第2讲 电势能与电势差
电势能、电势 Ⅰ(考纲要求)
1.电势能
(1)电场力做功
①特点：电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关．
②计算方法
a．W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离．
b．WAB＝qUAB，适用于任何电场．
(2)电势能
①定义：电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功．
②电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减小量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.
2．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势，用φ表示．在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势时电场力所做的功，电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负．
(2)公式：φ＝(与试探电荷无关)
(3)单位：伏特(V)
(4)电势与电场线的关系：沿电场线方向电势降低．(电场线指向电势降低最快的方向)
(5)零电势位置的规定：电场中某一点的电势的数值与零电势的选择有关，即电势的数值决定于零电势的选择．(大地或无穷远默认为零)
3．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面叫做等势面．
(2)等势面的特点
①等势面一定和电场线垂直．
②等势面上各点电势相等，在等势面上移动电荷时电场力不做功．
③电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面．
④电场线越密的地方，等差等势面越密.
电势差 Ⅱ(考纲要求)
1.定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做功与移动电荷的电荷量的比值．
2．定义式：UAB＝.
3．电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA.
4．影响因素：电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关，与零电势点的选取无关.
匀强电场中电势差与电场强度的关系
Ⅰ(考纲要求)
图6－2－1
1．电势差与电场强度的关系式：UAB＝Ed，其中d为电场中两点间沿电场方向的距离．(如图6－2－1所示)
2．电场强度的方向和大小：电场中，电场强度方向是指电势降低最快的方向．在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．
特别提醒：
(1)U＝Ed只适于匀强电场的定量计算．
(2)在非匀强电场中也可用U＝Ed定性判断电势差的大小．
1．下列关于电荷在电场中电势能的说法正确的是( )．
A．电荷在电场强度大的地方，电势能一定大
B．电荷在电场强度为零的地方，电势能一定为零
C．电荷只在电场力的作用下从某点移动到另一点，电荷的电势能一定减少
D．电荷只在电场力的作用下从某点移动到另一点，电荷的电势能可能增加，也可能减少
解析
答案 D
2．下列说法正确的是( )．
A．A、B两点的电势差等于将正电荷从A点移到B点时电场力所做的功
B．电势差是一个矢量
C．由于电场力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关
D．A、B两点的电势差是恒定的，不随零电势面的不同而改变，所以UAB＝UBA
解析
答案 C
图6－2－2
3．(2012·重庆模拟)如图6－2－2所示，正点电荷Q产生的电场中，已知A、B间的电势差为U，现将电荷量为q的正点电荷从B移到A，则( )．
A．外力克服电场力做功QU，电势能增加qU
B．外力克服电场力做功qU，电势能增加QU
C．外力克服电场力做功qU，电势能增加qU
D．外力克服电场力做功QU，电势能减少QU
解析 本题考查电场力做功的计算，电场力做功和电势能的变化关系等知识点．根据顺着电场线的方向，电势依次降低，可知UBA<0，那么正点电荷从B移动到A过程中，电场力做功为W＝qUBA<0，表示外力克服电场力做功qU，电场力做负功，则电荷的电势能增加qU.
答案 C
图6－2－3
4．(2011·湖北宜昌高三检测)如图6－2－3所示是一个匀强电场的等势面，每两个相邻等势面相距2 cm，由此可以确定电场强度的方向和数值是( )．
A．竖直向下，E＝100 V/m
B．水平向左，E＝100 V/m
C．水平向左，E＝200 V/m
D．水平向右，E＝200 V/m
解析 由电势降低最快的方向就是电场强度的方向以及电场线与等势面垂直的特点可知，电场强度方向水平向左，又由E＝得E＝＝100 V/m.故B正确．
答案 B
5．(2011·江苏盐城、泰州联考，10)
图6－2－4
如图6－2－4所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点．据此可知下列说法错误的是( )．
