选修3－4　第一章　机械振动与机械波
第1讲　机械振动


简谐运动　Ⅰ(考纲要求)  　单摆、单摆的周期公式　Ⅰ(考纲要求) 1．简谐运动 (1)定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动． (2)简谐运动的特征 ①动力学特征：F回＝－kx. ②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)． ③能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变． 2．简谐运动的两种模型 模型 弹簧振子 单摆  示意图 

 简谐运动条件 (1)弹簧质量可忽略(2)无摩擦等阻力(3)在弹簧弹性限度内 (1)摆线为不可伸缩的轻细线(2)无空气等阻力(3)最大摆角小于5°  回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直(即切向)方向的分力  平衡位置 弹簧处于原长处 最低点  周期 与振幅无关 T＝2π   能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒  


1．五个概念 (1)回复力：使振动物体返回平衡位置的力． (2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置． (3)位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量． (4)振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，是标量． (5)周期T和频率f：表示振动快慢的物理量．

2．三个特征 (1)受力特征：F＝－kx. (2)运动特征：a＝－x. (3)能量特征：系统机械能守恒．

简谐运动的公式和图象　Ⅱ(考纲要求)  1.简谐运动的表达式 (1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反． (2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，(ωt＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫做初相． 2．简谐运动的图象 (1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图象如图1－1－1甲所示．
图1－1－1 (2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图象如图1－1－1乙所示．


