第3课时　机械能守恒定律
考纲解读
1.掌握重力势能、弹性势能的概念，并能计算.2.掌握机械能守恒的条件，会判断物体的机械能是否守恒.3.掌握机械能守恒定律的三种表达形式，理解其物理意义，并能熟练应用．

1．[对重力做功和重力势能变化关系的理解]将质量为100 kg的物体从地面提升到10 m高处，在这个过程中，下列说法中正确的是(取g＝10 m/s2) (　　) A．重力做正功，重力势能增加1.0×104 J B．重力做正功，重力势能减少1.0×104 J C．重力做负功，重力势能增加1.0×104 J D．重力做负功，重力势能减少1.0×104 J 答案　C 解析　WG＝－mgh＝－1.0×104 J，ΔEp＝－WG＝1.0×104 J，C项正确． 2．[对弹力做功和弹性势能变化关系的理解]如图1所示，在光滑水 平面上有一物体，它的左端接连着一轻弹簧，弹簧的另一端固定 在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体 图1 将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是(　　) A．弹簧的弹性势能逐渐减少 B．物体的机械能不变 C．弹簧的弹性势能先增加后减少 D．弹簧的弹性势能先减少后增加 答案　D 解析　开始时弹簧处于压缩状态，撤去力F后，物体先向右加速运动后向右减速运动，所以物体的机械能先增大后减小，所以B错．弹簧先恢复原长后又逐渐伸长，所以弹簧的弹性势能先减少后增加，D对，A、C错． 3．[机械能守恒的判断]下列物体中，机械能守恒的是 (　　) A．做平抛运动的物体 B．被匀速吊起的集装箱 C．光滑曲面上自由运动的物体 D．物体以g的加速度竖直向上做匀减速运动 答案　AC 解析　物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦力，在曲面上弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒；匀速吊起的集装箱，绳的拉力对它做功，不满足机械能守恒的条件，机械能不守恒；物体以g的加速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律mg－F＝m×g，有F＝mg，则物体受到竖直向上的大小为mg的外力作用，该力对物体做了正功，机械能不守恒． 4．[机械能守恒定律的应用]亚运会中的投掷链球、铅球、铁饼和标枪等体育比赛项目都是把物体斜向上抛出的运动，如图2所示，这些物体从被抛出到落地的过程中 (　　)

图2 A．物体的机械能先减小后增大 B．物体的机械能先增大后减小 C．物体的动能先增大后减小，重力势能先减小后增大 D．物体的动能先减小后增大，重力势能先增大后减小 答案　D
考点梳理
一、重力做功与重力势能 1．重力做功的特点 (1)重力做功与路径无关，只与初末位置的高度差有关． (2)重力做功不引起物体机械能的变化． 2．重力势能 (1)概念：物体由于被举高而具有的能． (2)表达式：Ep＝mgh. (3)矢标性：重力势能是标量，正负表示其大小． 3．重力做功与重力势能变化的关系 (1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加． (2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝ －ΔEp. 二、弹性势能 1．概念：物体由于发生弹性形变而具有的能． 2．大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大． 3．弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔEp.
5．[机械能守恒定律的应用]山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动． 一滑雪坡由AB和BC组成，AB是倾角为37°的斜坡，BC是 半径为R＝5 m的圆弧面，圆弧面和斜面相切于B点，与水 平面相切于C点，如图3所示，AB竖直高度差h＝8.8 m， 图3 运动员连同滑雪装备总质量为80 kg，从A点由静止滑下通过C点后飞落(不计空气阻力和摩擦阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．求： (1)运动员到达C点时的速度大小； (2)运动员经过C点时轨道受到的压力大小． 答案　(1)14 m/s　(2)3 936 N 解析　(1)由A→C过程，应用机械能守恒定律得： mg(h＋Δh)＝mv 又Δh＝R(1－cos 37°) 解得：vC＝14 m/s (2)在C点，由牛顿第二定律得： FC－mg＝m 解得：FC＝3 936 N. 由牛顿第三定律知，运动员在C点时对轨道的压力大小为3 936 N.
