第4课时　万有引力与航天 考纲解读 1.掌握万有引力定律的内容、公式及其应用.2.理解环绕速度的含义并会求解.3.了解第二和第三宇宙速度．   1．[对万有引力定律的理解]关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是 (　　) A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的 答案　C 解析　万有引力公式F＝G，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C. 2．[万有引力引力场与电场的类比]由于万有引力定律和库仑定律都满足平方反比定律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比，例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E＝，在引力场中可以用一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱．设地球质量为M，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G，如果一个质量为m的物体位于距离地心2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是 (　　) A．G B．G C．G D. 答案　AD 解析　由万有引力定律知F＝G，引力场的强弱＝，A对；在地球表面附近有G＝mg，所以＝，D对． 3．[第一宇宙速度的求解]一宇航员在某星球上以速度v0竖直上抛一物体，经t秒落回原处，已知该星球半径为R，那么该星球的第一宇宙速度是 (　　) A. B.  C.  D.  答案　B 解析　设该星球表面重力加速度为g，由竖直上抛知识知，t＝，所以g＝；由牛顿第二定律得：mg＝m，所以v＝＝ . 4．[应用万有引力定律分析卫星运动问题]天宫一号是中国第一个目标飞行器，已于2011年9月29日21时16分3秒在酒泉卫星发射中心发射成功，它的发射标志着中国迈入中国航天“三步走”战略的第二步第二阶段.21时25分，天宫一号进入近地点约200公里，远地点约346.9公里，轨道倾角为42.75度，周期为5 382秒的运行轨道．由此可知(　　) A．天宫一号在该轨道上的运行周期比同步卫星的运行周期短 B．天宫一号在该轨道上任意一点的运行速率比同步卫星的运行速率小 C．天宫一号在该轨道上任意一点的运行加速度比同步卫星的运行加速度小 D．天宫一号在该轨道上远地点距地面的高度比同步卫星轨道距地面的高度小 答案　AD 解析　由题意知天宫一号的轨道半径比同步卫星要小，由＝知v＝ ，即v天>v同．由＝mr知T＝ ，知T天a同．故选项A、D正确． 考点梳理 一、万有引力定律及其应用 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比． 2．表达式：F＝，G为引力常量：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 3．适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点． (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离． 二、环绕速度 1．第一宇宙速度又叫环绕速度． 推导过程为：由mg＝＝得： v1＝ ＝＝7.9 km/s. 2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． 3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度． 特别提醒　1.两种周期——自转周期和公转周期的不同 2．两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度 3．两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同 三、第二宇宙速度和第三宇宙速度 1．第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度． 2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．  5．[卫星变轨问题的分析方法]“天宫一号”被长征二号火箭发射后， 准确进入预定轨道，如图1所示，“天宫一号”在轨道1上运行 4周后，在Q点开启发动机短时间加速，关闭发动机后，“天宫 一号”沿椭圆轨道2运行到达P点，开启发动机再次加速，进入 轨道3绕地球做圆周运动，“天宫一号”在图示轨道1、2、3上 图1 正常运行时，下列说法正确的是 (　　) A．“天宫一号”在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．“天宫一号”在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度 C．“天宫一号”在轨道1上经过Q点的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度 D．“天宫一号”在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度 答案　D 解析　根据v＝ ，可知v3m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时增大． 卫星的发射和回收就是利用这一原理． 例4　北京航天飞行控制中心对“嫦娥二号”卫星实施多次变轨 控制并获得成功．首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的， 紧随其后进行的3次变轨均在近地点实施．“嫦娥二号”卫 星的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近 图4 地点的轨道高度．同样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨．图4为“嫦娥二号”某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是 (　　) A．