第1讲　运动的合成与分解


运动的合成和分解　Ⅱ(考纲要求)  1.曲线运动 (1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向． (2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动． (3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上． 2．运动的合成与分解 必修二　第五章　抛体运动与圆周运动　万有引力定律(1)基本概念 ①运动的合成：已知分运动求合运动． ②运动的分解：已知合运动求分运动． (2)分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解． (3)遵循的规律 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则． (4)合运动与分运动的关系 ①等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始，同时进行，同时停止． ②独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响． ③等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果． 温馨提示　(1)合运动的方向就是物体实际运动的方向． (2)



一个定则和三个原则 (1)一个定则：运动合成与分解的法则是平行四边形定则． (2)三个原则：运动分解时坚持三个原则 ①等效性原则：分运动的效果与实际的合运动完全等效，可以互相替代； ②实效性原则：根据运动的实际效果将合运动分解； ③灵活性原则：在不违背等效性原则的前提下，根据解题的需要灵活分解．

1．一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．速度一定不断改变，加速度也一定不断改变 B．速度一定不断改变，加速度可以不变 C．速度可以不变，加速度一定不断改变 D．速度可以不变，加速度也可以不变 解析　做曲线运动的物体速度方向不断改变，加速度一定不为零，但加速度可能改变也可能不变，所以做曲线运动的物体可以是匀变速运动也可以是非匀变速运动． 答案　B 2．一个物体在相互垂直的恒力F1和F2作用下，由静止开始运动，经过一段时间后，突然撤去F2，则物体以后的运动情况是(　　)． A．物体做匀变速曲线运动 B．物体做变加速曲线运动 C．物体沿F1的方向做匀加速直线运动 D．物体做直线运动 答案　A 3．(2012·唐山模拟)关于运动的合成，下列说法中正确的是(　　)． A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大 B．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等 C．只要两个分运动是直线运动，合运动一定是直线运动 D．两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动 答案　B 4．质点在某一平面内沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力．图中可能正确的是(　　)．
解析　曲线运动速度方向沿轨迹的切线方向，其加速度或合外力跟速度有一定夹角，且指向轨迹弯曲的内侧，只有选项D正确． 答案　D 5.
图5－1－1 如图5－1－1所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动．下列关于铅笔笔尖的运动及其所留下的痕迹的判断中正确的有(　　)． ①笔尖留下的痕迹是一条抛物线　②笔尖留下的痕迹是一 条倾斜的直线　③在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变　④在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终不变 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 解析　以笔尖初始位置为坐标原点，沿刻度尺方向建立x轴，沿垂直刻度尺方向建立y轴，此运动为类平抛运动，利用运动的合成与分解可知，①④正确． 答案　C
 考点一　对物体做曲线运动条件的理解及应用 物体运动的形式，按速度分类有匀速运动和变速运动，按轨迹分类有直线运动和曲线运动．运动的形式取决于物体的初速度v0和合外力F，具体分类如下： (1)F＝0：静止或匀速运动． (2)F≠0：变速运动． ①F为恒量时：匀变速运动． ②F为变量时：非匀变速运动． (3)F和v0的方向在同一直线上时：直线运动． (4)F和v0的方向不在同一直线上时：曲线运动． 【典例1】 物体受到几个力的作用处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体不可能做(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．匀速直线运动或静止 B．匀变速直线运动 C．曲线运动 D．匀变速曲线运动 解析　物体处于平衡状态，则原来几个力的合力一定为零，现受到另一恒力作用，物体一定做变速运动，A错误．若物体原来做匀速直线运动，且速度方向与恒力方向共线则物体做匀变速直线运动，B正确．若速度方向与恒力方向不在同一直线上，则物体做曲线运动．因施加的力是恒力，物体的加速度也是恒定的，因此物体做匀变速曲线运动，C、D正确． 答案　A 【变式1】 两个互成角度的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，它们的合运动的轨迹(　　)． A．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是直线 B．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是曲线 C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线 D．如果＝，那么轨迹一定是直线 解析　做曲线运动的条件是合外力的方向(即合加速度的方向)与速度的方向不在一条直线上，如果＝，那么，合加速度的方向与合速度方向一定在一条直线上，所以D正确． 答案　D 考点二　合运动的性质和轨迹 1．合力方向与速度方向的关系 物体做曲线运动时，合力的方向与速度方向一定不在同一条直线上，这是判断物体是否做曲线运动的依据． 2．合力方向与轨迹的关系 物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧． 3．速率变化情况判断 (1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大； (2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小； (3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变． 【典例2】 (2012·安徽六校联考)