方法提炼
　应用机械能守恒定律解题的一般步骤 1．选取研究对象 2．分析研究对象在运动过程中的受力情况，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒． 3．选取零势能面，确定研究对象在初、末状态的机械能． 4．根据机械能守恒定律列出方程． 5．解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明．
考点一　机械能守恒的判断 1．机械能守恒的条件 只有重力或弹力做功，可以从以下四个方面进行理解： (1)物体只受重力或弹力作用． (2)存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功． (3)其他力做功，但做功的代数和为零． (4)存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化． 2．机械能守恒的判断方法 (1)利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化． (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒． (3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．
例1
　如图4所示，质量为m的钩码在弹簧秤的作用下竖直向上运动． 设弹簧秤的示数为FT，不计空气阻力，重力加速度为g.则(　　) A．FT＝mg时，钩码的机械能不变 B．FTmg时，钩码的机械能增加 图4 解析　无论FT与mg的关系如何，FT与钩码位移的方向一致，FT做正功，钩码的机械能增加，选项C、D正确． 答案　CD  　　　　　1.机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为 零；只有重力做功不等于只受重力作用． 2．对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定 不守恒． 3．对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．
突破训练1
　如图5所示，质量分别为m和2m的两个小球 A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定 转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动 到最低位置的过程中(不计一切摩擦) (　　) A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统 机械能守恒 图5 B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒 C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒 D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒 答案　BC 解析　A球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B项正确．由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，C项正确，D项错误．所以B球和地球组成系统的机械能一定减少，A项错误． 考点二　机械能守恒定律的表达形式及应用 1．守恒观点 (1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2. (2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能． (3)注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面． 2．转化观点 (1)表达式：ΔEk＝－ΔEp. (2)意义：系统(或物体)的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能． (3)注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平面． 3．转移观点 (1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减． (2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量． (3)注意问题：A部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B部分初状态的机械能减末状态的机械能．
例2
　如图6所示，一质量m＝0.4 kg的滑块(可视为质点)静止于动摩擦因数μ＝0.1的水平轨道上的A点．现对滑块施加一水平外力，使其向右运动，外力的功率恒为P＝10.0 W．经过一段时间后撤去外力，滑块继续滑行至B点后水平飞出，恰好在C点沿切线方向进入固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道，轨道的最低点D处装有压力传感器，当滑块到达传感器上方时，传感器的示数为25.6 N．已知轨道AB的长度L＝2.0 m，半径OC和竖直方向的夹角α＝37°，圆形轨道的半径R＝0.5 m．(空气阻力可忽略，重力加速度g＝ 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
图6 (1)滑块运动到C点时速度vC的大小； (2)B、C两点的高度差h及水平距离x； (3)水平外力作用在滑块上的时间t. 解析　(1)滑块运动到D点时，由牛顿第二定律得 FN－mg＝m 滑块由C点运动到D点的过程，由机械能守恒定律得 mgR(1－cos α)＋mv＝mv 联立解得vC＝5 m/s (2)滑块在C点时，速度的竖直分量为 vy＝vCsin α＝3 m/s B、C两点的高度差为h＝＝0.45 m 滑块由B运动到C所用的时间为ty＝＝0.3 s 滑块运动到B点时的速度为 vB＝vCcos α＝4 m/s B、C间的水平距离为x＝vBty＝1.2 m (3)滑块由A点运动到B点的过程，由动能定理得 Pt－μmgL＝mv 解得t＝0.4 s 答案　(1)5 m/s　(2)0.45 m　1.2 m　(3)0.4 s
例3
　图7是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面，一根不可伸长的 细线两端分别系物体A、B，且mA＝2mB，从图示位置由静止开始释放 A物体，当物体B到达半圆顶点时，求绳的张力对物体B所做的功． 解析　物体B到达半圆顶点时，系统势能的减少量为ΔEp＝mAg－mBgR，图7 系统动能的增加量为 ΔEk＝(mA＋mB)v2， 由ΔEp＝ΔEk得v2＝(π－1)gR. 对B由动能定理得：W－mBgR＝mBv2 绳的张力对物体B做的功 W＝mBv2＋mBgR＝mBgR. 答案　mBgR 多物体机械能守恒问题的分析方法 1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是 否守恒． 2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系． 3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式．
突破训练2
　如图8所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑 定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面； b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．不计 空气阻力，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为(　　) A．h B．1.5h C．2h D．2.5h 图8 答案　B 解析　在b球落地前，a、b球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：3mgh－mgh＝(m＋3m)v2，v＝，b球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，mv2＝mgΔh，Δh＝＝，所以a球可能达到的最大高度为1.5h，B正确.