“嫦娥二号”在轨道1的A点处应点火加速 B．“嫦娥二号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度大 C．“嫦娥二号”在轨道1的A点处的加速度比在轨道2的A点处的加速度大 D．“嫦娥二号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大 解析　卫星要由轨道1变轨为轨道2需在A处做离心运动，应加速使其做圆周运动所需向心力m大于地球所能提供的万有引力G，故A项正确，B项错误；由G＝ma可知，卫星在不同轨道同一点处的加速度大小相等，C项错误；卫星由轨道1变轨到轨道2，反冲发动机的推力对卫星做正功，卫星的机械能增加，所以卫星在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能小，D项错误． 答案　A 　　　　处理卫星变轨问题的思路和方法 1．要增大卫星的轨道半径，必须加速； 2．当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大． 突破训练4　2011年9月29日，中国首个空间实验室“天宫一号” 在酒泉卫星发射中心发射升空，由长征运载火箭将飞船送入近 地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，B点距离地面高度为h， 地球的中心位于椭圆的一个焦点上．“天宫一号”飞行几周后 进行变轨，进入预定圆轨道，如图5所示．已知“天宫一号” 图5 在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，万有引力常量为G，地球半径为R.则下列说法正确的是 (　　) A．“天宫一号”在椭圆轨道的B点的向心加速度大于在预定圆轨道的B点的向心加速度 B．“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中，机械能守恒 C．“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中，动能先减小后增大 D．由题中给出的信息可以计算出地球的质量M＝ 答案　BD 解析　在B点，由＝ma知，无论在哪个轨道上的B点，其向心加速度相同，A项错；“天宫一号”在椭圆轨道上运行时，其机械能守恒，B项对；“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B运行中，动能一直减小，C项错；对“天宫一号”在预定圆轨道上运行，有G＝m(R＋h)，而T＝，故M＝，D项对． 考点四　宇宙速度的理解与计算 1．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度． 2．第一宇宙速度的求法： (1)＝m，所以v1＝ . (2)mg＝，所以v1＝. 3．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度． 例5　2012年6月16日，“神舟九号”宇宙飞船搭载3名航天员飞天，并于6月18日14∶00与“天宫一号”成功对接．在发射时，“神舟九号”宇宙飞船首先要发射到离地面很近的圆轨道，然后经过多次变轨后，最终与在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球飞行的“天宫一号”完成对接，之后，整体保持在距地面高度仍为h的圆形轨道上绕地球继续运行．已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g.求： (1)地球的第一宇宙速度； (2)“神舟九号”宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度与对接后整体的运行速度之比． 解析　(1)设地球的第一宇宙速度为v，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：G＝m 在地面附近G＝mg 联立解得v＝. (2)根据题意可知，设“神舟九号”宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度为v1 v1＝v＝ 对接后，整体的运行速度为v2，根据万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m，解得v2＝ ，所以v1∶v2＝ . 答案　(1)　(2)  突破训练5　宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t落到月球表面(设月球半径为R)．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设在月球表面处的重力加速度为g 则h＝gt2，所以g＝ 飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动时有 mg＝m 所以v＝＝ ＝，选项B正确.  21．双星系统模型问题的分析与计算  1．双星系统模型的特点： (1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等． (2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等； (3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即r1＋r2＝L. 2．双星系统模型的三大规律： (1)双星系统的周期、角速度相同． (2)轨道半径之比与质量成反比． (3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关． 例6　如图6所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在 引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中 心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线， A和B分别在O的两侧．