图5－1－2 如图5－1－2所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是(　　)． A．质点经过C点的速率比D点的大 B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90° C．质点经过D点时的加速度比B点的大 D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小 解析　质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变；由于在D点速度方向与加速度方向垂直，则在C点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，所以质点由C到D速率减小，所以C点速率比D点大． 答案　A 【变式2】 一质点在恒力F的作用下，
图5－1－3 由O点运动到A点的轨迹如图5－1－3所示，在A点时的速度方向与x轴平行，则恒力F的方向可能沿图示中的(　　)． ①F1的方向　②F2的方向　③F3的方向　④F4的方向 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 解析　做曲线运动的物体，所受恒力F一定指向轨迹曲线的内侧，且不可能与某时刻的速度在一条直线上，因此只有F3、F4是可能的方向，③④正确． 答案　B
 　　　5.小船渡河模型  (1)模型概述  在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变方向在180°范围内(不变的速度所在直线的一侧)变化．我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究．这样的运动系统可看作“小船渡河模型”．  (2)模型特点  ①船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．  ②三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水的流速)、v(船的实际速度)．  ③三种情景  a.过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽)．  b.过河路径最短(v2＜v1时)：合速度垂直于河岸，航程最短，x短＝d.  
 图5－1－4  c.过河路径最短(v2＞v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图5－1－4所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．  由图可知：sin θ＝，最短航程：x短＝＝d.    【典例】 如图5－1－5所示，
 图5－1－5  一条小船位于200 m宽的河正中A点处，从这里向下游100 m处有一危险区，当时水流速度为4 m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是(　　)．  　　　　　　　　　　　　　　　　　　    A. m/s B. m/s  C.2 m/s D．4 m/s  解析　
如图选取临界情况进行研究，假设小船刚好避开危险区沿直线到达对岸B点处，根据运动的合成与分解可知，当船速的方向与AB垂直时，船速最小，tan θ＝＝，θ＝30°，故v船＝v水sin θ＝4× m/s＝2 m/s.  答案　C  
 1．(2009·广东)船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2.为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解析　船的实际运动方向为合运动方向，由题意知，船头应垂直于河岸，则C项正确． 答案　C 2．(2009·江苏)在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力，下列图中描绘下落速度的水平分量大小vx、竖直分量大小vy与时间t的关系图象，可能正确的是(　　)．
解析　跳伞运动员下落过程中受到的空气阻力并非为恒力，与速度有关，且速度越大受到的阻力越大．竖直方向运动员受重力和空气阻力，速度逐渐增大，阻力增大合力减小，加速度减小．水平方向只受阻力，速度减小，阻力减小，加速度减小．在v－t图象中图线的斜率表示加速度，故B项正确． 答案　B 3．(2010·上海单科)降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞(　　)． A．下落的时间越短 B．下落的时间越长 C．落地时速度越小 D．落地时速度越大 解析　风沿水平方向吹，不影响竖直速度，故下落时间不变，A、B两项均错．风速越大，则合速度越大，故C项错误、D项正确． 答案　D 4．(2011·四川卷，22(1))某研究性学习小组进行如下实验：如图5－1－6所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R.将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R的坐标为(4,6)，此时R的速度大小为________cm/s.R在上升过程中运动轨迹的示意图是________．(R视为质点)
图5－1－6
解析　红蜡块有水平方向的加速度，所受合外力指向曲线的内侧，所以其运动轨迹应如D图所示，因为竖直方向匀速，由y＝6 cm＝v0t知t＝2 s，水平方向x＝·t＝4 cm，所以vx＝4 cm/s，因此此时R的速度大小v＝＝5 cm/s. 答案　5　D 5.
图5－1－7 (2011·江苏卷，3)如图5－1－7所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为(　　)． A．t甲t乙 D．无法确定 解析　设两人在静水中的游速均为v0，水速为v，则 t甲＝＋＝ t乙＝＝< 故A、B、D错，C对． 答案　C

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