23．用机械能守恒定律处理竖直平面内的圆周运动模型
竖直平面内的圆周运动问题能把牛顿第二定律与机械能守恒定律有机地结合起来，形成综合性较强的力学题目，有利于考查学生的综合分析能力及对物理过程的想象能力，是一种常见的力学压轴题型．
例4
　如图9所示的是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施，轨道除CD部分粗糙外，其余均光滑，一挑战者质量为m，沿斜面轨道滑下，无能量损失地滑入第一个圆管形轨道．根据设计要求，在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试挑战者对轨道的压力，并通过计算机显示出来．挑战者到达A处时刚好对管壁无压力，又经过水平轨道CD滑入第二个圆管形轨道．在最高点B处挑战者对管的内侧壁压力为0.5mg，然后从平台上飞入水池内．若第一个圆管轨道的半径为R，第二个圆管轨道的半径为r，水面离轨道的距离为h＝2.25r，g取10 m/s2，管的内径及人相对圆管轨道的半径可以忽略不计．则：
图9 (1)挑战者若能完成上述过程，则他至少应从离水平轨道多高的地方开始下滑？ (2)挑战者从A到B的运动过程中克服轨道阻力所做的功为多少？ (3)挑战者入水时的速度大小是多少？ 解析　(1)挑战者到达A处时刚好对管壁无压力， 可得出mg＝m 设挑战者从离水平轨道H高处的地方开始下滑，运动到A点时正好对管壁无压力，在此过程中机械能守恒 mgH＝mv＋mg·2R，解得H＝ (2)在B处挑战者对管的内侧壁压力为0.5mg，根据牛顿第二定律得：mg－FN＝， 挑战者在从A到B的运动过程中，利用动能定理得： mg·2(R－r)－Wf＝mv－mv 联立解得Wf＝mgR－mgr (3)设挑战者在第二个圆管轨道最低点D处的速度为v，则 －mg·2r＝mv－mv2 解得v＝ 挑战者离开第二个圆管轨道后在平面上做匀速直线运动，然后做平抛运动落入水中，在此过程中机械能守恒，设挑战者入水时的速度大小为v′，则mgh＋mv2＝mv′2 解得：v′＝3 答案　(1)　(2)mgR－mgr　(3)3 　　　　　 对于此例，要充分理解和把握物体的运动过程，明确每一个 过程所遵循的物理规律，并会列出相应的方程式．
突破训练3
　如图10所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的 两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r＝0.4 m 的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看做重合的点． 现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由 静止释放．(g取10 m/s2) 图10 (1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少多高？ (2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h. 答案　(1)0.2 m　(2)0.1 m 解析　(1)小球沿ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为v，则 mgH＝mv2 ① 小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg≤ ② ①②两式联立并代入数据得H≥0.2 m. (2)若h2R D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝R 答案　BC 解析　要使小球从A点水平抛出，则小球到达A点时的速度v>0，根据机械能守恒定律，有mgH－mg·2R＝mv2，所以H>2R，故选项C正确，选项D错误；小球从A点水平抛出时的速度v＝，小球离开A点后做平抛运动，则有2R＝gt2，水平位移x＝vt，联立以上各式可得水平位移x＝2，选项A错误，选项B正确． 2．(2011·课标全国·16)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是(　　) A．运动员到达最低点前重力势能始终减小 B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加 C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒 D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关 答案　ABC 解析　运动员到达最低点前，重力一直做正功，重力势能减小，选项A正确．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力一直做负功，弹性势能增加，选项B正确．除重力、弹力外没有其他力做功，故系统机械能守恒，选项C正确．重力势能的改变与重力势能零点的选取无关，故选项D错误． 3．(2012·大纲全国·26)一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的 一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状．此队员从山沟的竖 直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面．如图12所 示，以沟底的O点为原点建立坐标系xOy.已知，山沟竖直 一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y＝x2；探险队员 图12 的质量为m.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g. (1)求此人落到坡面时的动能； (2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？ 答案　(1)m(v＋)　(2)　mgh 解析　(1)设该队员在空中运动的时间为t，在坡面上落点的横坐标为x，纵坐标为y.由运动学公式和已知条件得 x＝v0t ① 2h－y＝gt2 ② 根据题意有 y＝ ③ 根据机械能守恒，此人落到坡面时的动能为 mv2＝mv＋mg(2h－y) ④ 联立①②③④式得 mv2＝m(v＋) ⑤ (2)⑤式可以改写为 v2＝(－)2＋3gh ⑥ v2取极小值的条件为⑥式中的平方项等于0，由此得 v0＝ 此时v2＝3gh，则最小动能为 (mv2)min＝mgh.