受迫振动和共振　Ⅰ(考纲要求)  1.自由振动、受迫振动和共振的比较 　　　振动类形 项目　　 自由振动 受迫振动 共振  受力情况 仅受回复力 周期性驱动力作用 周期性驱动力作用  振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T固或f驱＝f固  振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供，机械能不守恒 振动物体获得的能量最大  常见例子 弹簧振子或单摆(摆角θ<5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、转速计等  2.共振曲线
图1－1－2 如图1－1－2所示，横坐标为驱动力频率f驱，纵坐标为振幅A.它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响，由图可知，f驱与f固越接近，振幅A越大，当f驱＝f固时，振幅A最大.
实验：探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度  
注意事项 1．悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定． 2．强调在同一平面内振动且摆角小于5°. 3．选择在摆球摆到平衡位置处时开时计时，并数准全振动的次数． 4．小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长L＝l＋r. 5．选用一米左右的细线．
1．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中(　　)． A．振子所受的回复力逐渐增大 B．振子的位移逐渐增大 C．振子的速度逐渐减小 D．振子的加速度逐渐减小 解析　分析这类问题，关键是首先抓住回复力与位移的关系，然后运用牛顿运动定律逐步分析． 在振子向平衡位置运动的过程中，振子的位移逐渐减小，因此，振子所受回复力逐渐减小，加速度逐渐减小，但加速度方向与速度方向相同，故速度逐渐增大． 答案　D
图1－1－3 2．一质点做简谐运动时，其振动图象如图1－1－3所示．由图可知，在t1和t2时刻，质点运动的(　　)． A．位移相同 B．回复力相同 C．速度相同 D．加速度相同 解析　从题图中可以看出在t1和t2时刻，质点的位移大小相等、方向相反．则有，在t1和t2时刻质点所受的回复力大小相等、方向相反，加速度大小相等、方向相反，A、B、D错误；在t1和t2时刻，质点都是从负最大位移向正最大位移运动，速度方向相同，由于位移大小相等，所以速度大小相等，C正确，本题答案为C. 答案　C
图1－1－4 3．图1－1－4为一弹簧振子的振动图象，由此可知(　　)． A．在t1时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最大 B．在t2时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最小 C．在t3时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最小 D．在t4时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最大 解析　从图象的横坐标和纵坐标可以知道此图是机械振动图象，将它与机械波的图象区分开，它所描述的是一个质点在不同时刻的位置，t2和t4是在平衡位置处，t1和t3是在最大位移处，头脑中应出现一幅弹簧振子振动的实物图象，根据弹簧振子振动的特征，弹簧振子在平衡位置时的速度最大，加速度为零，即弹性力为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大，即弹性力为最大，所以B正确． 答案　B
图1－1－5 4．如图1－1－5所示，在曲轴上悬挂一个弹簧振子，曲轴不动时让其上下振动，振动周期为T1.现使把手以周期T2匀速转动，T2>T1，当其运动达到稳定后，则(　　)． ①弹簧振子的振动周期为T1　②弹簧振子的振动周期为T2　③要使弹簧振子的振幅增大，可以减小把手的转速　④要使弹簧振子的振幅增大，可以增大把手的转速 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 解析　弹簧振子做受迫振动，其振动周期与驱动力的周期(把手匀速转动的周期T2)相同，为T2.弹簧振子的固有周期为T1，把手的转速越大，转动的周期T2越小，当T2＝T1时，弹簧振子发生共振，振幅达到最大，因此选项②④正确． 答案　D 5．一质点简谐运动的振动图象如图1－1－6所示．
图1－1－6 (1)该质点振动的振幅是__________cm.周期是_____________________________ s. 初相是__________. (2)写出该质点简谐运动的表达式，并求出当t＝1 s时质点的位移． 解析　(1)由质点振动图象可得A＝8 cm，T＝0.2 s，φ＝. (2)ω＝＝10π rad/s.质点简谐运动表达式为 x＝8sin cm，当t＝1 s时，x＝8 cm. 答案　(1)8　0.2　　(2)x＝8sincm　8 cm 6．如图1－1－7所示为一单摆及其振动图象，由图回答：
图1－1－7 (1)若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的　　　　点. 一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是　　　　，势能增加且速度为正的时间范围是　　　　. (2)单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是　　　　. A．位移　B．速度　C．加速度　D．动能　E．摆线张力 (3)求单摆的摆长(g＝10 m/s2　π2≈10) 解析　(1)图象中O点位移为零，O到A的过程位移为正，且增大，A处最大，历时周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应G.A到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C对应E、G、E、F点．摆动中EF间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F向E的运动过程，在图象中为C到D的过程，时间范围是1.5～2.0 s 间．摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，而速度为正，显然是从E向G的过程，在图象中为从O到A，时间范围是0～0.5 s间． (2)过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆线张力T＝mgcos α＋m也不变；相邻两次过同一点，速度方向改变． (3)由图象可知：T＝2 s，由T＝2π得L＝＝1 m. 答案　(1)E、G、E、F　1.5～2.0 s　0～0.5 s　(2)B　(3)1 m
 考点一　简谐运动的规律 【典例1】 一个质点在平衡位置
图1－1－8 O点附近做机械振动．若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点(如图1－1－8所示)；再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需要的时间是(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①8 s　 ②4 s　 ③14 s 　④ s A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 解析　设图中a、b两点为质点振动过程的最大位移处，若开始计时时刻，质点从O点向右运动，O→M过程历时3 s，M→b→M运动过程历时2 s，显然，＝4 s，T＝16 s．质点第三次经过M点还需要的时间Δt3＝T－2 s＝(16－2)s＝14 s，故选项③正确． 若开始计时时刻，质点从O点向左运动，O→a→O→M运动过程历时3 s，M→b→M运动过程历时2 s，显然，＋＝4 s，T＝ s．质点第三次经过M点还需要的时间Δt3′＝T－2 s＝ s＝ s，故选项④正确． 综上所述，该题的正确答案是B. 答案　B 【变式1】 有一弹簧振子在水平方向上的B
图1－1－9 C之间做简谐运动，已知BC间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有正向最大加速度． (1)求振子的振幅和周期； (2)在图1－1－9中作出该振子的位移—时间图象； (3)写出振子的振动方程． 解析　(1)振幅A＝10 cm，T＝ s ＝0.2 s.
(2)四分之一周期时具有正的最大加速度，故有负向最大位移．如右图所示． (3)设振动方程为 y＝Asin(ωt＋φ) 当t＝0时，y＝0，则sin φ＝0 得φ＝0，或φ＝π，当再过较短时间，y为负值，所以φ＝π 所以振动方程为y＝10sin(10πt＋π) cm. 答案　(1)10 cm　0.2 s　(2)如解析图 (3)y＝10sin(10πt＋π) cm 考点二　简谐运动的图象 【典例2】 (2011·温州模拟)
