必修二 第四章 机械能
第1讲 功和功率
功 Ⅱ(考纲要求)
1.做功的两个因素：力和物体在力的方向上发生的位移．
2．功的公式：W＝Fscos_α，其中F为恒力，α为F的方向与位移s方向的夹角；功的单位：焦耳(J)；功是标(矢、标)量．
3．功的正负
夹角
功的正负
α<90°
力对物体做正功
α＝90°
力对物体不做功
α>90°
力对物体做负功或说成物体克服这个力做了功
功率 Ⅱ(考纲要求)
1.定义：功与完成这些功所用时间的比值．
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率．
(2)P＝Fvcos α(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
4．额定功率：机械正常工作时输出的最大功率．
5．实际功率：机械实际工作时输出的功率．要求小于或等于额定功率．
1．(2011·重庆南岸区模拟)下图所示的四幅图是小明提包回家的情景，其中小明提包的力不做功的是( )．
答案 B
2．一个力对物体做了负功，则说明( )．
A．这个力一定推动物体的运动
B．这个力不一定阻碍物体的运动
C．这个力与物体运动方向的夹角α>90°
D．这个力与物体运动方向的夹角α<90°
解析 由功的表达式W＝Fscos α知，只有当α>90°时，cos α<0，力对物体做负功，此力阻碍物体的运动，故C对．
答案 C
3．质量为1 kg的物体从某一高度自由下落，设1 s内物体未着地，则该物体下落1 s末重力做功的瞬时功率是(取g＝10 m/s2)( )．
A．25 W B．50 W
C．75 W D．100 W
解析 1 s末速度v＝gt＝10 m/s，方向竖直向下，与重力的方向相同，由P＝Fv，可知重力的瞬时功率为100 W，D对，A、B、C错．
答案 D
4．一辆汽车在水平公路上行驶，设汽车在行驶过程中所受阻力不变．汽车的发动机始终以额定功率输出，关于牵引力和汽车速度的下列说法中正确的是( )．
A．汽车加速行驶时，牵引力不变，速度增大
B．汽车加速行驶时，牵引力增大，速度增大
C．汽车加速行驶时，牵引力减小，速度减小
D．当牵引力等于阻力时，速度达到最大值
解析 汽车的发动机输出功率恒定，即P一定，则由公式P＝Fv可得：v增大，F减小，但由于合外力方向与汽车运动方向一致，因此汽车速度仍在增大，当汽车受到的牵引力和阻力相等时，汽车速度达到最大值，以后做匀速运动．
答案 D
图4－1－1
5．如图4－1－1所示，汽车在拱形桥上由A匀速率运动到B，以下说法正确的是( )．
A．牵引力与克服摩擦力做的功相等
B．牵引力和重力做的总功大于克服摩擦力做的功
C．合外力对汽车做负功
D．重力做功的瞬时功率会变化
解析 牵引力和重力做的总功与摩擦力做的功的代数和为零，A、B错误；因汽车做匀速率运动，动能增量为零，故合外力对汽车不做功，C错误；重力做功的瞬时功率等于重力与重力方向的分速度的乘积，故瞬时功率会变化，D正确．
答案 D
考点一 正功、负功的判断方法
1．根据力和位移方向之间的夹角判断
此法常用于恒力做功的判断．
2．根据力和瞬时速度方向的夹角判断
此法常用于判断质点做曲线运动时变力的功，夹角为锐角时做正功，夹角为钝角时做负功，夹角为直角时不做功．如人造地球卫星．
3．从能的转化角度来进行判断
此法常用于判断相互联系的两个物体之间的相互作用力做功的情况．
图4－1－2
例如车M静止在光滑水平轨道上，球m用细线悬挂在车上，由图4－1－2中的位置无初速地释放，则可判断在球下摆过程中绳的拉力对车做正功．因为绳的拉力使车的动能增加了．又因为M和m构成的系统的机械能是守恒的，M增加的机械能等于m减少的机械能，所以绳的拉力一定对球m做负功．
【典例1】
长为L的轻质细绳悬挂一个质量为m的小球，
图4－1－3
其下方有一个倾角为θ的光滑斜面体，放在水平面上，开始时小球与斜面刚刚接触且细绳恰好竖直，如图4－1－3所示，现在用水平推力F缓慢向左推动斜面体，直至细绳与斜面体平行，则下列说法中正确的是( )．
A．由于小球受到斜面的弹力始终与斜面垂直，故对小球不做功
B．细绳对小球的拉力始终与小球的运动方向垂直，故对小球不做功
C．小球受到的合外力对小球做功为零，故小球在该过程中机械能守恒
D．若水平面光滑，则推力做功为mgL(1－cos θ)
解析 小球受到斜面的弹力沿竖直方向有分量，故对小球做正功，A错误；细绳的拉力方向始终和小球的运动方向垂直，故对小球不做功，B正确；合外力对小球做功等于小球动能的改变量，虽然合外力做功为零，但小球的重力势能增加，故小球在该过程中机械能不守恒，C错误；若水平面光滑，则推力做功为mgL(1－sin θ)，D错误．
答案 B
【变式1】
(2012·河北衡水月考，15)
图4－1－4
如图4－1－4所示，电梯与水平地面成θ角，一人站在电梯上，电梯从静止开始匀加速上升，到达一定速度后再匀速上升．若以N表示水平梯板对人的支持力，G为人受到的重力，f为电梯对人的静摩擦力，则下列结论正确的是( )．
A．加速过程中f≠0，f、N、G都做功
B．加速过程中f≠0，N不做功
C．加速过程中f＝0，N、G都做功
D．匀速过程中f＝0，N、G都不做功
解析 加速过程中，水平方向的加速度由摩擦力f提供，所以f≠0，f、N做正功，G做负功，选项A正确，B、C错误．匀速过程中，水平方向不受静摩擦力作用，f＝0，N做正功，G做负功，选项D错误．
答案 A
考点二 功的计算
1．恒力的功
W＝Fscos α或动能定理．
2．变力做功
(1)用动能定理：W＝mv22－mv12.