模拟题组
4．如图13所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环， 圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在 地面上的A点，弹簧处于原长h时，让圆环由静止开始沿杆 滑下，滑到杆的底端时速度恰好为零．若以地面为参考面， 则在圆环下滑过程中 (　　) 图13 A．圆环的机械能保持为mgh B．弹簧的弹性势能先增大后减小 C．弹簧弹力做的功为－mgh D．弹簧的弹性势能最大时，圆环的动能和重力势能之和最小 答案　CD 解析　圆环受到重力、支持力和弹簧的弹力作用，支持力不做功，故圆环的机械能与弹簧的弹性势能总和保持不变，故全过程弹簧的弹性势能变化量等于圆环的机械能变化量，C正确．圆环的机械能不守恒，A错误．弹簧垂直杆时弹簧的压缩量最大，此时圆环有向下的速度，故此时弹性势能比末状态的弹性势能小．即：圆环滑到杆的底端时弹簧被拉长，且弹性势能达到最大，此时圆环的动能为零，所以在圆环下滑过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小最后又增大，B错误．弹簧和圆环的总机械能守恒，即Ep弹＋Ekm＋Epm＝0，当Ep弹最大时，Ekm＋Epm必最小，故D项正确． 5．光滑曲面轨道置于高度为H＝1.8 m的平台上，其末端切线 水平；另有一长木板两端分别搁在轨道末端点和水平地面间， 构成倾角为θ＝37°的斜面，如图14所示．一个可视做质点 的质量为m＝1 kg的小球，从光滑曲面上由静止开始下滑 图14 (不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8) (1)若小球从高h0＝0.2 m处下滑，则小球离开平台时速度v0的大小是多少？ (2)若小球下滑后正好落在木板的末端，则释放小球的高度h1为多大？ (3)试推导小球下滑后第一次撞击木板时的动能与它下滑高度h的关系表达式，并在图15中作出Ek－h图象． 
图15 答案　(1)2 m/s　(2)0.8 m　(3)Ek＝32.5h　图象见解析图 解析　(1)小球从曲面上滑下，只有重力做功，由机械能守恒定律知： mgh0＝mv ① 得v0＝＝ m/s＝2 m/s (2)小球离开平台后做平抛运动，小球正好落在木板的末端，则 H＝gt2 ② ＝v1t ③ 联立②③两式得：v1＝4 m/s 又mgh1＝mv 得h1＝＝0.8 m (3)由机械能守恒定律可得：mgh＝mv2 小球离开平台后做平抛运动，可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，则： y＝gt2 ④ x＝vt ⑤ tan 37°＝ ⑥ vy＝gt ⑦ v＝v2＋v ⑧ Ek＝mv ⑨ mgh＝mv2 ⑩ 由④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得：Ek＝32.5h 考虑到当h>0.8 m时小球不会落到斜面上，其图象如图所示．

(限时：45分钟) ?题组1　关于重力势能和机械能守恒定律的理解 1．关于重力势能，下列说法中正确的是 (　　) A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定 B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大 C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了 D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功 答案　D 解析　物体的重力势能与参考面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考面的重力势能不同，A选项错．物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大；物体在零势能面以下，距零势面的距离越大，重力势能越小，B选项错．重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，C选项错．重力做的功等于重力势能的变化，D选项对． 2．置于水平地面上的一门大炮，斜向上发射一枚炮弹．假设空气阻力可以忽略，炮弹可以视为质点，则 (　　) A．炮弹在上升阶段，重力势能一直增大 B．炮弹在空中运动的过程中，动能一直增大 C．炮弹在空中运动的过程中，重力的功率一直增大 D．炮弹在空中运动的过程中，机械能守恒 答案　AD 解析　炮弹在空中运动时，动能先减小后增大．重力的功率亦是先减小后增大，由于忽略空气阻力，所以炮弹的机械能守恒，选项A、D正确． 3．关于机械能是否守恒，下列说法正确的是 (　　) A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒 B．做圆周运动的物体机械能一定守恒 C．