A．三个等势面中，c的电势最高
B．带电质点通过P点时的电势能较Q点大
C．带电质点通过P点时的动能较Q点大
D．带电质点通过P点时的加速度较Q点大
解析
等差等势面密集的地方电场强度大，稀疏的地方电场强度小，由图知P点的电场强度大，则质点通过P点时的加速
度大，故选项D对．根据电场线与等势面垂直，定性画出过P、Q两点的电场线，假设质点从Q向P运动，根据初速度的方向和轨迹偏转方向可判定质点在Q点所受电场力F的方向如图所示，可以得出等势面c的电势最高，选项A正确．由Q向P运动过程中，电场力做负功，动能减少，电势能增加，故选项B对C错．若质点从P向Q运动，也可得出选项B正确．
答案 C
考点一 电场线、电场强度、电势、等势面之间
的关系
1．电场线与电场强度的关系：电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上每点的切线方向表示该点的电场强度方向．
2．电场线与等势面的关系：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面．
3．电场强度数值与电势数值无直接关系：电场强度大(或小)的地方电势不一定大(或小)，零电势可人为选取，而电场强度是否为零则由电场本身决定．
4．几种常见的典型电场的等势面比较
电场
等势面(实线)图样
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种
点电荷的
电场
连线的中垂面上的电势为零
等量同种
正点电荷
的电场
连线上，中点电势最低，而在中垂线上，中点电势最高
【典例1】
如图6－2－5所示，
图6－2－5
实线表示电场线，虚线表示只受电场力作用的电荷运动轨迹，a、b为运动轨迹上的两点，可以判定( )．
A．电荷在a点速度大于在b点速度
B．电荷为负电荷
C．电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
D．a点的电势低于b点的电势
解析 沿着电场线方向电势越来越低，可得a点电势高于b点电势，D错误；该电荷在电场中做曲线运动，由曲线特点可得电场力应指向轨迹的内侧，即受力方向与圆弧上的各点电场强度的方向一致，电荷必带正电，B错误；电荷若从a运动到b，由于a点电势高于b点电势，a、b间电势差为正值，电荷带正电，由Wab＝qUab可得电场力做正功，所以电荷在b点动能大于在a点动能，电荷在b点速度大于在a点速度；电荷若从b运动到a，由Wba＝qUba可得电场力做负功，所以电荷在b点动能大于在a点动能，电荷在b点速度大于a点速度，A错误；由于a点电势高于b点电势，正电荷在电势高处电势能大，所以电荷在a点的电势能大于在b点的电势能，C正确．
答案 C
1．电势高低的三种判断方法
判断角度
判断方法
依据电场线方向
沿电场线方向电势逐渐降低
依据电场力做功
根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
依据场源电荷的
正负
取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
2.电势能高低的四种判断方法
判断角度
判断方法
做功判断法
电场力做正功，电势能减小；
电场力做负功，电势能增加
电荷电势法
正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
公式法
由Ep＝qφp，将q、φp的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大电势能越大，Ep的负值越小，电势能越大
能量守恒法
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，电势能增加
图6－2－6
【变式1】
等量同种带正电的点电荷的连线和其中垂线如图6－2－6所示．一个带负电的试探电荷，先从图中a点沿直线移到b点，再从b点沿直线移到c点，则( )．
A．试探电荷所受电场力的方向一直不变
B．试探电荷所受电场力的大小一直增大
C．试探电荷的电势能一直减少
D．a、b、c三点的电势为：φa>φb>φc
解析 根据等量同种正点电荷电场线分布特点．直线ab上某处电场强度有极大值，则选项A、B错误；因直线ab上电场强度方向向左，bc上电场强度方向向下，负试探电荷在直线ab上受到的电场力方向向右，从a点移到b点电场力做正功，电势能减少，负试探电荷在bc上受到的电场力方向向上，从b点移到c点电场力做正功，电势能减少，选项C正确；又沿着ab、bc方向电势升高，故选项D错误．
答案 C
考点二 对电势差概念的理解及应用
图6－2－7
【典例2】
如图6－2－7所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为＋Q和－Q，A、B相距为2d.MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球p，质量为m、电荷量为＋q(可视为点电荷，不影响电场的分布．)现将小球p从与点电荷A等高的C处由静止开始释放，小球p向下运动到距C点距离为d的O点时，速度为v.已知MN与AB之间的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g.可知( )．