引力常量为G. (1)求两星球做圆周运动的周期； 图6 (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数) 解析　(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的万有引力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有：F＝G ① 由匀速圆周运动的规律得 F＝m()2r ② F＝M()2R ③ 由题意有L＝R＋r ④ 联立①②③④式得T＝2π  ⑤ (2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，由题意知，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出 T1＝2π  ⑥ 式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则 G＝m′()2L′ ⑦ 式中，T2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得 T2＝2π  ⑧ 由⑥⑧式得()2＝1＋ 代入题给数据得()2＝1.012 答案　(1)2π 　(2)1.012 突破训练6　(2012·重庆·18)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的(　　) A．轨道半径约为卡戎的 B．角速度大小约为卡戎的 C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍 答案　A 解析　本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m2、r2、v2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做匀速圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、D均错；由G＝m1ω2r1＝m2ω2r2(L为两星间的距离)，因此＝＝，＝＝＝，故A对，C错.  高考题组 1．(2012·广东理综·21)如图7所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若 飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于 在轨道1上，飞船在轨道2上的 (　　) A．动能大 B．向心加速度大 图7 C．运行周期长 D．角速度小 答案　CD 解析　飞船绕中心天体做匀速圆周运动，其万有引力提供向心力，即F引＝F向，所以＝ma向＝＝＝mrω2，即a向＝，Ek＝mv2＝，T＝ ，ω＝ (或用公式T＝求解)．因为r1Ek2，a向1>a向2，T1ω2，选项C、D正确． 2．(2012·北京·18)关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是 (　　) A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 答案　B 解析　根据开普勒第三定律，＝恒量知，当圆轨道的半径R与椭圆轨道的半长轴a相等时，两卫星的周期相等，故选项A错误；卫星沿椭圆轨道运行且从近地点向远地点运行时，万有引力做负功，根据动能定理知，动能减小，速率减小；从远地点向近地点移动时动能增加，速率增大，且两者具有对称性，故选项B正确；所有同步卫星的运行周期相等，根据G＝m()2r知，同步卫星轨道的半径r一定，故选项C错误；根据卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，可知卫星运行的轨道平面过某一地点时，轨道平面必过地心，但轨道平面不一定重合，故北京上空的两颗卫星的轨道平面可以不重合，选项D错误． 3．(2012·山东理综·15)2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2.则等于 (　　) A.  B.  C. D. 答案　B 解析　“天宫一号”运行时所需的向心力由万有引力提供，根据G＝得线速度v＝ ，所以＝ ，故选项B正确，选项A、C、D错误． 4．(2011·北京理综·15)由于通信和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的 (　　) A．质量可以不同 B．轨道半径可以不同 C．轨道平面可以不同 D．速率可以不同 答案　A 解析　同步卫星运行时，万有引力提供向心力，＝mr＝m，故有＝，v＝ ，由于同步卫星运行周期与地球自转周期相同，故同步卫星的轨道半径大小是确定的，速度v也是确定的，同步卫星的质量可以不同．要想使卫星与地球自转同步，轨道平面一定是赤道平面．故只有选项A正确． 模拟题组 5．如图8所示，某颗天文卫星飞往距离地球约160万千米的 第二拉格朗日点(图中L2)，L2点处在太阳与地球连线的外 侧，在太阳和地球引力的共同作用下，卫星在该点能与地 球同步绕太阳运动(视为圆周运动)，且时刻保持背对太阳 和地球的姿势，不受太阳的干扰而进行天文观测．不考虑 图8 其他星球影响，下列关于工作在L2点的天文卫星的说法中正确的是 (　　) A．将它从地球上发射到L2点的发射速度大于7.9 km/s B．它绕太阳运行的周期比地球绕太阳运行的周期长 C．它绕太阳运行的线速度比地球绕太阳运行的线速度大 D．它绕太阳运行的向心加速度比地球绕太阳运行的向心加速度大 答案　ACD 解析　卫星的发射速度一定大于7.9 km/s，选项A对．由于卫星和地球同步，因此它们的周期相同，角速度ω相同，由v＝rω知，v卫>v地，选项C对，B错．由a＝rω2知选项D对． 6．国防科技工业局在2012年7月30日宣布，“嫦娥三号”将于2013年下半年择机发射．我国已成功发射了“嫦娥二号”探月卫星，该卫星在环月圆轨道绕行n圈所用的时间为t；月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0. (1)请推导出“嫦娥二号”卫星离月球表面高度的表达式； (2)地球和月球的半径之比为＝4，表面重力加速度之比为＝6，试求地球和月球的密度之比． 答案　(1) －R0　(2) 解析　(1)由题意知，“嫦娥二号”卫星的周期为 T＝ 设卫星离月球表面的高度为h，由万有引力提供向心力得： G＝m(R0＋h)()2 又：G＝m′g0 联立解得：h＝ －R0 (2)设星球的密度为ρ，由G＝m′g得GM＝gR2 ρ＝＝ 联立解得：ρ＝ 设地球、月球的密度分别为ρ0、ρ1，则： ＝ 将＝4，＝6代入上式，解得： ＝  (限时：45分钟) ?