做变速运动的物体机械能可能守恒 D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒 答案　C 解析　做匀速直线运动的物体与做圆周运动的物体，如果是在竖直平面内则机械能不守恒，A、B错误；合外力做功不为零，机械能可能守恒，C正确，D错误． 4．如图1所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水 平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁．现让一小球自左端 槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切 进入槽内，则下列说法正确的是 (　　) A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功 图1 B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态 C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒 D．小球从下落到从右侧离开槽的过程中，机械能守恒 答案　C 解析　小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽有向左运动的趋势，但是实际上没有动，整个系统只有重力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒．而小球过了半圆形槽的最低点以后，半圆形槽向右运动，由于系统没有其他形式的能量产生，满足机械能守恒的条件，所以系统的机械能守恒．小球到达槽最低点前，小球先失重，后超重．当小球向右上方滑动时，半圆形槽向右移动，半圆形槽对小球做负功，小球的机械能不守恒．综合以上分析可知选项C正确． 5．如图2所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与 物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上(桌面足够大)，A右端 连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连．开始时托住 B，让A处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B 获得最大速度．下列有关该过程的分析中正确的是 (　　) 图2 A．B物体受到细线的拉力保持不变 B．B物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量 C．A物体动能的增量等于B物体重力对B做的功与弹簧弹力对A做的功之和 D．A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A做的功 答案　BD 解析　对A、B的运动分析可知，A、B做加速度越来越小的加速运动，直至A和B达到最大速度，从而可以判断细线对B物体的拉力越来越大，A选项错误；根据能量守恒定律知，B的重力势能的减少转化为A、B的动能与弹簧的弹性势能的增加，据此可判断B选项正确，C选项错误；而A物体动能的增量为细线拉力与弹簧弹力对A做功之和，由此可知D选项正确． ?题组2　机械能守恒定律的应用 6．如图3所示，将物体从一定高度水平抛出(不计空气阻力)，物体运动 过程中离地面高度 为h时，物体水平位移为x、物体的机械能为E、 物体的动能为Ek、物体运动的速度大小为v.以水平地面为零势能面． 下列图象中，能正确反映各物理量与h的关系的是 (　　) 图3
答案　BC 解析　设抛出点距离地面的高度为H，由平抛运动规律x＝v0t，H－h＝gt2可知：x＝ v0 ，图象为抛物线，故A项错误；做平抛运动的物体机械能守恒，故B项正确；平抛物体的动能Ek＝mgH－mgh＋mv，C项正确，D项错误． 7．如图4所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦， 系统由静止开始运动的过程中 (　　) A．M、m各自的机械能分别守恒 图4 B．M减少的机械能等于m增加的机械能 C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能 D．M和m组成的系统机械能守恒 答案　BD 解析　M下落过程，绳的拉力对M做负功，M的机械能减少，A错误；m上升过程，绳的拉力对m做正功，m的机械能增加；对M、m组成的系统，机械能守恒，易得B、D正确；M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加，还有一部分转变成M、m的动能，所以C错误． 8．如图5所示，小球以初速度v0从光滑斜面底部向上滑，恰能到达最大高度为h的斜面顶部．A是内轨半径大于h的光滑轨道、B是内轨半径小于h的光滑轨道、C是内轨直径等于h的光滑轨道、D是长为h的轻棒，其下端固定一个可随棒绕O点向上转动的小球．小球在底端时的初速度都为v0，则小球在以上四种情况下能到达高度h的有(　　)
