第2讲 匀变速直线运动的规律及应用
匀变速直线运动 Ⅱ(考纲要求)
1.定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动．
2．分类
匀变速直线运动的公式 Ⅱ(考纲要求)
1.三个基本公式
速度公式：vt＝v0＋at；
位移公式：s＝v0t＋at2；
位移速度关系式：vt2－v02＝2as.
2．三个推论
(1)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差等于恒量，即s2－s1＝s3－s2＝…＝sn－s(n－1)＝aT2.
(2)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度．
平均速度公式：＝＝v.
(3)匀变速直线运动的某段位移中点的瞬时速度v＝ .
3．初速度为零的匀加速直线运动的特殊规律
(1)在1T末，2T末，3T末，…nT末的瞬时速度之比为
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)在1T内，2T内，3T内，…，nT内的位移之比为
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)在第1个T内，第2个T内，第3个T内，…，第n个T内的位移之比为
sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…∶sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
(5)从静止开始通过连续相等的位移时的速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.
1．匀变速直线运动规律公式的三性
(1)条件性：速度公式和位移公式的适应条件必须是物体做匀变速直线运动．
(2)矢量性：位移公式和速度公式都是矢量式．
(3)可逆性：由于物体运动条件的不同，解题时可进行逆向转换．
2．规律互联
1．某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为s＝0.5t＋t2(m)，则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为( )．
A．1.25 s B．2.5 s C．3 s D．6 s
解析 由s表达式可知v0＝0.5 m/s，a＝2 m/s2，所以t＝＝ s＝1.25 s，A对．
答案 A
2．(2011·汕头高三检测)做匀减速直线运动的质点，它的加速度大小为a，初速度大小为v0，经过时间t速度减小到零，则它在这段时间内的位移大小可用下列哪些式子表示( )．
A．v0t＋at2 B．v0t C. D．at2
解析 质点做匀减速直线运动，加速度为－a，位移为v0t－at2，A、B错；平均速度为，位移大小为t，C对；匀减速到零可看做初速度为零的匀加速直线运动来计算位移大小为at2，D错．
答案 C
3．某做匀加速直线运动的物体初速度为2 m/s，经过一段时间t后速度变为6 m/s，则时刻的速度为( )．
A．由于t未知，无法确定时刻的速度
B．由于加速度a及时间t未知，无法确定时刻的速度
C．5 m/s
D．4 m/s
解析 中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度 m/s＝4 m/s，D对．
答案 D
4．在一次交通事故中，交通警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是30 m，该车辆最大刹车加速度是15 m/s2，该路段的限速为60 km/h.则该车( )．
A．超速 B．不超速
C．无法判断 D．速度刚好是60 km/h
解析 如果以最大刹车加速度刹车，那么由v＝可求得，刹车时的速度为30 m/s＝108 km/h，所以该车超速行驶，A正确．
答案 A
5．(2011·焦作高三检测)汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内与开始刹车后6 s内汽车通过的位移之比为( )．
A．1∶1 B．1∶3 C．3∶4 D．4∶3
解析 汽车从刹车到静止用时t刹＝＝ s＝4 s，故刹车后2 s和6 s内汽车的位移分别为s1＝v0t－at2＝20×2 m－×5×22 m＝30 m，s2＝v0t刹－at刹2＝20×4 m－×5×42 m＝40 m，s1∶s2＝3∶4，C选项正确．
答案 C
考点一 匀变速直线运动公式的应用
对三个基本公式的理解
速度时间公式vt＝v0＋at、位移时间公式s＝v0t＋at2、位移速度公式vt2－v02＝2as，是匀变速直线运动的三个基本公式，是解决匀变速直线运动的基石．三个公式中的物理量s、a、v0、t、vt均为矢量(三个公式称为矢量式)，在应用时，一般以初速度方向为正方向，凡是与v0方向相同的s、a、vt均为正值，反之为负值，当v0＝0时，一般以a的方向为正方向．这样就将矢量运算转化为代数运算，使问题简化．
【典例1】
物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，
图1－2－1
到达斜面最高点C时速度恰为零，如图1－2－1所示．已知物体第一次运动到斜面长度处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．
解析 法一 基本公式法
设物体的初速度为v0，加速度为a
则：sAC＝v0(t＋tBC)－a(t＋tBC)2①
sAB＝v0t－at2②
sAB＝sAC③
联立①②③解得tBC＝t.
