第3讲 电容器 带电粒子在匀强电场中的运动
常见电容器 电容器的电压、电荷量和电容
的关系 Ⅰ(考纲要求)
1．常见电容器
(1)组成：由两个彼此绝缘又相互靠近的导体组成．
(2)带电荷量：一个极板所带电荷量的绝对值．
(3)电容器的充、放电
充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能．
放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能．
2．电容
(1)定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值．
(2)定义式：C＝.
(3)物理意义：表示电容器容纳电荷本领大小的物理量．
(4)单位：法拉(F)
1 F＝106 μF＝1012 pF
3．平行板电容器
(1)影响因素：平行板电容器的电容与正对面积成正比，与介质的介电常数成正比，与两板间的距离成反比．
(2)决定式：C＝，k为静电力常量．
带电粒子在匀强电场中的运动 Ⅱ(考纲要求)
1.带电粒子在电场中的加速
带电粒子沿与电场线平行的方向进入电场，带电粒子将做加(减)速运动．有两种分析方法：
(1)用动力学观点分析：a＝，E＝，v2－v02＝2ad.
(2)用功能观点分析：粒子只受电场力作用，电场力做的功等于物体动能的变化．qU＝mv2－mv02
2．带电粒子在匀强电场中的偏转
(1)研究条件：带电粒子垂直于电场方向进入匀强电场．
(2)处理方法：类似于平抛运动，应用运动的合成与分解的方法．
①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间t＝
②沿电场力方向，做匀加速直线运动
示波管 Ⅰ(考纲要求)
1.构造：(1)电子枪，(2)偏转电极，(3)荧光屏
2．工作原理(如图6－3－1所示)
图6－3－1
(1)如果在偏转电极XX′和YY′之间都没有加电压，则电子枪射出的电子沿直线运动，打在荧光屏中心，在那里产生一个亮斑．
(2)YY′上加的是待显示的信号电压，XX′上是机器自身产生的锯齿形电压，叫做扫描电压，若所加扫描电压和信号电压的周期相同，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内变化的稳定图象．
一图二结论
结论：(1)粒子以一定速度v0垂直射入偏转电场．粒子从偏转电场中射出时，就像是从极板间的处沿直线射出的．
(2)经过相同电场加速，又经过相同电场偏转的带电粒子，其运动轨迹重合，与粒子的带电荷量和质量无关．
1．下列关于电容的说法正确的是( )．
A．电容器简称电容
B．电容器A的电容比B的大，说明A的带电荷量比B多
C．电容在数值上等于使两极板间的电势差为1 V时电容器需要带的电荷量
D．由公式C＝知，电容器的电容与电容器两极板间的电势差成反比，与电容器所带的电荷量成正比
解析 电容器和电容是两个不同的概念，A错；电容器A的电容比B的大，只能说明电容器A容纳电荷的本领比B大，与是否带电无关，B错；电容器的电容大小和它的两极板所带的电荷量、两极板间的电势差、电容器的体积等无关，D错．
答案 C
2．(2012·徐州高二检测)如图6－3－2所示，用静电计可以测量已充电的平行板电容器两极板之间的电势差U，现使B板带正电，则下列判断正确的是( )．
图6－3－2
A．增大两极板之间的距离，静电计指针张角变小
B．将A板稍微上移，静电计指针张角将变大
C．若将玻璃板插入两板之间，则静电计指针张角变大
D．若将A板拿走，则静电计指针张角变为零
答案 B
3．一个带电小球，用细绳悬挂在水平方向的匀强电场中，当小球静止后把悬绳烧断，小球将做( )．
A．自由落体运动
B．匀变速曲线运动方向
C．沿悬绳的延长线方向做匀加速直线运动
D．变加速直线运动
解析 重力和电场力均为恒力，合力方向与细绳的拉力方向相反，大小与细绳的拉力大小相等．剪断细绳后小球初速度为零，合力恒定，故做匀加速直线运动，正确答案为C.
