备课资料 抛体理论在体育中的应用 抛体理论在体育运动中有重要应用，用来定量描述初速度、初始角度以及初始高度对运动成绩的影响，并寻找它们之间的最佳组合. （1）基本方程 不失一般性，在此不考虑空气阻力以及转动引起的影响，运动是二维的,如图所示.设初速率为v0，初始角为α.
于是
①
② （2）滑步推铅球[ ] 铅球落地点比出手点低Δh，将y=-Δh代入方程组②，可解出铅球飞行时间T以及投掷距离s.
所以T=
s=
③ 由此可见，影响投掷远度的物理量有v0、α和Δh.增加初速率是提高成绩的关键，增加出手高度、选取合适出手角度也能提高投掷成绩.
由式③可知，出手角的最佳值在0°与45°之间，其值可通过微分求极值而找到.对于滑步推铅球，v0与α要用三个独立变量:v1（球出手瞬时的水平助跑速度）、v2（推铅球速度）和θ（推力角）来表示：v0=
④ α=arcsin(
sinθ) ⑤ 将式④和⑤代入式③得到s=
(v1+v2cosθ)(1+
) ⑥ 假设v1、v2和Δh保持不变，将上式对θ微分求极值，经过数值计算可找到最佳推力角以及相应的最佳出手角.将世界优秀运动员的投球速率代入，并取Δh=2.00 m，可算出最佳出手角在37°左右，理论计算与实践相符.若令Δh=0，由
=0 可得一组最佳角度近似而又简便实用的计算公式： θopt=arcsin
⑦ αopt=arcsin(v2/v1)sinθopt. ⑧ （3）急行跳高 设H1为离地瞬间身体重心距地面的高度，H2为重心腾空的最大高度，ΔH为横杆到身体重心最高点的距离，则跳高成绩为H=H1+H2-ΔH. 由式①与式②可解出H2=
H=H1+
-ΔH⑨ 由此可见，跳高运动员应努力做到： ①离地前瞬间要充分伸腿和躯干，尽可能提升重心.跳高运动员宜挑选腿长的人. ②提高蹬地起跳速度v2. ③起跳角θ≈90°，腾起角α≈70°—80°. ④良好的过杆动作，使重心尽量靠近横杆，俯卧式和背越式过杆动作身体重心较低，靠近横杆甚至低于横杆. （4）立定投篮 现在用抛体理论来寻找投篮的最佳出手角度.选取出手时球心为坐标原点，建立坐标系Oxy,如图.设篮圈中心坐标为（X，Y），利用方程②得到：

消去t，则Y=Xtanα-
(1+tan2α) 移项整理得：
tan2α-Xtanα+
=0 解之得：tanα=
［1±
］ ⑩ 将X、Y和v0的数值代入上式可计算出两个出手角度.现以罚球投篮为例，X=4.60 m，设出手高度H1=2 m，则Y=1.05 m，出手速度v0=8 m/s，则可得α1=63.73°，α2=39.13°.这是将篮球视为质点计算出来的，事实上是一个直径d=24.6 cm的球，欲使篮球顺利进入直径D=45 cm的篮圈，入圈角β不能太小.由几何图形可知，仅当D·cos（90°-β）≥d才能入圈，即必须满足45sinβ≥24.6，β≥33.14°. 由此可见，出手角度是受入圈角所制约的，为了找出对应关系，可由方程（2）消去t获得篮球轨迹方程：y=xtanα
sec2α 其斜率为：
=tanα
sec2α 令x=X，则
=-tanβ[ ] 联立求解得tanβ=
sec2α-tanα  经计算：当α1=63.73°，β1=57.50°； 当α2=39.13°，β2=19.65°. 由此可见，为了满足β≥33.14°，最佳出手角度应为63.73°.

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