A．C、O间的电势差UC O＝
B．由等量异种电荷电场分布的特点知UC O＝UD O
C．小球p经过O点时的加速度a＝－g
D．小球p经过与点电荷B等高的D点时的速度vD＝v
解析 本题考查等量异种电荷电场特点和电场力做功．小球由C运动到O过程，只有重力和电场力做功，应用动能定理分析可解，故A选项错误；由等量异种电荷电场特点，可知C、O、D三点电势逐渐降低，UC O＝UOD，故B选项错误；对小球在O点进行受力分析，求合力，根据牛顿第二定律可得加速度a＝＋g，故C选项错误；由C到D根据动能定理分析可解，可知D选项正确．
答案 D
【变式2】
如图6－2－8所示，
图6－2－8
a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间距离等于b、c间距离．用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定( )
A．φa＞φb＞φc B．φa－φb＝φb－φc
C．Ea＞Eb＞Ec D．Ea＝Eb＝Ec
解析 判断电场强度的大小，需看电场线的疏密，此题不具备作出判断的条件，选项C是正点电荷产生的电场的结论，而选项D是匀强电场的结论，这都是为按思维定势的考生准备的选项．
根据沿着电场线的方向电势降低，可以判断A选项正确．虽然a、b间距离等于b、c间距离，但只有在匀强电场中，沿场强方向相同距离的电势差相等，因此电势差的大小也就无法判断．
答案 A
考点三 电场中的功能关系
1．若只有电场力做功―→电势能与动能之和保持不变；
2．若只有电场力和重力做功―→电势能、重力势能、动能之和保持不变；
3．除重力之外，其他各力对物体做的功―→等于物体机械能的变化．
4．所有力对物体所做的功―→等于物体动能的变化．
【典例3】
如图6－2－9所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，
图6－2－9
相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，R同时在等势面b上，据此可知( )．
A．三个等势面中，c的电势最低
B．带电质点在P点的电势能比在Q点的小
C．带电质点在P点的动能与电势能之和比在Q点的小
D．带电质点在R点的加速度方向垂直于等势面b
解析 根据题意画出电场线、粒子在P处的速度方向和受力方向如图所示，可知电场线应垂直等势线由c经b至a，所以a电势最低，选项A错误；粒子由P经R至Q的过程中，电场力对其做正功，带电质点的电势能减少，选项B错误；由于质点运动过程中只有电场力做功，所以质点的电势能与动能之和保持不变，选项C错误；根据电场线与电场强度的几何关系可知， 选项D正确．
答案 D
1．电场力做功的计算方法
(1)由公式W＝Flcos θ计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为W＝qElcos θ.
(2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场．
(3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk.
(4)由电势能的变化计算：W＝Ep1－Ep2.
2．带电粒子在电场中做曲线运动时正负功的判断
(1)粒子速度方向一定沿轨迹的切线方向，粒子受力方向一定沿电场线指向轨迹凹侧．
(2)电场力与速度方向间夹角小于90°，电场力做正功；夹角大于90°，电场力做负功．
【变式3】
在电场强度大小为E的匀强电场中，一质量为m、带电荷量为＋q的物体以某一初速度沿电场反方向做匀减速直线运动，其加速度大小为，物体运动s距离时速度变为零，则下列说法错误的是( )．
A．物体克服电场力做功qEs
B．物体的电势能减少了0.8qEs
C．物体的电势能增加了qEs
D．物体的动能减少了0.8qEs
解析 由加速度大小a＝可知，带电体除受电场力作用外，还受其他力作用，由功能关系可知，克服电场力做功W电＝ΔE电＝qEs.由功能关系，动能的减少量为|ΔEk|＝F合s＝mas＝0.8qEs.
答案 B
2.发散思维法
公式E＝的拓展及应用技巧
发散思维又称扩散思维或求异思维．是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维方法，能使所掌握的知识进行多维拓展，它是创造性思维的主要模式之一．“一式二结论”巧解电场强度与电势差相关的问题．
(1)一式：E＝＝，其中d是沿电场强度方向上的距离．
(2)二结论：结论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势，等于φC＝，如图6－2－10所示．
图6－2－10 图6－2－11
结论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图6－2－11所示．
图6－2－12