图5 答案　AD 9．如图6所示是全球最高的(高度为208米)北京朝阳公园摩天轮， 一质量为m的乘客坐在摩天轮中以速率v在竖直平面内做半径 为R的匀速圆周运动，假设t＝0时刻乘客在最低点且重力势能 为零，那么，下列说法正确的是 (　　) A．乘客运动的过程中，重力势能随时间的变化关系为Ep＝mgR(1－ 图6 cos t) B．乘客运动的过程中，在最高点受到座位的支持力为m－mg C．乘客运动的过程中，机械能守恒，且机械能为E＝mv2 D．乘客运动的过程中，机械能随时间的变化关系为E＝mv2＋mgR(1－cos t) 答案　AD 解析　在最高点，根据牛顿第二定律可得，mg－FN＝m，乘客受到座位的支持力为FN＝mg－m，B项错误；由于乘客在竖直平面内做匀速圆周运动，其动能不变，重力势能发生变化，所以乘客在运动的过程中机械能不守恒，C项错误；在时间t内转过的弧度为t，所以对应t时刻的重力势能为Ep＝mgR(1－cos t)，总的机械能为E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgR(1－cos t)，A、D项正确． ?题组3　综合应用动力学方法和机械能守恒定律解决复杂问题 10．如图7所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连， A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过 劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用 手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮 图7 左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面．下列说法正确的是 (　　) A．斜面倾角α＝30° B．A获得的最大速度为g  C．C刚离开地面时，B的加速度为零 D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒 答案　AC 解析　当A沿斜面下滑的速度最大时，其所受合外力为零，有mAgsin α＝(mB＋mC)g.解得sin α＝，所以α＝30°，A、C项正确；A、B用细线相连，速度大小一样．当A的速度最大时，对C有：mg＝kx，对A、B、弹簧组成的系统应用机械能守恒定律有： 4mgx·sin α＝mg·x＋kx2＋(mA＋mB)v2，解得v＝g ，B项错误．在D项中，应是A、B、弹簧组成的系统机械能守恒，D项错误． 11．如图8所示是为了检验某种防护罩承受冲击力的装置，M是半径 为R＝1.0 m的固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道上端切 线水平．N为待检验的固定曲面，该曲面在竖直面内的截面为半 径r＝ m的圆弧，圆弧下端切线水平且圆心恰好位于M 图8 轨道的上端点．M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量为m＝0.01 kg的小钢珠．假设某次发射的钢珠沿轨道恰好能经过M的上端点，水平飞出后落到曲面N的某一点上，取g＝10 m/s2.问： (1)发射该钢珠前，弹簧的弹性势能Ep多大？ (2)钢珠落到圆弧N上时的动能Ek多大？(结果保留两位有效数字) 答案　(1)1.5×10－1 J　(2)8.0×10－2 J 解析　(1)设钢珠运动到轨道M最高点的速度为v，在M的最低点的速度为v0，则在最高点，由题意得mg＝m 从最低点到最高点，由机械能守恒定律得： mv＝mgR＋mv2 解得：v0＝ 由机械能守恒定律得： Ep＝mv＝mgR＝1.5×10－1 J. (2)钢珠从最高点飞出后，做平抛运动，x＝vt，y＝gt2 由几何关系知x2＋y2＝r2，联立解得t2＝ s2 所以，钢珠从最高点飞出后落到圆弧N上下落的高度为y＝0.3 m 由机械能守恒定律得，钢珠落到圆弧N上时的动能Ek为 Ek＝mv2＋mgy＝8.0×10－2 J 12．如图9甲所示，圆形玻璃平板半径为r，离水平地面的高度为h，一质量为m的小木块放置在玻璃板的边缘，随玻璃板一起绕圆心O在水平面内做匀速圆周运动． (1)若匀速圆周运动的周期为T，求木块的线速度和所受摩擦力的大小； (2)缓慢增大玻璃板的转速，最后木块沿玻璃板边缘的切线方向水平飞出，落地点与通过圆心O的竖直线间的距离为s，俯视图如图乙．不计空气阻力，重力加速度为g，试求木块落地前瞬间的动能Ekt.
图9 答案　(1)　m()2r　(2)mg(＋h) 解析　(1)根据匀速圆周运动的规律可得木块的线速度大小为：v＝ 木块所受摩擦力提供木块做匀速圆周运动的向心力，有 Ff＝m()2r (2)木块脱离玻璃板后在竖直方向上做自由落体运动，有 h＝gt2 在水平方向上做匀速直线运动，水平位移 x＝vt x与距离s、半径r的关系为s2＝r2＋x2 木块从抛出到落地前机械能守恒，得 Ekt＝mv2＋mgh 由以上各式解得木块落地前瞬间的动能 Ekt＝mg(＋h)

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