法二 比例法
对于初速度为零的匀变速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
现有sBC∶sBA＝∶＝1∶3
通过sAB的时间为t，故通过sBC的时间tBC＝t.
法三 中间时刻速度法
利用教材中的推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移内的平均速度.AC＝＝＝又v02＝2asAC①
vB2＝2asBC②
sBC＝sAC③
解①②③得：vB＝.
可以看出vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是中间时刻的位置．因此有tBC＝t.
法四 图象面积法
利用相似三角形面积之比，等于对应边平方比的方法，作出v－t图象，如图所示．
＝，且S△AOC＝4S△BDC，
＝t，＝t＋tBC，所以＝，得tBC＝t.
法五 利用有关推论
对于初速度为0的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
现将整个斜面分成相等的四段，如图所示．设通过BC段的时间为tx，那么通过BD、DE、EA的时间分别为：
tBD＝(－1)tx，tDE＝(－)tx，tEA＝(－)tx，
又tBD＋tDE＋tEA＝t，得tx＝t.
答案 t
——匀变速直线运动常用解题方法的确定
(1)要养成根据题意画出物体运动示意图的习惯．特别对较复杂的运动，画出示意图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究．
(2)匀变速直线运动题目常可一题多解．解题时要思路开阔，筛选最简的解题方案．
(3)列运动学方程时，每一个物理量都要对应于同一个运动过程，切忌乱套公式．
(4)解题的基本步骤：审题——画出示意图——判断运动性质——选取正方向(或建坐标轴)——选用公式列方程——求解方程，必要时对结果进行讨论．
【变式1】
一个物体从静止开始做匀加速直线运动．它在第1 s内与第2 s内的位移之比为s1∶s2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2.以下说法正确的是( )．
A．s1∶s2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．s1∶s2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．s1∶s2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．s1∶s2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
解析 由sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…∶sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)知s1∶s2＝1∶3，由s＝at2知t1∶t2＝1∶，又vt＝at可得v1∶vt2＝1∶，B正确．
答案 B
【变式2】
一个向正东方向做匀变速直线运动的物体，在第3 s内发生的位移为8 m，在第5 s内发生的位移为5 m，则关于物体运动加速度的描述正确的是( )．
A．大小为3 m/s2，方向为正东方向
B．大小为3 m/s2，方向为正西方向
C．大小为1.5 m/s2，方向为正东方向
D．大小为1.5 m/s2，方向为正西方向
解析 设第3 s内、第5 s内的位移分别为s3、s5，
则：s5－s3＝2aT2,5－8＝2a×12，a＝－1.5 m/s2，加速度的方向为正西方向，D正确．
答案 D
考点二 逆向思维的应用
巧用逆向思维快速破题
逆向思维是指在解决问题的过程中从正面入手有一定难度时可有意识地去改变思考问题的顺序，沿着正向(由前到后，由因到果)思维的相反(由后到前、由果到因)途径思考、解决问题的方法，常见的有可逆性原理、反证归谬、执果索因等逆向思维途径．
【典例2】
运动着的汽车制动后做匀减速直线运动，经3.5 s停止，试问它在制动开始后的1 s内、2 s内、3 s内通过的位移之比为多少？
解析
画示意图如图所示，把汽车从A→E的末速度为0的匀减速直线运动，逆过来转换为从E→A的初速度为0的匀加速直线运动，来等效处理，由于逆过来前后，加速度相同，故逆过来前后的运动位移、速度时间均具有对称性．所以知汽车在相等时间内发生的位移之比为1∶3∶5∶…，把时间间隔分为0.5 s，所以sDE∶sCD∶sBC∶sAB＝1∶8∶16∶24，所以sAB∶sAC∶sAD＝3∶5∶6.