【典例】 (2009·辽宁、宁夏理综)空间有一匀强电场，在电场中建立如图6－2－12所示的直角坐标系O－xyz，M、N、P为电场中的三个点，M点的坐标(0，a,0)，N点的坐标为(a,0,0)，P点的坐标为(a，，)．已知电场方向平行于直线MN，M点电势为0，N点电势为1 V，则P点的电势为( )．
A. V B. V C. V D. V
解析 将立体图画成平面图，如右图所示，P′为P在xOy平面上的投影，P与P′具有相等的电势，可见P′点沿电场线方向为MN的四等分线，P′点的电势为 V，故P点的电势为 V，A、B、C错误，D正确；
答案 D
一、电场的能的性质(高频考查)
图6－2－13
1．(2009·上海改编)位于A、B处的两个带有不等量负电的点电荷在平面内电势分布如图6－2－13所示，图中实线表示等势线，则( )．
A．a点和b点的电场强度相同
B．正电荷从c点移到d点，电场力做负功
C．负电荷从a点移到c点，电场力做负功
D．正电荷从e点沿图中虚线移到f点电势能先减小后增大
解析 电场线与等势面垂直，且由电势较高的等势面指向电势较低的等势面，再根据负电荷周围电场线的特点知，φd>φc>φe>φf>φa＝φb，故正电荷在c点的电势能小于在d点的电势能，将正电荷由c点移到d点电场力做负功，B错误，同理知C错误；正电荷沿虚线由e点移到f点，电势能先减小后增大，D正确；a、b两处电场强度方向不同，故电场强度不同，A错误．
答案 D
2．(2010·天津理综，5)在静电场中，将一正电荷从a点移到b点，电场力做了负功，则( )．
A．b点的电场强度一定比a点大
B．电场线方向一定从b指向a
C．b点的电势一定比a点高
D．该电荷的动能一定减小
解析 电场力做负功，该电荷电势能增加．正电荷在电势高处电势能较大，C正确；电场力做负功同时电荷可能还受其他力作用，总功不一定为负．由动能定理可知，动能不一定减小，D错；电势高低与电场强度大小无必然联系，A错；b点电势高于a点，但a、b可能不在同一条电场线上，B错．
答案 C
图6－2－14
3．(2010·山东理综，20改编)某电场的电场线分布如图6－2－14所示，以下说法正确的是( )．
A．c点电场强度大于b点电场强度
B．a点电势低于b点电势
C．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
D．若在d点再固定一点电荷－Q，将一试探电荷＋q由a移至b的过程中，电势能减小
解析 电场线的疏密表示电场的强弱，A项错误；沿着电场线方向电势逐渐降低，B项错误；＋q在a点所受电场力方向沿电场线的切线方向，由于电场线为曲线，所以＋q不沿电场线运动，C项错误；在d点固定一点电荷－Q后，a点电势仍高于b点，＋q由a移至b的过程中，电场力做正功，电势能减小，D项正确．
答案 D
图6－2－15
4．(2011·江苏卷，8改编)一粒子从A点射入电场，从B点射出，电场的等势面和粒子的运动轨迹如图6－2－15所示，图中左侧前三个等势面彼此平行，不计粒子的重力．下列说法正确的有( )．
A．粒子带正电荷
B．粒子的加速度先不变，后变小
C．粒子的速度不断增大
D．粒子的电势能先减小，后增大
解析 电场线如右图所示，由于受力总指向运动轨迹的凹侧，故粒子带负电荷，A错；由电场线分布知电场力先不变，后越来越小，B对；电场力一直做负功，粒子速度一直减小，电势能一直增加，C、D错．
答案 B
二、电势、电势差、与电场强度的关系(中频考查)
5．(2010·江苏单科，5)空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图6－2－16所示．下列说法中正确的是( )．
图6－2－16
A．O点的电势最低
B．x2点的电势最高
C．x1和－x1两点的电势相等
D．x1和x3两点的电势相等
解析 电势高低与电场强度大小无必然联系．O点电场强度为0，电势不一定最低，A错；x2点是电场强度正向最大的位置，电势不是最高，B错；将电荷从x1移到－x1可由题图知电场力做功为零，故两点电势相等，而把电荷从x1移到x3电场力做功不为零，C对，D错．
答案 C
图6－2－17
6．(2010·安徽理综)如图6－2－17所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为( )．
A．UOP＝－10sin θ(V)
B．UOP＝10sin θ(V)
C．UOP＝－10cos θ(V)
D．UOP＝10cos θ(V)
解析 由于电场强度方向向下，据题可知UOP<0，则UOP＝－ERsin θ＝－100×0.1sin θ(V)＝－10sin θ(V)，故正确答案为A.
答案 A
7．(2011·海南卷，1)关于静电场，下列说法正确的是( )．
A．电势等于零的物体一定不带电
B．电场强度为零的点，电势一定为零
C．同一电场线上的各点，电势一定相等
D．负电荷沿电场线方向移动时，电势能一定增加
解析 零电势点是人为选择的参考点，所以电势等于零的物体可以带电，也可以不带电，故A错；电场强度和电势是两个不同的物理量，电场强度为零的点，电势不一定为零，B错；沿着电场线方向电势不断降低，故C错；负电荷在电场中受到的电场力的方向与电场线方向相反，故负电荷沿电场线方向移动时，电场力做负功，电势能增加，故D对．
答案 D
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