图1－1－10 如图1－1－10所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题： (1)写出该振子简谐运动的表达式． (2)在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？ (3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？ 解析　(1)由振动图象可得： A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0 则ω＝＝ rad/s 故该振子做简谐运动的表达式为：x＝5sin t(cm)． (2)由题图可知，在t＝2 s时振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断加大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大．当t＝3 s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值． (3)振子经过一个周期位移为零，路程为5×4 cm＝20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前100 s振子位移x＝0，振子路程s＝20×25 cm＝500 cm＝5 m. 答案　(1)x＝5sin t(cm)　(2)见解析　(3)0　5 m
——应用简谐运动图象可获信息 ①可直接读出振幅、周期、初相． ②从图象上得到的振幅A和初相φ，周期T. ③根据ω＝，求出ω. ④书写简谐运动表达式，可根据位移通式x＝Asin(ωt＋φ)． 【变式2】 已知单摆的振动图象如图1－1－11所示．
图1－1－11 (1)读图可知振幅A＝________m，振动频率f＝________Hz； (2)求此单摆的摆长l； (3)若摆球质量为0.2 kg，在摆动过程中，摆球受的回复力的最大值Fm是多少？(取g＝10 m/s2，π2＝10) 解析　(1)A＝0.1 m，f＝＝0.25 Hz. (2)因T＝2π ，则l＝＝4 m. (3)Fm＝mgsin θ≈mg＝0.2×10× N＝0.05 N. 答案　(1)0.1　0.25　(2)4 m　(3)0.05 N 考点三　用单摆测定重力加速度
图1－1－12 【典例3】 (1)某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请判断是否恰当(填“是”或“否”)． ①把单摆从平衡位置拉开约5°释放；__________. ②在摆球经过最低点时启动秒表计时；__________. ③用秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期；________. (2)该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据见表．用螺旋测微器测量其中一个摆球直径的示数见图1－1－12，该球的直径为________mm.根据下表中数据可以初步判断单摆周期随________的增大而增大. 数据组编号 摆长/mm 摆球质量/g 周期/s  1 999.3 32.2 2.0  2 999.3 16.5 2.0  3 799.2 32.2 1.8  4 799.2 16.5 1.8  5 501.1 32.2 1.4  6 501.1 16.5 1.4  解析　①单摆的摆角小于5°时，单摆做简谐振动． ②当球摆到最低点时，速度最大，此位置开始计时误差小． ③为了减小误差，应该记录30～50次全振动的时间，然后再计算出单摆的周期． 分析表格中的数据可知，当两摆的摆长相同，质量不同时，周期相同，而质量相同，摆长长的周期大． 答案　(1)①是　②是　③否　(2)20.685(20.683～20.687)　摆长 【变式3】 (2011·石家庄教学质检)石岩同学利用单摆测重力加速度，他用分度值为毫米的直尺测得摆线长为89.40 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图1－1－13甲所示，读数为________．则该单摆的摆长为________ cm.用停表记录单摆做30次全振动所用的时间如图1－1－13乙所示，则停表读数为________s，如果测得的g值偏大，可能的原因是________(填序号)．
图1－1－13 A．计算摆长时用的是摆球的直径 B．开始计时时，停表晚按下 C．摆线上端未牢固系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加 D．实验中误将30次全振动记为31次 解析　由题图甲可知游标卡尺的读数为D＝2 cm＋0.050 cm＝2.050 cm；摆长为L＝l＋＝89.40 cm＋1.025 cm＝90.425 cm；停表的读数为57.0 s；因g＝＝，如果测得的g值偏大，可能是因为l′、n偏大、t偏小，A、B、D正确． 答案　2.050 cm　90.425　57.0　ABD
 一、简谐振动的规律及特点(中频考查)
图1－1－14 1．(重庆高考题)某地区地震波中的横波和纵波传播速率分别约为4 km/s和9 km/s.一种简易地震仪由竖直弹簧振子P和水平弹簧振子H组成(如图1－1－14所示)．在一次地震中，震源在地震仪下方，观察到两振子相差5 s开始振动，则(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．P先开始振动，震源距地震仪约36 km B．P先开始振动，震源距地震仪约25 km C．H先开始振动，震源距地震仪约36 km D．H先开始振动，震源距地震仪约25 km 解析　纵波传播速率较大，因此P先振动，s＝9t＝4(t＋5)，t＝4 s，s＝36 km. 答案　A 2．(2009·上海卷)做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速率减小为原来的，则单摆振动的(　　)． A．频率、振幅都不变 B．频率、振幅都改变 C．频率不变、振幅改变 D．频率改变、振幅不变 解析　由单摆的周期公式T＝2π 可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，由Ek＝mv2可知，摆球经过平衡位置时的动能相同，由于摆球的质量不同，所以摆球上升的最大高度不同，因此振幅不同，A、B、D错误，C正确． 答案　C 3．(2011·上海卷，5)两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平初速v1、v2(v1>v2)在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、A2，则(　　)． A．f1>f2，A1＝A2 B．f1A2 D．f1＝f2，A1A2，故C项正确． 答案　C 二、受迫振动和共振(低频考查) 4．(2009·宁夏理综改编)某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f.若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是(　　)． A．当ff0时，该振动系统的振幅随f减小而减小 C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0 D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f 解析　物体在外界驱动力作用下的振动叫做受迫振动，物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系，驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅增大，所以D正确． 答案　D 三、简谐运动的图象(中频考查) 5．(2009·浙江高考)一列波长大于1 m的横波沿着x轴正方向传播，处在x1＝1 m和x2＝2 m的两质点A、B的振动图象如图1－1－15所示．由此可知(　　)．
图1－1－15 A．波长为 m B．波速为1 m/s C．3 s末A、B两质点的位移相同 D．1 s末A点的振动速度大于B点的振动速度 解析　Δx＝x2－x1＝1 m，由于波沿x轴正方向传播，所以A先振动，又由于波长大于1 m，所以Δt＝3 s＝T，所以Δx＝λ，λ＝ m，A正确，波速v＝＝ m/s，B错误；由振动图象可知，在3 s末，A、B两质点的位移不相同，C错误；1 s末A点速度为零，B点速度最大，D错误． 答案　A
图1－1－16 6．(2009·江苏高考)在t＝0时刻，质点A开始做简谐运动，其振动图象如图1－1－16所示．质点A振动的周期是________s；t＝8 s时，质点A的运动沿y轴的________方向(填“正”或“负”)；质点B在波的传播方向上与A相距16 m，已知波的传播速度为2 m/s，在t＝9 s时，质点B偏离平衡位置的位移是________cm. 解析　由图象可知，T＝4 s，t＝8 s时与t＝0时质点A的运动情况相同，沿y轴的正方向运动．在t＝1 s时质点A处于波峰，经过8 s波峰向前传播的距离L＝vt＝2×8 m＝16 m，即在t＝9 s时波峰恰好传到质点B处，故其位移是10 cm. 答案　4　正　10