答案 C
4．电子以初速度v0沿垂直电场强度方向射入两平行金属板间的匀强电场中，现增大两极板间的电压，但仍使电子能够穿过平行金属板，则电子穿过平行金属板所需要的时间( )．
A．随电压的增大而减小
B．随电压的增大而增大
C．加大两板间距离，时间将减小
D．与电压及两板间距离均无关
解析 电子穿过平行金属板的时间t＝，初速度方向垂直于电场方向，所以时间t与电压及两板间距离均没有关系．正确答案为D.
答案 D
图6－3－3
5．(2011·长春调研)如图6－3－3所示，静止的电子在加速电压为U1的电场作用下从O经P板的小孔射出，又垂直进入平行金属板间的电场，在偏转电压为U2的电场作用下偏转一段距离．现使U1加倍，要想使电子的运动轨迹不发生变化，应该( )．
A．使U2加倍
B．使U2变为原来的4倍
C．使U2变为原来的倍
D．使U2变为原来的倍
解析 本题考查了带电粒子在电场中的运动．带电粒子经过加速电场和偏转电场，最终偏移量为y＝，现使U1加倍，要想使电子的运动轨迹不发生变化，必须使U2加倍，选A.
答案 A
考点一 平行板电容器的动态分析
1．对公式C＝的理解
电容C＝的比值，不能理解为电容C与Q成正比、与U成反比，一个电容器电容的大小是由电容器本身的因素决定的，与电容器是否带电及带电多少无关．
2．电容器两类问题比较
分类
充电后与电池两极相连
充电后与电池两极断开
不变量
U
Q
d变大
C变小Q变小E变小
C变小U变大E不变
S变大
C变大Q变大E不变
C变大U变小E变小
εr变大
C变大Q变大E不变
C变大U变小E变小
【典例1】
M、N两金属板竖直放置，
图6－3－4
使其带电，悬挂其中的带电小球P如图6－3－4所示，偏离竖直方向．下列哪一项措施会使OP悬线与竖直方向的夹角增大？(P球不与金属极板接触)( )．
A．增大MN两极板间的电势差
B．减小MN两极板的带电荷量
C．保持板间间距不变，将M、N板一起向右平移
D．保持板间间距不变，将M、N板一起向左平移
解析 小球受向右的电场力处于平衡状态，增大两板间的电势差则电场强度增大，电场力增大，小球向右偏角增大，A对；减小电容器的带电荷量则两板间电势差减小，电场强度减小，电场力减小，偏角减小，B错；C、D中电场强度不会变化，偏角不变，故C、D错．
答案 A
——运用电容的定义式和决定式分析电容器相关量变化的思路．
(1)确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变．
(2)用决定式C＝分析平行板电容器电容的变化．
(3)用定义式C＝分析电容器所带电荷量或两极板间电压的变化．
(4)用E＝分析电容器极板间电场强度的变化．
【变式1】
(2012·深圳调研)
图6－3－5
如图6－3－5所示，平行板电容器与电动势为E的直流电源(内阻不计)连接，下极板接地．一带电油滴位于电容器中的P点且恰好处于平衡状态．现将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离( )．
A．带电油滴将沿竖直方向向上运动
B．P点的电势将降低
C．带电油滴的电势能将减少
D．若电容器的电容减小，则极板带电量将增大
解析 因为电容器两板电压不变，当两板间距离d增大，电场强度E减小，φP＝ExP减小，P点的电势降低，故选项A错B对；又根据带电油滴平衡可判断其带负电，它在P点的电势能增大，选项C错误；电容器的电容减小，则极板带电荷量将减小，选项D错，故答案为B.
答案 B
考点二 带电体在匀强电场中做直线运动问题的分析
首先对带电粒子进行受力分析，弄清带电粒子的运动状态，然后再选用恰当的物理规律求解．如果应用牛顿运动定律，要弄清带电粒子的受力情况和运动情况，再灵活运用运用学公式求解；如果运用动能定理，关键要弄清带电粒子的初、末状态及哪些力做功．
【典例2】
(2012·济南模拟)
图6－3－6
如图6－3－6所示，一带电荷量为＋q、质量为m的小物块处于一倾角为37°的光滑斜面上，当整个装置被置于一水平向右的匀强电场中，小物块恰好静止．重力加速度取g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)水平向右电场的电场强度；
(2)若将电场强度减小为原来的，物块的加速度是多大；
(3)电场强度变化后物块下滑距离L时的动能．
解析 (1)小物块静止在斜面上，受重力、电场力和斜面支持力，受力图如图所示，则有FNsin 37°＝qE①
FNcos 37°＝mg②
由①②可得E＝
(2)若电场强度减小为原来的，即E′＝
由牛顿第二定律得mgsin 37°－qE′cos 37°＝ma③
可得a＝0.3g.
