第2讲 动能和动能定理
动能和动能定理 Ⅱ(考纲要求)
1.动能
(1)定义：物体由于运动而具有的能．
(2)公式：Ek＝mv2.
(3)单位：焦耳，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2.
(4)矢标性：动能是标量，只有正值．
(5)动能是状态量，因为v是瞬时速度．
2．动能定理
内容
合外力对物体所做的功等于物体动能的变化
表达式
W＝ΔEk＝mv22－mv12
对定理的理解
W>0，物体的动能增加
W<0，物体的动能减少
W＝0，物体的动能不变
适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用
1．(2012·苏州模拟)一个小球从高处自由落下，则球在下落过程中的动能( )．
①与它下落的距离成正比 ②与它下落距离的平方成正比
③与它运动的时间成正比 ④与它运动时间的平方成正比
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
答案 C
2．(2012·中山模拟)质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则( )．
A．第二过程的速度增量大于第一过程的速度增量
B．第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍
C．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功
D．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍
解析 由题意知，两个过程中速度增量均为v，A错误；由动能定理知：W1＝mv2，W2＝m(2v)2－mv2＝mv2，故B正确，C、D错误．
答案 B
3．一个25 kg的小孩从高度为3.0 m的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0 m/s.取g＝10 m/s2，关于力对小孩做的功，以下结果正确的是( )．
A．合外力做功50 J B．阻力做功500 J
C．重力做功500 J D．支持力做功50 J
解析 合外力做的功W合＝Ek－0，即W合＝mv2＝×25×
22 J＝50 J，A项正确；WG－W阻＝Ek－0，故W阻＝mgh－mv2＝750 J－50 J＝700 J，B项错误；重力做功WG＝mgh＝25×10×3 J＝750 J，C错；小孩所受支持力方向上的位移为零，故支持力做的功为零，D错．
答案 A
4．如图4－2－1所示，一半径为R的半圆形轨道BC与一水平面相连，C为轨道的最高点，一质量为m的小球以初速度v0从圆形轨道B点进入，沿着圆形轨道运动并恰好通过最高点C，然后做平抛运动．求：
图4－2－1
(1)小球平抛后落回水平面D点的位置距B点的距离．
(2)小球由B点沿着半圆轨道到达C点的过程中，克服轨道摩擦阻力做的功．
解析 (1)小球刚好通过C点，由牛顿第二定律mg＝m
小球做平抛运动，有
2R＝gt2
s＝vCt
解得小球平抛后落回水平面D点的位置距B点的距离
s＝2R
(2)小球由B点沿着半圆轨道到达C点，由动能定理
－mg·2R－Wf＝mvC2－mv02
解得小球克服摩擦阻力做功
Wf＝mv02－mgR.
答案 (1)2R
(2)mv02－mgR
考点一 对动能定理的理解
1．动能定理公式中等号的意义
等号表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系：
(1)数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系．可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功．
(2)单位相同：国际单位都是焦耳．
(3)因果关系：合外力的功是引起物体动能变化的原因．
2．准确理解动能定理
动能定理适用于任何力作用下，以任何形式运动的物体(或系统)，是一标量式，不存在方向问题，它把过程量(做功)与状态量(动能)联系在一起，常用于求变力做功、分析复杂运动过程、判断能量间的转化关系等．
【典例1】
如图4－2－2所示，
图4－2－2
电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体．电梯在钢索的拉力作用下由静止开始竖直向上加速运动，当上升高度为H时，电梯的速度达到v，则在这个过程中，以下说法中正确的是( )．
A．电梯地板对物体的支持力所做的功等于
B．电梯地板对物体的支持力所做的功小于