(2)若功率恒定，则用W＝Pt计算．
3．滑动摩擦力做的功有时可以用力和路程的乘积计算
4．多个力的合力做的功
(1)先求F合，再根据W＝F合scos α计算，一般适用于整个过程中合力恒定不变的情况．
(2)先求各个力做的功W1、W2…Wn，再根据W总＝W1＋W2＋…＋Wn计算总功，这是求合力做功常用的方法．
【典例2】
(2011·宁波模拟)起重机以1 m/s2的加速度将质量为1 000 kg的货物由静止开始匀加速向上提升，若g取10 m/s2，则在1 s内起重机对货物所做的功是( )．
A．500 J B．4 500 J
C．5 000 J D．5 500 J
解析 货物的加速度向上，
由牛顿第二定律有：F－mg＝ma，
起重机的拉力F＝mg＋ma＝11 000 N，
货物的位移是s＝at2＝0.5 m，
做功为W＝Fs＝5 500 J．故D正确．
答案 D
【变式2】
一物体在水平面上，
图4－1－5
受恒定的水平拉力和摩擦力作用沿直线运动，已知在第1秒内合力对物体做的功为45 J，在第1秒末撤去拉力，其v－t图象如图4－1－5所示，g取10 m/s2，则( )．
A．物体的质量为5 kg
B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2
C．第1秒内摩擦力对物体做的功为60 J
D．第1秒内拉力对物体做的功为60 J
解析 由动能定理，45 J＝，
第1秒末速度v＝3 m/s，解出m＝10 kg，故A错误；
撤去拉力后加速度的大小
a＝ m/s2＝1 m/s2，
摩擦力f＝ma＝10 N，又f＝μmg，
解出μ＝0.1，故B错误；
第1秒内物体的位移s＝1.5 m，
第1秒内摩擦力对物体做的功
W＝－f·s＝－15 J，故C错误；
第1秒内加速度的大小
a1＝ m/s2＝3 m/s2，
设第1秒内拉力为F，则F－f＝ma1，
第1秒内拉力对物体做的功
W′＝F·s＝60 J，故D正确．
答案 D
考点三 功率的计算
【典例3】
一质量为m的物体，同时受几个力的作用而处于静止状态．某时刻其中一个力F突然变为，则经过时间t，合力的功率的大小是( )．
A. B. C. D.
解析 由于物体m受几个力的作用而处于静止状态，
合力为零，当某时刻其中一个力F突然变为时，
物体所受合力变为
F合＝，
物体在这个恒力作用下做匀加速直线运动，
a＝，经过时间t，
速度v＝at＝，
合力的功率P＝F合v＝，B正确．
答案 B
——计算功率的基本思路
1．首先判断待求的功率是瞬时功率还是平均功率．
2．(1)平均功率的计算方法．
①利用＝.②利用＝Fcos θ.