答案 3∶5∶6
【变式3】
如图1－2－2所示，在光
图1－2－2
滑水平面上运动的小球，刚好能越过一个倾角为α的固定在水平面上的光滑斜面做自由落体运动，落地时的速度大小为v，不考虑空气阻力及小球滚上斜面瞬间的能量损失，下列说法正确的是( )．
A．小球冲上斜面前在水平面上的速度应大于v
B．小球在斜面上运动的时间为
C．斜面的长度为
D．小球在斜面上运动的加速度大于gsin α
解析 由题意可知，小球滚上斜面到落地的过程中只有重力做功，机械能守恒，故小球冲上斜面前在水平面上的速度应等于v，A错误；小球在斜面上运动的时间为t＝，B正确；斜面的长度为s＝，C错误．小球运动到斜面最顶端的速度恰好为0，小球上升过程中做匀减速运动，加速度大小为gsin α，D错误．
答案 B
考点三 实际应用题——汽车的“刹车”问题
揭秘刹车问题的实质
汽车刹车问题的实质是汽车做单方向匀减速直线运动问题．汽车在刹车过程中做匀减速直线运动，速度减为0后，车相对地面无相对运动，加速度消失，汽车停止不动，不再返回，汽车运动时间满足t≤，发生的位移满足s≤.
【典例3】
一辆汽车以10 m/s的速度沿平直的公路匀速前进，因故紧急刹车，加速度大小为0.2 m/s2，则刹车后汽车在1 min内通过的位移大小为( )．
A．240 m B．250 m C．260 m D．90 m
解析 因汽车刹车后一直做匀减速直到运动速度为零为止，所以t＝＝50 s，所以汽车刹车后在1 min内通过的位移为s＝t＝250 m.
答案 B
——找准方法，远离刹车问题陷阱
求解汽车刹车类问题时，一定要认真分析清楚汽车的运动过程，一般都是先判断刹车时间或刹车位移，即判定汽车在给定时间内或位移内是否已停止，千万不能乱套公式．
【变式4】
(2012·合肥模拟)飞机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动，其着陆速度为60 m/s，求：
(1)它着陆后12 s内滑行的位移s；
(2)整个减速过程的平均速度(用两种方法求解)；
(3)静止前4 s内飞机滑行的位移s′.
解析 (1)以初速度方向为正方向，则有a＝－6 m/s2
飞机在地面滑行最长时间t＝＝ s＝10 s
所以飞机12 s内滑行的位移等于10 s内滑行的位移
由v2－v02＝2as可得s＝＝ m＝300 m.
(2)法一 ＝＝ m/s＝30 m/s
法二 ＝＝ m/s＝30 m/s.
(3)可看成反向的匀加速
s′＝at2＝×6×42 m＝48 m.
答案 (1)300 m (2)30 m/s （3）48m
2.匀变速直线运动公式的应用
解题方法解密
(1)解题思想
列方程：针对具体题目，分析透含有几个物理过程(一般一个特定加速度对应一个过程)，然后对每个过程逐个列关系表达式，最后解方程组(高考题常用一般公式列方程解题)
(2)解题方法
①基本公式法：公式vt＝v0＋at、s＝v0t＋at2、vt2－v02＝2as是研究匀变速直线运动的最基本的规律，合理地运用和选择三式中的任意两式是求解运动学问题最常用的基本方法．
②平均速度法：s＝t对任意性质的运动都适用，而＝仅适用于匀变速直线运动．
③推论法：利用Δs＝aT2：其推广式sm－sn＝(m－n)aT2，对于纸带类问题用这种方法尤其快捷．
④比例法：根据已知的条件，用比例的性质求解．
⑤逆向思维法：如匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动．
⑥图象法：如用v－t图可以求出某段时间的位移大小、可以比较v与v，以及追及问题；用s－t图象可求出任意时间内的平均速度等．
【典例】 (2011·课标全国卷，24,13分)甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变．在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半．求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比．
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解析 设汽车甲在第一段时间间隔末(时刻t0)的速度为v，第一段时间间隔内行驶的路程为s1，加速度为a；在第二段时间间隔内行驶的路程为s2.由运动学公式得v＝at0①
s1＝at02 ② s2＝vt0＋(2a)t02 ③
设汽车乙在时刻t0的速度为v′，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为s1′、s2′.同样有v′＝(2a)t0④