C．钢索的拉力所做的功等于＋MgH
D．钢索的拉力所做的功大于＋MgH
解析 以物体为研究对象，由动能定理WN－mgH＝mv2，即WN＝mgH＋mv2，选项A、B错误．以系统为研究对象，由动能定理得：WT－(m＋M)gH＝(M＋m)v2，即WT＝(M＋m)v2＋(M＋m)gH>＋MgH，选项D正确，选项C错误．
答案 D
【变式1】
(2012·山东东营)
图4－2－3
人通过滑轮将质量为m的物体，沿粗糙的斜面由静止开始匀加速地由底端拉上斜面，物体上升的高度为h，到达斜面顶端的速度为v，如图4－2－3所示，则在此过程中( )．
A．物体所受的合外力做功为mgh＋mv2
B．物体所受的合外力做功为mv2
C．人对物体做的功为mgh
D．以上说法都不对
解析 物体沿斜面做匀加速运动，根据动能定理：W合＝WF－Wf－mgh＝mv2，其中Wf为物体克服摩擦力做的功．人对物体做的功即是人对物体的拉力做的功，所以W人＝WF＝Wf＋mgh＋mv2，A、C错误，B正确．
答案 B
考点二 动能定理在多过程中的应用
优先考虑应用动能定理的问题
(1)不涉及加速度、时间的问题．
(2)有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题．
(3)变力做功的问题．
(4)含有F、s、m、v、W、Ek等物理量的力学问题．
【典例2】
如图4－2－4所示，用特定材料制作的细钢轨竖直放置，半圆形轨道光滑，半径分别为R、2R、3R和4R，R＝0.5 m，水平部分长度L＝2 m，轨道最低点离水平地面高h＝1 m．中心有孔的钢球(孔径略大于细钢轨直径)，套在钢轨端点P处，质量为m＝0.5 kg，与钢轨水平部分的动摩擦因数为μ＝0.4.给钢球一初速度v0＝13 m/s.取g＝10 m/s2.求：
图4－2－4
(1)钢球运动至第一个半圆形轨道最低点A时对轨道的压力．
(2)钢球落地点到抛出点的水平距离．
解析 (1)球从P运动到A点过程
由动能定理得：
mg·2R－μmg·L＝mv12－mv02
由牛顿第二定律：N－mg＝m
由牛顿第三定律：N＝－N′
解得：N′＝－178 N．故对轨道压力为178 N方向竖直向下
(2)设球到达轨道末端点速度为v2，
对全程由动能定理得：
－μmg·5L－4mgR＝mv22－mv02
解得v2＝7 m/s
由平抛运动h＋8R＝gt2
s＝v2t
解得：s＝7 m.
答案 (1)178 N 竖直向下 (2)7 m
——应用动能定理的解题步骤
【变式2】
如图4－2－5所示，物体在有动物毛皮的斜面上运动，由于毛皮的特殊性，引起物体的运动有如下特点：①顺着毛的生长方向运动时，毛皮产生的阻力可以忽略，②逆着毛的生长方向运动时，会受到来自毛皮的滑动摩擦力，且动摩擦因数μ恒定．斜面顶端距水平面高度为h＝0.8 m，质量为m＝2 kg的小物块M从斜面顶端A由静止滑下，从O点进入光滑水平滑道时无机械能损失，为使M制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线B处的墙上，另一端恰位于水平轨道的中点C.已知斜面的倾角θ＝53°，动摩擦因数均为μ＝0.5，其余各处的摩擦不计，重力加速度g＝10 m/s2，下滑时逆着毛的生长方向．求：
图4－2－5
(1)弹簧压缩到最短时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)．
(2)若物块M能够被弹回到斜面上，则它能够上升的最大高度是多少？
(3)物块M在斜面上下滑过程中的总路程．
解析 (1)物块M从斜面顶端A运动到弹簧压缩到最短，
由动能定理得mgh－μmgcos θ－Ep＝0
则弹性势能Ep＝mgh－μmgcos θ＝10 J.
(2)设物块M第一次被弹回，
上升的最大高度为H，
由动能定理得
mg(h－H)－μmgcos θ＝0
则H＝h－μcos θ＝0.5 m.
(3)物块M最终停止在水平面上，
对于运动的全过程，
由动能定理有mgh－μmgcos θ·s＝0
物块M在斜面上下滑过程中的总路程
s＝＝2.67 m.
答案 (1)10 J (2)0.5 m (3)2.67 m
考点三 用动能定理求变力的功(小专题)
一、状态分析法
动能定理不涉及做功过程的细节，故求变力功时只分析做功前后状态即可．
【典例3】
如图4－2－6所示，
图4－2－6
质量为m的物体被线牵引着在光滑的水平面上做匀速圆周运动，拉力为F时，转动半径为r.当拉力增至8F时，物体仍做匀速圆周运动，其转动半径为，求拉力对物体做的功．
解析 对物体运用牛顿第二定律得拉力为F时，
F＝m，①
拉力为8F时，8F＝m.②
联立①②及动能定理得：
拉力做功W＝mv22－mv12＝2Fr－Fr＝Fr.