(2)瞬时功率的计算方法．
P＝Fvcos θ，v是t时刻的瞬时速度．
【变式3】
竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于球的速度，则下列说法中正确的是( )．
A．球在上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功
B．球在上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功
C．球在上升过程中克服重力做功的平均功率小于下降过程中重力做功的平均功率
D．球在上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力做功的平均功率
解析 上升过程重力做负功，
克服重力做的功和下降过程重力做功相等．
所以B选项正确．
考虑到空气阻力，上升时间比下降时间短，
根据P＝可知．C、D选项错误．
答案 B
3.机车的启动模型
(1)模型概述
物体在牵引力(受功率和速度制约)作用下，从静止开始克服一定的阻力，最后达到最大速度的整个加速过程，可看作“机车的启动”模型．
(2)模型特点
“机车启动”模型可分为两种情况．
①恒定功率启动．机车先做加速度逐渐减小的加速运动，最后匀速，其v－t图线如图4－1－6所示．
②恒定加速度启动．机车先做匀加速运动，再做加速度逐渐减小的变加速运动，最后匀速，其v－t图线如图4－1－7所示．
图4－1－6 图4－1－7
【典例】 (2009·四川理综)如右图4－1－8所示为修建高层建筑常用的塔式起重机．在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02 m/s的匀速运动．取g＝10 m/s2，不计额外功．求：
图4－1－8
(1)起重机允许输出的最大功率；
(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率．
教你审题
―→关键点：过程分析：重物由静止开始向上做匀加速直线运动―→起重机达到最大功率时保持功率不变―→直到匀速运动
―→属于机车匀加速启动模型
―→P＝Fv F－f＝ma vt＝at
―→自己试一试！
解析 (1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0的大小等于重力．P0＝F0vm①
F0＝mg②
代入数据，有：P0＝5.1×104 W③
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有：P0＝Fv1④
F－mg＝ma⑤
v1＝at1⑥
由③④⑤⑥，代入数据，得：t1＝5 s⑦
当时间为t＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度的大小为v2，输出功率为P，则v2＝at⑧
P＝Fv2⑨
由⑤⑧⑨，代入数据，得：P＝2.04×104 W.
答案 (1)5.1×104 W (2)5 s 2.04×104 W
图4－1－9
1．(2009·海南改编)一物体在外力的作用下从静止开始做直线运动，合外力方向不变，大小随时间的变化如图4－1－9所示．设该物体在t0和2t0时刻相对于出发点的位移分别是x1和x2，速度分别是v1和v2，合外力从开始至t0时刻做的功是W1，从t0至2t0时刻做的功是W2，则( )．
A．x2＝5x1 v2＝3v1
B．x2＝9x1 v2＝5v1
C．x2＝9x1 W2＝9W1
D．v2＝3v1 W2＝9W1
解析 由F0＝ma1＝m和2F0＝ma2＝m知：v2＝3v1.由x1＝v1t0和x2＝v1t0＋(v1＋v2)t0＝5x1，故A项正确，B项错．由W1＝F0x1和W2＝2F0×(v1＋v2)t0得W2＝8W1.故C、D项错．
答案 A
图4－1－10
2．(2009·辽宁、宁夏理综改编)水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ(0<μ<1)．现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动．设F的方向与水平面夹角为θ，如图4－1－10所示，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则( )．
A．F先增大后减小 B．F一直增大
C．F的功率减小 D．F的功率不变
解析 木箱在F作用下向右匀速运动的过程中，受4个力作用而平衡．即Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，解得：
F＝，F有极小值，所以A、B错误；F的功率P＝Fvcos θ＝，所以C正确，D错误．
答案 C
3．(2010·课标全国，16)如图4－1－11所示，在外力作用下某
图4－1－11
质点运动的vt图象为正弦曲线．从图中可以判断( )．
①在0～t1时间内，外力做正功 ②在0～t1时间内，外力的功率逐渐增大 ③在t2时刻，外力的功率最大 ④在t1～t3时间内，外力做的总功为零
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
解析 由动能定理可知，在0～t1时间内质点速度越来越大，动能越来越大，外力一定做正功，故①项正确；在t1～t3时间内，动能变化量为零，可以判定外力做的总功为零，故④项正确；由P＝F·v知0、t1、t2、t3四个时刻功率为零，故②③都错．
答案 C
图4－1－12
4．(2011·江苏卷)如图4－1－12所示，演员正在进行杂技表演．由图可估算出他将一个鸡蛋抛出的过程中对鸡蛋所做的功最接近于( )．
A．0.3 J B．3 J C．30 J D．300 J
解析 该题是估算题：一个鸡蛋质量约为50 g，根据图中可知鸡蛋上升高度约为0.5 m．则人对一个鸡蛋所做的功为W＝mgh＝0.25 J，故A项正确．
答案 A
5．(2011·海南卷，9)一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时起，第1秒内受到2 N的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1 N的外力作用．下列判断正确的是( )．
①0～2 s内外力的平均功率是W ②第2秒内外力所做的功是 J ③第2秒末外力的瞬时功率最大 ④第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
解析 由牛顿第二定律和运动学公式求出1 s末、2 s末速度的大小分别为：
v1＝2 m/s、v2＝3 m/s，故合力做功为W＝mv2＝4.5 J，
功率为P＝＝ W＝ W.
所以①对；
1 s末、2 s末功率分别为4 W、3 W.
所以③错；
第1秒内与第2秒动能增加量分别为：
mv12＝2 J，mv22－mv12＝2.5 J，
比值为4∶5.
答案 C
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