(3)电场强度变化后物块下滑距离L时，重力做正功，电场力做负功，由动能定理得mgLsin 37°－qE′Lcos 37°＝Ek－0④
可得Ek＝0.3mgL.
答案 (1) (2)0.3g (3)0.3mgL
——带电体在匀强电场中做直线运动问题的分析方法
【变式2】
在一个水平面上建立x轴，
图6－3－7
在过原点O右侧空间有一个匀强电场，电场强度大小E＝6×105 N/C，方向与x轴正方向相同，在O处放一个电荷量q＝5×10－8C、质量m＝0.010 kg的带负电绝缘物块．物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，沿x轴正方向给物块一个初速度v0＝2 m/s，如图6－3－7所示，求：
(1)物块最终停止时的位置；(g取10 m/s2)
(2)物块在电场中运动过程的机械能增量．
解析 (1)第一个过程：物块向右做匀减速运动到速度为零．
Ff＝μmg F＝qE
Ff＋F＝ma 2as1＝v02
s1＝0.4 m
第二个过程：物块向左做匀加速运动，
离开电场后再做匀减速运动直到停止．
由动能定理得：Fs1－Ff(s1＋s2)＝0
得s2＝0.2 m，则物块停止在原点O左侧0.2 m处．
(2)物块在电场中运动过程的机械能增量
ΔE＝Wf＝－2μmgs1＝－0.016 J.
答案 (1)原点O左侧0.2 m处 (2)－0.016 J
考点三 带电粒子在匀强电场中的偏转问题
求解带电粒子偏转问题的两种思路
图6－3－8
在示波管模型中，带电粒子经加速电场U1加速，再经偏转电场U2偏转后，需再经历一段匀速直线运动才会打到荧光屏上而显示亮点P，如图6－3－8所示．
(1)确定最终偏移距离OP的两种方法
思路1：
思路2：
(2)确定粒子经偏转电场后的动能(或速度)的两种方法
思路1：
思路2：
【典例3】
如图6－3－9所示，
图6－3－9
在两条平行的虚线内存在着宽度为L、电场强度为E的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L处有一与电场平行的屏．现有一电荷量为＋q、质量为m的带电粒子(重力不计)，以垂直于电场线方向的初速度v0射入电场中，v0方向的延长线与屏的交点为O.试求：
(1)粒子从射入到打到屏上所用的时间；
(2)粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值tan α；
(3)粒子打到屏上的点P到O点的距离x.
解析 (1)根据题意，粒子在垂直于电场线的方向上做匀速直线运动，所以粒子从射入到打到屏上所用的时间t＝.
(2)设粒子射出电场时沿平行电场线方向的速度为vy，根据牛顿第二定律，粒子在电场中的加速度为：a＝
所以vy＝a＝
所以粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值为tan α＝＝.
(3)法一 设粒子在电场中的偏转距离为y，则y＝a2＝·又x＝y＋Ltan α，解得：x＝
法二 x＝vy＋y＝.
法三 由＝得：x＝3y＝.
答案 (1)t＝ (2)tan α＝＝ (3)x＝
【变式3】
图6－3－10
如图6－3－10所示，金属板A、金属网B、荧光屏C彼此平行，A、B之间的距离d1＝9 cm，B、C之间的距离d2＝18 cm，电源电动势E＝20 V，内阻r＝2 Ω，滑动变阻器在0～18 Ω之间可调，图中滑动片置于电阻的中点，从S孔向各个方向以速度v0＝1×105 m/s向电场中射入电子，电子的比荷＝1.8×1011 C/kg，不计重力．
(1)求A、B之间的电场强度的大小；
(2)设所有电子都能打在荧光屏上，求屏上亮圆的半径．
解析 (1)UAB＝·＝9 V
EAB＝＝ V/m＝100 V/m.