答案 Fr
二、过程分割法
有些问题中，作用在物体上的某个力在整个过程中是变力，但若把整个过程分为许多小段，在每一小段上此力就可看做是恒力．分别算出此力在各小段上的功，然后求功的代数和．即可求得整个过程变力所做的功．
【典例4】
如图4－2－7所示，质量为m的物体静
图4－2－7
止于光滑圆弧轨道的最低点A，现以始终沿切线方向、大小不变的外力F作用于物体上使其沿圆周转过到达B点，随即撤去外力F，要使物体能在竖直圆轨道内维持圆周运动，外力F至少为多大？
解析 物体从A点到B点的运动过程中，由动能定理可得
WF－mgR＝mvB2①
如何求变力F做的功呢？过程分割，将AB划分成许多小段，则当各小段弧长Δs足够小时，在每一小段上，力F可看做恒力，且其方向与该小段上物体位移方向一致，有
WF＝FΔs1＋FΔs2＋…＋FΔs1＋…＝F(Δs1＋Δs2＋…＋Δs1＋…)＝F·R②
从B点起撤去外力F，物体的运动遵循机械能守恒定律，由于在最高点维持圆周运动的条件是mg≤m，即在圆轨道最高点处速度至少为.故由此机械能守恒定律得：
mvB2＝mgR＋m③
联立①②③式得：F＝.
答案
三、对象转换法
在有些求功的问题中，作用在物体上的力可能为变力，但转换对象后，就可变为求恒力功．
【典例5】
如图4－2－8所示，质量为2 kg的木块套在光滑的竖直杆上，
图4－2－8
用60 N的恒力F通过轻绳拉木块，木块在A点的速度vA＝3 m/s则木块运动到B点的速度vB是多少？(木块可视为质点，g取10 m/s2)
解析 先取木块作为研究对象，则由动能定理得：
WG＋WT＝mvB2－mvA2①
其中WG＝－mg·AB，WT是轻绳上张力对木块做的功，
由于力的方向不断变化，这显然是一个变力做的功，对象转换：
研究恒力F的作用点，在木块由A运动到B的过程中，
恒力F的功WF＝F(AC－BC)，它在数值上等于WT.
故①式可变形为：－mgAB＋F(AC－BC)＝mvB2－mvA2，
代入数据解得vB＝7 m/s.
答案 7 m/s
8.规范答题指导
阅卷教师揭秘
在阅卷过程中，我们看到学生计算题的答题卷面，有时不是因为物理知识不够扣分，而是因为答题不规范扣分，很是可惜．
高考试题中对动能定理的考查多以计算题形式出现，下面以动能定理的应用为例谈一下规范解题的几大要素．
1．文字说明
(1)研究对象个体或系统、过程或状态．
(2)所列方程的依据名称
(3)题目的隐含条件，临界条件
(4)非题设字母，符号的物理意义．字母符号书写，使用要规范，题目给了符号一定不要再另设符号．尊重课本常用符号．
(5)规定的正方向，零势点(面)及所建立的坐标系
(6)结果的物理意义，给出明确答案
2．必要方程
(1)写出符合题意的原始方程，不能写变形式，如：要“W＝mv2”不要“v＝ ”．
(2)要用字母表述方程，不要写有代入数据的方程，方程不能相“约”，如“mgh＝mv2”．
(3)要用原始方程组联立求解，不要用连等式，不要不断的“续”进一些内容．
(4)方程式有多个时，应分步列，并对各方程式编号，不要合写一式，以免一错全错．
3．数字运用
(1)几何关系只说结果，不必证明．
(2)数字相乘，要用“×”，不用“.”．
(3)卷面上不能打“/”相约．
4．答题模板
解 设……(未知量)
对……过程由……公式得：
……(具体问题的原始方程)
对……过程由……公式得．
……(具体问题的原始方程)
联立以上各式(或联立①②式)得：
……(由已知量符号表示)
＝……＝“结果”(代入数据得结果，并注意待求量的数值及单位)【典例】 (2011·浙江卷，24)(20分)节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车．有一质量m＝1 000 kg的混合动力轿车，在平直公路上以v1＝90 km/h匀速行驶，发动机的输出功率为P＝50 kW.当驾驶员看到前方有80 km/h的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，运动L＝72 m后，速度变为v2＝72 km/h.此过程中发动机功率的用于轿车的牵引，用于供给发电机工作，发动机输送给发电机的能量最后有50%转化为电池的电能．假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变．求：
(1)轿车以90 km/h在平直公路上匀速行驶时，所受阻力F阻的大小；
(2)轿车从90 km/h减速到72 km/h过程中，获得的电能E电；
(3)轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能E电维持72 km/h匀速运动的距离L′.
