简谐运动中的K一定是弹簧的劲度系数吗？
新疆塔城地区第一高级中学 （834700） 张旭年
学习完机械振动一章后，在一次习题课上，一开课我便问学生一个事先准备好的问题：“同学们，简谐运动公式F=-kx中的k代表的是什麽？”学生异口同声地回答：“弹簧的劲度系数。”他们的这一回答是在我的意料之中的。然而就是这个回答却引起了我的反思，学生在这个问题上显然是因为思维定势而犯了错误，因为在课本中是先建立横式弹簧振子的模型,再用横式弹簧振子模型来分析简谐运动的规律,最后得出回复力的概念和公式F=-kx。课本上，在提出了回复力的概念和公式之后，却并没有对此公式进行深入讨论。而对于胡克定律f=kx学生是非常熟悉的，所以造成学生对k的错误理解是很正常的。这就需要老师在习题课中进行知识的拓展。
针对这一情况,我专门准备了这样一节习题课,而一开课的提问就是要将学生引入今天的讨论的焦点上来.
要讨论k的含义,就必需先讨论这样几个例子来说明各种简谐运动系统中回复力的来源。
1.弹簧的弹力提供回复力.
1.1横式弹簧振子模型.
例1.如图（一），弹簧没有形变时，横式弹簧振子的平衡位置在O点，以x表示弹簧的伸长（或压缩）量，振子做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力提供的，从而得到F=-kx,则公式中的k代表弹簧的劲度系数,这是很容易理解的.
1.2竖式弹簧振子模型.
例2.如图二，一轻质弹簧的上端系于天花板，下端挂一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k，将小球从弹簧为自由长度时的竖直位置放手后，证明小球做简谐运动。
在证明之前，有学生认为竖式弹簧振子的回复力是由物体的重力和弹簧的弹力共同来提供的。针对这种情况我先引导学生找出小球做简谐运动的平衡位置，然后再证明小球做简谐运动。简要的证明过程如下：
在平衡位置有mg=kx0
在平衡位置以下的任一位置有F合=k（x+x0）-mg=kx
在平衡位置以上的任一位置有F合=mg-k（x0-x）=kx
由此可得小球在上下振动的过程中满足F合=kx，即小球做简谐运动，且k为弹簧的劲度系数。
1.3对斜式弹簧振子模型的课堂讨论.
有了以上的思路，在这个环节上是让学生自行证明小球做简谐运动的，并且收到了良好的效果。
小结1.弹簧振子模型中的k是弹簧的劲度系数。
2.单摆在简谐运动中的回复力.
例3.如图（三），在单摆模型中，摆线的长为L，小球的质量为m。在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力。当摆球运动到任一点时，令其摆角为θ，重力G沿圆弧切线方向的分力G1=mgsinθ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力F=G1=mgsinθ。在摆角θ很小时，sinθ≈θ≈.所以，摆球做简谐运动的回复力F=x。由此可得k=。
小结2. 在单摆模型中k不是弹簧的劲度系数，而是由单摆模型的结构属性来决定的。
3.静摩擦力提供回复力.
例4.如图（四），弹簧振子的质量为M，弹簧的劲度系数为k，在M上放一个质量为m的小木块，使M和m一起在光滑水平面上做简谐运动，若m的回复力满足f′=k′x，x是弹簧的伸长（或压缩）量，则k′和k的比值为（ ）
A. B. C. D.
对学生来说，如果将M和m当作一个整体来看，弹簧的弹力来提供回复力是很容易理解的 ，然而，对于m做简谐运动的回复力还需要给学生认真分析，在m随M在做简谐运动的过程中，在水平方向上m受到M对它的静摩擦力，而M对m的静摩擦力是在正向最大值和负向最大值之间变化的，正是这个变化的静摩擦力提供了m做简谐运动的回复力。可以得出M对m的静摩擦力满足Ff=-kx。
解：对m建立方程有k′x=ma
对整体建立方程有kx=(M+m)a 两式联立可得此题选A。
小结3.此例中物体m的回复力是由M对m的静摩擦力来提供的，所以，公式Ff=-kx中的k也不是弹簧的劲度系数，而是与两个物体之间的静摩擦系数有关的。
通过以上三个课本和习题上的实例的讲解，使学生正确理解了简谐运动公式F=-kx中的k是比例系数，是由做简谐运动的系统的固有属性来决定的，而不一定是弹簧的劲度系数。
最后，我还为学生埋下了伏笔，即在以后的电场中我们还会学习电场力提供回复力的例子。
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