题组1　天体质量和密度的计算 1．(2012·福建理综·13)“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的 (　　) A．密度 B．质量 C．半径 D．自转周期 答案　A 解析　对“嫦娥二号”由万有引力提供向心力可得：＝mR，故月球的质量M＝，因“嫦娥二号”为近月卫星，故其轨道半径为月球的半径R，但由于月球半径未知，故月球质量无法求出，月球质量未知，则月球的半径R也无法求出，故B、C项均错；月球的密度ρ＝＝＝，故A正确． 2．银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动. 由天文观测得其周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知万有引力常量为G.由此可求出S2的质量为 (　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 答案　D 解析　设S1、S2两星体的质量分别为m1、m2，根据万有引力定律和牛顿第二定律得 对S1有G＝m1()2r1 解得m2＝ 所以正确选项是D. 题组2　卫星运行参量的分析与计算 3．(2012·江苏·8)2011年8月“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格 朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图1 所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处 于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动， 则此飞行器的 (　　) 图1 A．线速度大于地球的线速度 B．向心加速度大于地球的向心加速度 C．向心力仅由太阳的引力提供 D．向心力仅由地球的引力提供 答案　AB 解析　飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以ω飞＝ω地，由圆周运动线速度和角速度的关系v＝rω得v飞>v地，选项A正确；由公式a＝rω2知，a飞>a地，选项B正确；飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故C、D选项错． 4．(2012·四川·15)今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107 m．它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107 m)相比 (　　) A．向心力较小 B．动能较大 C．发射速度都是第一宇宙速度 D．角速度较小 答案　B 解析　由题知，中圆轨道卫星的轨道半径r1小于同步卫星的轨道半径r2，卫星运行时的向心力由万有引力提供，根据F向＝G知，两卫星的向心力F1>F2，选项A错误；根据G＝＝mω2r，得环绕速度v1>v2，角速度ω1>ω2，两卫星质量相等，则动能Ek1>Ek2，故选项B正确，选项D错误；根据能量守恒，卫星发射得越高，发射所需速度越大，第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，因此两卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且v01a1＝＝，选项B错误．由G＝m知v＝ ，故＝ ，选项C错误．根据G＝m得T＝ ，故＝ ，即T2＝T1 ，选项D正确． 12．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响． (1)求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v1； (2)若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，求卫星运行半径r； (3)由题目所给条件，请提出一种估算地球平均密度的方法，并推导出平均密度表达式． 答案　(1)　(2) 　(3)ρ＝ 解析　(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M 卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动满足 G＝mg ① 第一宇宙速度是指卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力 G＝m ② ①式代入②式，得v1＝ (2)卫星受到的万有引力为G＝m()2r ③ 由①③式解得r＝  (3)设质量为m0的小物体在地球表面附近所受重力为m0g，则G＝m0g 将地球看成是半径为R的球体，其体积为V＝πR3 地球的平均密度为ρ＝＝ 13．发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆 轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后 在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道，如图4 所示．已知同步卫星的运行周期为T，地球的半径为R，地球表 面重力加速度为g，忽略地球自转的影响．求： 图4 (1)卫星在近地点A的加速度大小； (2)远地点B距地面的高度． 答案　(1)　(2) －R 解析　(1)设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G，卫星在A点的加速度为a， 根据牛顿第二定律有G＝ma 设质量为m′的物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，有 G＝m′g 由以上两式得a＝ (2)设远地点B距地面的高度为h2，卫星受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有： G＝m(R＋h2) 解得：h2＝ －R.
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