2013届高三物理总复习：第五章抛体运动　匀速圆周运动　万有引力定律及其应用第3讲　匀速圆周运动(人教版）


匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度　Ⅰ   　　　　(考纲要求) 1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动． (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动． (3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 2．描述圆周运动的物理量 描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表： 定义、意义 公式、单位  线速度 ①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量(v) ②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 ①v＝＝ ②单位：m/ s  角速度 ①描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω) ②单位：rad/s ①ω＝＝ ②中学不研究 其方向  周期 和转速 ①周期是物体沿圆周运动一周的时间(T) ②转速是物体单位时间转过的圈数(n)，也叫频率(f) ①T＝单位：s ②n的单位：r/s、r/min，f的单位：Hz  向心 加速度 ①描述速度方向变化快慢的物理量(a) ②方向指向圆心 ①a＝＝rω2 ②单位：m/s2  
匀速圆周运动的向心力　Ⅱ(考纲要求)  1.作用效果 产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小． 2．大小 F＝m＝mω2r＝m＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向 始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力． 4．来源 向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供.
离心运动　Ⅰ(考纲要求)  1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动． 2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向． 3．受力特点 当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动； 当F＝0时，物体沿切线方向飞出； 当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力，如图5-3-1所示．
图5-3-1


1．关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是(　　)． A．由a＝知，a与r成反比 B．由a＝ω2r知，a与r成正比 C．由ω＝知，ω与r成反比 D．由ω＝2πn知，ω与转速n成正比 解析　由a＝知，只有在v一定时，a才与r成反比，如果v不一定，则a与r不成反比，同理，只有当ω一定时，a才与r成正比；v一定时，ω与r成反比；因2π是定值，故ω与n成正比． 答案　D 2.如图5-3-2所示是一个玩具陀螺．A、B和C是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是(　　)．
图5-3-2 A．A、B和C三点的线速度大小相等 B．A、B和C三点的角速度相等 C．A、B的角速度比C的大 D．C的线速度比A、B的大 解析　A、B和C均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B对、C错．三点的运动半径关系rA＝rB>rC，据v＝ωr可知，三点的线速度关系vA＝vB>vC，A、D错． 答案　B 3．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则(　　)． A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2 解析　角速度为ω＝＝π rad/s，A错误；转速为n＝＝0.5 r/s，B正确；半径r＝＝ m，C正确；向心加速度大小为an＝＝4π m/s2，D正确． 答案　BCD 4.如图5-3-3所示，水平转台上放着一枚硬币，当转台匀速转动时，硬币没有滑动，关于这种情况下硬币的受力情况，下列说法正确的是(　　)．
图5-3-3 A．受重力和台面的支持力 B．受重力、台面的支持力和向心力 C．受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力 D．受重力、台面的支持力和静摩擦力 解析　重力与支持力平衡，静摩擦力提供向心力，方向指向转轴． 答案　D 5.如图5-3-4是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是(　　)．
图5-3-4 A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用 B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力 C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去 D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去 解析　本题考查圆周运动的规律和离心现象．摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A项错误；摩托车正确转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明合力小于需要的向心力，B项正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动，C、D项错误． 答案　B
考点一　在传动装置中各物理量之间的关系 在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为： (1)同一转轴的各点角速度ω相同，而线速度v＝ωr与半径r成正比，向心加速度大小a＝rω2与半径r成正比． (2)当皮带不打滑时，用皮带连接的两轮边沿上的各点线速度大小相等，由ω＝可知，ω与r成反比，由a＝可知，a与r成反比． 【典例1】 如图5-3-5所示是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n，则自行车前进的速度为(　　)．
图5-3-5 A. B. C. D. 解析　自行车前进速度即为Ⅲ轮的线速度， 由同一个轮上的角速度相等，同一皮带传动的两轮边缘的线速度相等可得：ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2， 再有ω1＝2πn，v＝ω3r3，所以v＝. 答案　C 【变式1】 如图5-3-6所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是(　　)．
图5-3-6 A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动 C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n 解析　因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，A错误、B正确；由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的速度相等，所以由2πnr1＝2πn2r2，得从动轮的转速为n2＝，C正确、D错误． 答案　BC 考点二　匀速圆周运动的实例分析(小专题) 【典例2】 “飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，演员骑车在倾角很大的桶面上做圆周运动而不掉下来．如图5-3-7所示，已知桶壁的倾角为θ，车和人的总质量为m，做圆周运动的半径为r.若使演员骑车做圆周运动时不受桶壁的摩擦力，下列说法正确的是(　　)．
图5-3-7 A．人和车的速度为 B．人和车的速度为 C．桶面对车的弹力为 D．桶面对车的弹力为 思路导图
解析　对人和车进行受力分析如图所示．
根据直角三角形的边角关系和向心力公式可列方程： Ncos θ＝mg， mgtan θ＝m. 解得v＝，N＝. 答案　AC
——解决圆周运动问题的主要步骤 (1)审清题意，确定研究对象； (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等； (3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源； (4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程． 【变式2】 (2011·天津联考)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关．还与火车在弯道上的行驶速度v有关．下列说法正确的是(　　)． A．速率v一定时，r越小，要求h越大 B．速率v一定时，r越大，要求h越大 C．半径r一定时，v越小，要求h越大 D．半径r一定时，v越大，要求h越大 解析　火车转弯时，圆周平面在水平面内，火车以设计速率行驶时，向心力刚好由重力G与轨道支持力N的合力来提供，如图所示，则有mgtan θ＝，且tan θ≈sin θ＝，其中L为轨间距，是定值，有mg＝， 通过分析可知A、D正确．
答案　AD 【变式3】 在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图5-3-8所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于(　　)．
图5-3-8 A.  B.  C.  D.  解析　考查向心力公式．汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F向＝mgtan θ，根据牛顿第二定律：F向＝m，tan θ＝，解得汽车转弯时的车速v＝ ，B对． 答案　B
　　　7.竖直平面内圆周运动的绳、杆模型 (1)模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”． (2)临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现就两种模型分析比较如下： 轻绳模型 轻杆模型  常见 类型 