(2)先求竖直向上发射的电子到达B板上P点的速度如图所示
vBx＝ ＝ ＝1.8×106 m/s
P点偏离S点的竖直距离为：r1＝v0t＝1 cm
tan θ＝＝
然后粒子离开P点直线射到C板上的Q点．
＝tan θ＝r2＝1 cm
亮圆的半径r＝r1＋r2＝2 cm.
答案 (1)100 V/m (2)2 cm
3.等效思维法
带电体在重力场、电场中的运动问题的“等效法”处理
等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法．例如我们学习过的等效电阻、分力与合力、合运动与分运动等都体现了等效思维方法．常见的等效法有“分解”、“合成”、“等效类比”、“等效替换”、“等效变换”、“等效简化”等，从而化繁为简，化难为易．
带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是高中物理教学中一类重要而典型的题型．对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大．若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷．
图6－3－11
【典例】 如图6－3－11所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一个质量为m的小球，带正电荷量为q＝，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速度应为多大？
解析 小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如右图所示，类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg′，大小为mg′＝＝，tan θ＝＝，得θ＝30°，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动，因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的等效“最高点”(D点)满足等效重力刚好提供向心力，即有：mg′＝，因θ＝30°与斜面的倾角相等，由几何关系可知AD＝2R
令小球以最小初速度v0运动，由动能定理知：－mg′2R＝mvD2－mv02
解得v0＝ ，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应为v≥ .
答案 v≥
——等效法的应用
当我们研究某一新问题时，如果它和某一学过的问题类似，就可以利用等效和类比的方法进行分析．用等效法解本题的关键在于正确得出等效重力场，然后再利用对比正常重力场下小球做圆周运动的规律.
一、平行电容器的动态分析问题(高频考查)
1．(2009·海南)一平行板电容器两极板间距离为d、极板面积为S，电容为，其中ε0是常量．对此电容器充电后断开电源．当增加两板间距时，电容器极板间( )．
A．电场强度不变，电势差变大
B．电场强度不变，电势差不变
C．电场强度减小，电势差不变
D．电场强度减小，电势差减小
解析 由题可知电容器充电后断开电源，故电容器的带电荷量保持不变，当增大两极板间的距离时，由C＝可知，电容器的电容变小，由U＝可知电压变大，又由E＝可知E＝＝＝＝，所以电场强度不变，A正确．
答案 A
图6－3－12
2．(2010·北京理综)用控制变量法，可以研究影响平行板电容器电容的因素(如图6－3－12所示)．设两极板正对面积为S，极板间的距离为d，静电计指针偏角为θ.实验中，极板所带电荷量不变，若( )．
A．保持S不变，增大d，则θ变大
B．保持S不变，增大d，则θ变小
C．保持d不变，减小S，则θ变小
D．保持d不变，减小S，则θ不变
解析 本题考查平行板电容器、静电计．静电计是测量两个导体间电势差的仪器，指针偏角θ∝U，根据C＝和C＝得A正确．
答案 A
3．(2011·天津卷，5)板间距为d的平行板电容器所带电荷量为Q时，两极板间电势差为U1，板间电场强度为E1.现将电容器所带电荷量变为2Q，板间距变为d，其他条件不变，这时两极板间电势差为U2，板间电场强度为E2，下列说法正确的是( )．
A．U2＝U1，E2＝E1 B．U2＝2U1，E2＝4E1
C．U2＝U1，E2＝2E1 D．U2＝2U1，E2＝2E1
解析 由C＝和C＝及E＝得，E＝，电荷量由Q增为2Q，板间距由d减为，得E2＝2E1；又U＝Ed可得U1＝U2，故A、B、D错，C对．
答案 C
二、带电粒子在电场中的运动(高频考查)
4．(2011·安徽卷，20)如图6－3－13(a)所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图6－3－13(b)所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处．若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上．则t0可能属于的时间段是( )．
图6－3－13
A．0
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