s1′＝(2a)t02 ⑤ s2′＝v′t0＋at02 ⑥
设甲、乙两车行驶的总路程分别为s、s′，则有
s＝s1＋s2 ⑦ s′＝s1′＋s2′ ⑧
联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶的总路程之比为＝.⑨
答案
1．(2009·江苏单科)
图1－2－3
如图1－2－3所示，以8 m/s匀速行驶的汽车即将通过路口，绿灯还有2 s就熄灭，此时汽车距离停车线18 m．该车加速时最大加速度大小为2 m/s2，减速时最大加速度大小为5 m/s2.此路段允许行驶的最大速度为12.5 m/s.下列说法中正确的有( )．
①如果立即以最大加速度做匀加速运动，在绿灯熄灭前汽车可能通过停车线 ②如果立即以最大加速度做匀加速运动，在绿灯熄灭前通过停车线汽车一定超速 ③如果立即以最大加速度做匀减速运动，在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线 ④如果距停车线5 m处以最大加速度减速，汽车能停在停车线处
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
解析 在加速阶段若一直加速，则2 s末的速度为12 m/s，2 s内的位移为s＝×2 m＝20 m，则在绿灯熄灭前汽车可能通过停车线，①正确．若汽车一直以最大加速度减速，在绿灯熄灭前通过的距离小于18 m，则不能通过停车线，如果在距离停车线5 m处以最大加速度减速，汽车运动的最小距离为6.4 m，不能停在停车线处．③项正确，②④错误．
答案 C
2．(2010·课标全国，24)短跑名将博尔特在北京奥运会上创造了100 m和200 m短跑项目的新世界纪录，他的成绩分别是9.69 s和19.30 s．假定他在100 m比赛时从发令到起跑的反应时间是0.15 s，起跑后做匀加速运动，达到最大速率后做匀速运动.200 m比赛时，反应时间及起跑后加速阶段的加速度和加速时间与100 m比赛时相同，但由于弯道和体力等因素的影响，以后的平均速率只有跑100 m时最大速率的96%.求：
(1)加速所用时间和达到的最大速率；
(2)起跑后做匀加速运动的加速度．(结果保留两位小数)
解析 (1)设加速所用时间为t(以s为单位)，匀速运动的速度为v(以m/s为单位)，则有
vt＋(9.69－0.15－t)v＝100①
vt＋(19.30－0.15－t)×0.96v＝200②
由①②式得t＝1.29 s③
v＝11.24 m/s④
(2)设加速度大小为a，则a＝＝8.71 m/s2.⑤
答案 (1)1.29 s 11.24 m/s (2)8.71 m/s2
3．(2011·重庆卷，14)某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石头并开始计时，经2 s听到石头落底声．由此可知井深约为(不计声音传播时间，重力加速度g取10 m/s2)( )．
A．10 m B．20 m
C．30 m D．40 m
解析 从井口由静止释放，石头做自由落体运动，由运动学公式h＝gt2可得h＝×10×22 m＝20 m.
答案 B
4．(2011·安徽卷，16)一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移Δx所用的时间为t2，则物体运动的加速度为( )．
A. B.
C. D.
解析 物体做匀变速直线运动，由匀变速直线运动规律：
＝v＝知：vt1/2＝①
vt2/2＝②
由匀变速直线运动速度公式vt＝v0＋at知
vt1/2＝vt1/2＋a·③
①②③式联立解得a＝.
答案 A
5．(2011·天津卷)质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋t2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点( )．
A．第1 s内的位移是5 m
B．前2 s内的平均速度是6 m/s
C．任意相邻的1 s内位移差都是1 m
D．任意1 s内的速度增量都是2 m/s
解析 由s＝v0t＋at2与x＝5t＋t2的对比可知：该质点做匀加速直线运动的初速度v0＝5 m/s，加速度a＝2 m/s2.将t＝1 s代入所给位移公式可求得第1 s内的位移是6 m；前2 s内的位移是14 m，平均速度为 m/s＝7 m/s；由Δs＝aT2可得T＝1 s时，相邻1 s内的位移差都是2 m；由加速度的物理意义可得任意1 s内速度的增量都是2 m/s.D正确．
答案 D
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