解 (1)轿车牵引力与输出功率的关系P＝F牵v
将P＝50 kW，v1＝90 km/h＝25 m/s代入得
F牵＝＝2×103 N．(4分)
当轿车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，有F阻＝2×103 N．(2分)
(2)在减速过程中，注意到发动机只有P用于汽车的牵引．
根据动能定理有Pt－F阻L＝mv22－mv12(5分)
代入数据得Pt＝1.575×105 J(3分)
电源获得的电能为
E电＝50%×Pt＝6.3×104 J．(2分)
(3)根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为F阻＝2×103 N．在此过程中，由能量守恒定律可知，仅有电能用于克服阻力做功，则E电＝F阻L′(2分)
代入数据得L′＝31.5 m．(2分)
答案 (1)2×103N (2)6.3×104J (3)1.5 m
一、动能及动能定理的单独考查(低频考查)
1．(2009·上海单科，5)小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面．在上升至离地高度h处，小球的动能是势能的2倍，到达最高点后再下落至离地高度h处，小球的势能是动能的2倍，则h等于( )．
A. B. C. D.
解析 设小球的初动能为Ek0，阻力为F，根据动能定理，上升到最高点有，Ek0＝(mg＋F)H，上升到离地面h处有，
Ek0－2mgh＝(mg＋F)h，从最高点到离地面h处，有
(mg－F)(H－h)＝mgh，解以上三式得h＝H.
答案 D
2．(2011·课标全国卷，15改编)一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用．此后，该质点的动能不可能( )．
A．一直增大
B．先逐渐减小至零，再逐渐增大
C．先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小
D．先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大
解析 若力F的方向与初速度v0的方向一致，则质点一直加速，动能一直增大，选项A正确．若力F的方向与v0的方向相反，则质点先减速至速度为零后反向加速，动能先减小至零后增大，选项B正确．若力F的方向与v0的方向成一钝角，如斜上抛运动，物体先减速，减到某一值，再加速，则其动能先减小至某一非零的最小值，再增大，选项D正确．
答案 C
二、动能定理的应用且综合其他考点出现(高频考查)
3．(2009·上海单科，20)质量为5×103 kg的汽车在t＝0时刻速度v0＝10 m/s，随后以P＝6×104 W的额定功率沿平直公路继续前进，经72 s达到最大速度，该汽车受恒定阻力，其大小为2.5×103 N．求：
(1)汽车的最大速度vm；
(2)汽车在72 s内经过的路程s.
解析 (1)达到最大速度时，牵引力等于阻力
P＝fvm
vm＝＝ m/s＝24 m/s
(2)由动能定理可得
Pt－fs＝mvm2－mv02
所以s＝
＝ m＝1 252 m
答案 (1)24 m/s (2)1 252 m
图4－2－9
4．(2011·江苏卷，14)如图4－2－9所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置．将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M＝km的小物块相连，小物块悬挂于管口．现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变．(重力加速度为g)．
(1)求小物块下落过程中的加速度大小；
(2)求小球从管口抛出时的速度大小；
(3)试证明小球平抛运动的水平位移总小于L.
解析 (1)设细线中的张力为T，根据牛顿第二定律得
Mg－T＝Ma T－mgsin 30°＝ma
且M＝km 解得a＝g.
(2)设M落地时速度大小为v，m射出管口时速度大小为v0.
M落地前由动能定理得Mg·Lsin 30°－mg·Lsin 30°·sin 30°＝(M＋m)v2，对m，M落地后由动能定理得
－mg(L－Lsin 30°)sin 30°＝mv02－mv2
联立解得v0＝ (k>2)．
(3)小球做平抛运动，则s＝v0t Lsin 30°＝gt2
解得s＝L 由<得s＝L <L.
答案 (1)g (2) (k>2) (3)见解析
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