 过最高 点的临 界条件 由mg＝m 得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0  讨论 分析 (1)过最高点时，v≥，N＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力N (2)不能过最高点v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，N＝mg，N为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0＜v＜时，－N＋mg＝m，N背向圆心，随v的增大而减小 (3)当v＝时，N＝0 (4)当v＞时，N＋mg＝m，N指向圆心并随v的增大而增大    【典例】 如图5-3-9所示，质量为60 kg的体操运动员，做“单臂大回环”，用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．此过程中，运动员到达最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，g＝10 m/s2)(　　)．
图5-3-9 A.600 N B．2 400 N C．3 000 N D．3 600 N 教你审题
解析　运动员在最低点受的拉力至少为N，此时运动员的重心的速度为v，设运动员的重心到手的距离为R，由牛顿第二定律得：N－mg＝m 又由机械能守恒定律得： mg·2R＝mv2 由以上两式代入数据得：N＝5mg 运动员的重力约为G＝mg＝600 N 所以N＝3 000 N，应选C. 答案　C
一、对描述圆周运动的基本物理量及匀速圆周运动的考查(中频考查) 1．(2009·上海理综，43)如图5-3-10所示为一种早期的自行车，这种不带链条传动的自行车前轮的直径很大，这样的设计在当时主要是为了(　　)．
图5-3-10 A．提高速度 B．提高稳定性 C．骑行方便 D．减小阻力 解析　这种老式不带链条的自行车，驱动轮在前轮，人蹬车的角速度一定的情况下，由v＝ωr可知，车轮半径越大，自行车的速度就越大，所以A正确． 答案　A 2．(2010·全国卷Ⅰ)如图5-3-11甲是利用激光测转速的原理示意图，图中圆盘可绕固定轴转动，盘边缘侧面上有一小段涂有很薄的反光材料．当盘转到某一位置时，接收器可以接收到反光涂层所反射的激光束，并将所收到的光信号转变成电信号，在示波器显示屏上显示出来(如图5-3-11乙所示)．
图5-3-11 (1)若图乙中示波器显示屏上横向的每大格(5小格)对应的时间为5.00×10－2 s，则圆盘的转速为________转/s.(保留三位有效数字) (2)若测得圆盘直径为10.20 cm，则可求得圆盘侧面反光涂层的长度为________cm.(保留三位有效数字) 解析　(1)从图乙可知圆盘转一圈的时间在横坐标上显示22格，由题意知图乙中横坐标上每小格表示1.00×10－2 s，所以圆盘转动的周期是0.22 s，则转速为4.55 转/s.(2)反光引起的电流图象在图乙中的横坐标上每次一小格，说明反光涂层的长度占圆盘周长的，为＝ cm＝1.46 cm. 答案　(1)4.55　(2)1.46 二、竖直面内圆周运动与其他知识的综合考查(高频考查) 3．(2011·安徽卷，17)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图5-3-12甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图5-3-12乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是(　　)．
　
甲　　　　　　　　　　　 　　乙　 图5-3-12 A. B. C. D. 解析　物体在最高点时速度沿水平方向，曲率圆的P点可看做该点对应的竖直平面内圆周运动的最高点，由牛顿第二定律及圆周运动规律知：mg＝，解得ρ＝＝＝. 答案　C 4．(2011·福建卷，21)如图5-3-13所示为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g.求：
图5-3-13 (1)质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v1； (2)弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep； (3)已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO′在90°角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在m到m之间变化，且均能落到水面．持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？ 解析　(1)质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供， 则mg＝m① 由①式解得v1＝② (2)弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能， 由机械能守恒定律有 Ep＝mg(1.5R＋R)＋mv③ 由②③式解得Ep＝3mgR④ (3)不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响， 质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运动， 设经过t时间落到水面上， 离OO′的水平距离为x1， 由平抛运动规律有 4．5R＝gt2⑤ x1＝v1t＋R⑥ 由⑤⑥式解得x1＝4R⑦ 当鱼饵的质量为m时， 设其到达管口C时速度大小为v2，由机械能守恒定律有 Ep＝mg(1.5R＋R)＋v⑧ 由④⑧式解得v2＝2⑨ 质量为m的鱼饵落到水面上时， 设离OO′的水平距离为x2，则 x2＝v2t＋R⑩ 由⑤⑨⑩式解得x2＝7R 鱼饵能够落到水面的最大面积 S＝(πx－πx)＝πR2(或8.25πR2)． 答案　(1)　(2)3mgR　(3)πR2(或8.25πR2)

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