1．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点(　　)． A．第1 s末与第3 s末的位移相同 B．第1 s末与第3 s末的速度相同 C．第3 s末至第5 s末的位移方向都相同 D．第3 s末至第5 s末的速度方向都相反 解析　根据x＝Asint，可求得该质点振动周期为T＝8 s，则该质点振动图象如图所示，图象的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，A正确、B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C、D错误．
答案　A
图1－1－17 2．一质点做简谐运动的图象如图1－1－17所示，下列说法正确的是(　　)． A．质点振动频率是4 Hz B．在10 s内质点经过的路程是20 cm C．第4 s末质点的速度为零 D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同 解析　振动图象表示质点在不同时刻相对平衡位置的位移，由图象可看出，质点运动的周期T＝4 s，其频率f＝＝0.25 Hz；10 s内质点运动了T，其运动路程为s＝×4A＝×4×2 cm＝20 cm；第4 s末质点在平衡位置，其速度最大；t＝1 s和t＝3 s两时刻，由图象可看出，位移大小相等，方向相反．由以上分析可知，B选项正确． 答案　B 3．铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击．由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．普通钢轨长为12.6 m，列车固有振动周期为0.315 s．下列说法正确的是(　　)． A．列车的危险速率为20 m/s B．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象 C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的 D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行 解析　列车在钢轨上运动时，受钢轨对它的冲击力作用做受迫振动，当列车固有振动频率等于钢轨对它的冲击力的频率时，列车振动的振幅最大，因v＝＝＝40 m/s，故A错误；列车过桥做减速运动，是为了使驱动力频率远小于桥梁固有频率，防止桥发生共振现象，而不是列车发生共振现象，B错，C错；增加钢轨的长度有利于列车高速运行，D对． 答案　D 4．下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则(　　). 驱动力频率/Hz 30 40 50 60 70 80  受迫振动振幅/cm 10.2 16.8 27.2 28.1 16.5 8.3  　　　　　　　　　　　　　　　　 A．f固＝60 Hz B．60 Hz

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