有 H＝gt2 ① 在水平方向上有 s＝v0t ② 由①②式解得v0＝s  代入数据得v0＝1 m/s (2)物块离开转台时，由最大静摩擦力提供向心力，有 fm＝m ③ fm＝μN＝μmg ④ 由③④式得μ＝ 代入数据得μ＝0.2
模拟题组
4．如图16所示，螺旋形光滑轨道竖直放置，P、Q为对应的轨道 最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能 过轨道最高点P，则下列说法中正确的是 (　　) A．轨道对小球不做功，小球通过P点的角速度小于通过Q点的角 图16 速度 B．轨道对小球做正功，小球通过P点的线速度大于通过Q点的线速度 C．小球通过P点时的向心加速度大于通过Q点时的向心加速度 D．小球通过P点时对轨道的压力大于通过Q点时对轨道的压力 答案　A 解析　由机械能守恒可知，P点的速度小于Q点的速度，即vPrQ.由于轨道弹力方向始终与小球的速度垂直，所以轨道对小球不做功；由v＝rω知，ω＝，由于vPrQ，所以ωP<ωQ，A对，B错；向心加速度an＝，可知anP

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